具有間歇性執(zhí)行器故障的非線性系統(tǒng)自適應(yīng)CFB 控制

乃永強(qiáng) 楊清宇 周文興, 楊瑩

由于故障時(shí)刻,故障模式以及故障值完全不可預(yù)測,因此如何消除執(zhí)行器故障對控制系統(tǒng)的影響已成為控制領(lǐng)域的技術(shù)難點(diǎn)[1].到目前為止,自適應(yīng)控制[2?3]已成為解決執(zhí)行器故障補(bǔ)償問題的有效策略.與其他控制方法相比,自適應(yīng)補(bǔ)償控制具有如下的優(yōu)點(diǎn): 1) 能夠自動(dòng)調(diào)節(jié)執(zhí)行器故障引起的不確定性;2) 控制器利用自適應(yīng)律可在線調(diào)整其估計(jì)參數(shù);3) 當(dāng)故障信息完全未知時(shí),也可以獲得期望的控制目標(biāo).利用線性矩陣不等式技術(shù),文獻(xiàn)[4?6]分別研究了線性系統(tǒng)執(zhí)行器故障的自適應(yīng)補(bǔ)償問題.文獻(xiàn)[7]提出的直接自適應(yīng)控制方案解決了具有卡死 (Lock in place,LIP) 執(zhí)行器故障和未知系統(tǒng)參數(shù)的線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題.結(jié)合自適應(yīng)Backstepping 控制技術(shù),文獻(xiàn)[8?10]分別研究了具有LIP 故障的非線性系統(tǒng)的補(bǔ)償控制問題.文獻(xiàn)[11?12]解決了具有部分失效 (Partial loss of effectiveness,PLOE)和LIP 故障的非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題.文獻(xiàn)[13]解決了具有 PLOE 故障和LIP 故障以及松浮 (Float) 故障的非線性系統(tǒng)的跟蹤控制問題.由于NNs (Neural networks)或模糊邏輯系統(tǒng)的通用逼近特性,文獻(xiàn)[14?19]提出的自適應(yīng)神經(jīng)或模糊控制方案補(bǔ)償了執(zhí)行器故障對系統(tǒng)的影響.然而,文獻(xiàn)[4?19]僅僅解決了一次性執(zhí)行器故障的補(bǔ)償問題,即所有執(zhí)行器的狀態(tài)在故障發(fā)生之后保持不變.雖然在故障時(shí)刻存在未知參數(shù)的跳變,但未知參數(shù)的跳變次數(shù)和Lyapunov 函數(shù)有界,因此可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和期望的跟蹤指標(biāo).

在實(shí)際應(yīng)用中,控制系統(tǒng)的執(zhí)行器在運(yùn)行過程中也經(jīng)常發(fā)生各種不可預(yù)測的間歇性故障.即執(zhí)行器的狀態(tài)在正常運(yùn)行和故障之間（或者各種故障之間）進(jìn)行頻繁地切換.正如文獻(xiàn)[20]所指出的,間歇性執(zhí)行器故障會不可避免地導(dǎo)致系統(tǒng)中未知參數(shù)的間歇性跳變,并且跳變的總次數(shù)可趨于無窮大.因此,一次性故障的研究成果[4?19]不能直接用于具有間歇性執(zhí)行器故障的控制系統(tǒng)的補(bǔ)償控制中,主要有如下的原因: 1) 隨著跳變次數(shù)的不斷累積,控制器中的一些估計(jì)參數(shù)會不斷的增加,最終當(dāng)跳變次數(shù)趨于無窮大時(shí),這些估計(jì)參數(shù)將變得無界;2) 由于存在未知參數(shù)的間歇性跳變,則包含參數(shù)估計(jì)誤差的 Lyapunov 函數(shù)在每個(gè)跳變時(shí)刻必將產(chǎn)生一個(gè)跳變幅度.從而上述 Lyapunov 函數(shù)的可能增加隨著跳變次數(shù)的增加而不斷累積,最終當(dāng)跳變次數(shù)趨于無窮大時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性將得不到保證.因此,在間歇性執(zhí)行器故障的自適應(yīng)補(bǔ)償控制方案設(shè)計(jì)中,如何有效地保證參數(shù)估計(jì)的有界性以及閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性是執(zhí)行器故障補(bǔ)償領(lǐng)域的一個(gè)技術(shù)難點(diǎn).

目前關(guān)于非線性系統(tǒng)的間歇性執(zhí)行器故障補(bǔ)償控制的研究成果還非常有限.在文獻(xiàn)[20]中,Wang等首次解決了一類參數(shù)化嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)的間歇性執(zhí)行器故障的補(bǔ)償問題.所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)模塊化控制方案保證了所有閉環(huán)信號的有界性.但是,該方案僅僅保證了均方意義上的跟蹤誤差的有界性.從而不能建立跟蹤誤差與設(shè)計(jì)參數(shù)之間的明確關(guān)系.受文獻(xiàn)[20]的啟發(fā),Lai等[21?22]和Xing等[23]進(jìn)一步研究了非線性系統(tǒng)間歇性執(zhí)行器故障的補(bǔ)償問題.文獻(xiàn)[24]解決了含有未知時(shí)滯非線性系統(tǒng)的間歇性執(zhí)行器故障的補(bǔ)償問題.文獻(xiàn)[25]解決了航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)間歇性執(zhí)行器故障的補(bǔ)償問題.采用K?濾波器技術(shù)[26?27],兩種自適應(yīng)輸出反饋控制方案補(bǔ)償了間歇性執(zhí)行器故障的影響[28?29].但是,以上方案[20?25, 28?29]僅僅證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)跟蹤指標(biāo),沒有建立跟蹤誤差意義下的系統(tǒng)暫態(tài)指標(biāo)與設(shè)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系.從而不能通過調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)參數(shù)改善系統(tǒng)的暫態(tài)指標(biāo).在文獻(xiàn)[22]中,作者在假設(shè)故障次數(shù)有限的前提下,提出了一種暫態(tài)跟蹤誤差指標(biāo)的顯式界.但是該界取決于系統(tǒng)中故障的次數(shù).當(dāng)故障次數(shù)趨于無窮大時(shí),系統(tǒng)的暫態(tài)指標(biāo)不能被保證.則文獻(xiàn)[22]中建立的系統(tǒng)暫態(tài)指標(biāo)不能應(yīng)用于考慮無限次故障的暫態(tài)指標(biāo)分析中.因此,在間歇性執(zhí)行器故障的情況下,所設(shè)計(jì)的補(bǔ)償控制方案中如何明確地建立跟蹤誤差意義下的系統(tǒng)暫態(tài)指標(biāo)與設(shè)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系并通過調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)參數(shù)獲得良好的系統(tǒng)暫態(tài)指標(biāo)也具有重要的理論與工程意義.

此外,文獻(xiàn)[9?13,20?23,28?29]設(shè)計(jì)的基于傳統(tǒng)的 Backstepping 故障補(bǔ)償控制方案需要對虛擬控制律的偏導(dǎo)數(shù)進(jìn)行解析計(jì)算.如文獻(xiàn)[30?31]所述,隨著系統(tǒng)階數(shù)的增加,上述計(jì)算將變得非常復(fù)雜,從而限制了上述方案在實(shí)際中的應(yīng)用.鑒于此,文獻(xiàn)[30?31]提出的CFB 控制技術(shù)在不滿足匹配條件的非線性系統(tǒng)的自適應(yīng)控制中引起了廣泛的關(guān)注.與傳統(tǒng)的Backstepping 技術(shù)相比,CFB 方法有如下的優(yōu)點(diǎn): 1) 指令濾波器可精確地估計(jì)虛擬控制信號及其導(dǎo)數(shù);2) 消除了虛擬控制律解析微分的計(jì)算,使得控制律的設(shè)計(jì)更容易實(shí)現(xiàn);3) 指令濾波器引起的濾波誤差在控制器中得到了補(bǔ)償.因此,本文采用 CFB 控制技術(shù),針對一類不確定嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng),提出一種自適應(yīng)控制方案以解決間歇性執(zhí)行器故障的補(bǔ)償問題.

本文的主要貢獻(xiàn)如下:

1) 采用投影算子在線調(diào)整控制器中的估計(jì)參數(shù),可消除故障次數(shù)不斷累積而導(dǎo)致的估計(jì)參數(shù)值不斷增加的問題.

2) 改進(jìn)的Lyapunov 函數(shù)證明了所提出的方案能夠保證所有閉環(huán)信號的有界性.同時(shí)明確地建立了跟蹤誤差與Lyapunov 函數(shù)的跳變幅度,最小故障時(shí)間間隔和設(shè)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系.特別是,Lyapunov 函數(shù)的跳變幅度越小和兩個(gè)連續(xù)故障之間的時(shí)間間隔越長,系統(tǒng)跟蹤指標(biāo)越好.應(yīng)該指出的是,系統(tǒng)的跟蹤指標(biāo)與故障次數(shù)無任何關(guān)系.

3) 通過迭代計(jì)算建立了暫態(tài)跟蹤誤差指標(biāo)的均方根型界.該界說明了通過選擇恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)參數(shù),可獲得良好的跟蹤誤差意義下的系統(tǒng)暫態(tài)指標(biāo).需要說明的是,該均方根型界不依賴于故障的總次數(shù).

本文其余部分安排如下: 第 1 節(jié)給出了問題的描述.第 2 節(jié)設(shè)計(jì)了控制方案.第 3 節(jié)進(jìn)行了仿真研究.第 4 節(jié)總結(jié)了全文并給出了進(jìn)一步的研究工作.

1 問題描述

1.1 非線性系統(tǒng)

考慮如下不確定嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)

2) 便于第 2 節(jié)的控制器設(shè)計(jì)以及穩(wěn)定性分析,給出如下的定義.在時(shí)間區(qū)間 [tq,tq+1) (q∈N+)內(nèi),假定有mq(mq ≤m ?1) 個(gè)執(zhí)行器k1,···,kmq發(fā)生 LIP 故障,且在未知時(shí)刻tq+1之前,所有執(zhí)行器的狀態(tài)不發(fā)生變化.

控制的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)控制方案使得:a) 能夠有效地補(bǔ)償未知間歇性執(zhí)性行器故障對系統(tǒng)的影響;b) 閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號的有界性被保證;c) 系統(tǒng)的輸出y∈R 可跟蹤期望輸出yd∈R,其中yd和y˙d已知且有界;4) 通過選擇恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)參數(shù),可調(diào)節(jié)系統(tǒng)在跟蹤誤差意義下的穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)指標(biāo).

為了實(shí)現(xiàn)上述控制目標(biāo),需要如下的假設(shè).

假設(shè) 1.在每個(gè)時(shí)間間隔 [tq,tq+1) 內(nèi),當(dāng)任意不大于m ?1 個(gè)執(zhí)行器發(fā)生LIP 故障時(shí),剩余的執(zhí)行器仍可驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)完成上述控制目標(biāo).

注 2.假設(shè) 1 是保證系統(tǒng) (1) 可控性的基本且必要的假設(shè).在每個(gè)時(shí)間間隔 [tq,tq+1) 內(nèi)允許所有執(zhí)行器同時(shí)發(fā)生 PLOE 故障.但是當(dāng)所有執(zhí)行器同時(shí)發(fā)生 LIP 故障時(shí),則不能完成上述控制目標(biāo).假設(shè) 1 還表明了每個(gè)執(zhí)行器存在無限次故障的可能性.假設(shè) 2[30]表明了非線性函數(shù)fi(·),gi(·),bk(·)在x∈Rn上滿足 Lipschitz 條件.因此,對于任意的x(0)∈Rn,系統(tǒng) (1) 都存在唯一的連續(xù)解x(t)[32].從而系統(tǒng) (1) 定義的初值問題的解x(t) 的有界性在?t∈[0,∞) 上被保證.假設(shè) 3 表明了故障參數(shù)的 有界性以及上的變化率的有界性.已知常數(shù)和將用于第2.2節(jié)的自適應(yīng)律設(shè)計(jì)中.此外,假設(shè)和上均為光滑函數(shù)僅僅是為了第 2.3 節(jié)的穩(wěn)定性分析的目的,不用于控制器的設(shè)計(jì)中.

1.2 極限學(xué)習(xí)機(jī)的學(xué)習(xí)理論

極限學(xué)習(xí)機(jī) (Extreme learning machine,ELM) 是由 Huang等[33]提出的用于單隱層前饋NNs 的快速學(xué)習(xí)算法,其本質(zhì)上是一種單隱層前饋NNs.ELM 特點(diǎn)是隨機(jī)選擇網(wǎng)絡(luò)隱含層節(jié)點(diǎn)參數(shù),在學(xué)習(xí)過程中僅需要調(diào)節(jié)網(wǎng)絡(luò)的輸出權(quán)值.正如文獻(xiàn)[34]所指出的,ELM 不僅提高了單隱層前饋NNs 的學(xué)習(xí)效率,而且完全保留了傳統(tǒng)單隱層前饋NNs 固有的通用逼近能力.根據(jù)文獻(xiàn)[34]中的定理II.1,對于任意的隨機(jī)函數(shù)序列,ELM可以逼近任意連續(xù)函數(shù)f(Z):Rn →R:

其中,Z∈SZ且SZ∈Rn表示緊集合;μ(Z) 表示逼近誤差并且存在未知常數(shù)0,使得|μ(Z);激活函數(shù)hj(Z) 可表示為

其中,j=1,···,L以及 (aj,bj) 表示第j個(gè)隱層節(jié)點(diǎn)的學(xué)習(xí)參數(shù),其在 Rn×R+的任意區(qū)間上隨機(jī)選擇;θ=[θ1,···,θL]T∈RL表示 ELM 的最優(yōu)權(quán)值,其真實(shí)值未知.因此,在第 2.1 節(jié)的控制器設(shè)計(jì)中,采用了基于估計(jì)的逼近模型

使得對于?Z∈SZ,逼近誤差μ最小.緊集合定義為

2 自適應(yīng)神經(jīng)補(bǔ)償控制設(shè)計(jì)

首先,針對具有間歇性執(zhí)行器故障 (2) 的系統(tǒng)(1),設(shè)計(jì)一種自適應(yīng) CFB 補(bǔ)償控制方案,并采用投影算子實(shí)時(shí)在線更新控制器中的估計(jì)參數(shù)使得參數(shù)估計(jì)的有界性被保證.圖1 給出了該控制方案的控制流程.在圖1 中,以i=3 為例,α2表示指令濾波器 (11) 的輸入,xc3和表示指令濾波器 (11)的輸出,也表示虛擬控制律α2及其導(dǎo)數(shù)的估計(jì),信號α2,xc3,ξ3通過積分運(yùn)算生成指令濾波誤差補(bǔ)償信號ξ2.其次,考慮到未知故障參數(shù)的間歇性跳變對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,定理 1 提出一種改進(jìn)的Lyapunov 函數(shù)分析了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性.證明了所提出的補(bǔ)償控制方案能夠保證所有閉環(huán)信號的有界性.同時(shí)明確地建立了跟蹤誤差與Lyapunov 函數(shù)跳變幅度,最小故障時(shí)間間隔,設(shè)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系.最后,定理 2 利用迭代計(jì)算建立了暫態(tài)跟蹤誤差指標(biāo)的均方根型界,該界表明了通過選擇恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)參數(shù),可獲得良好的跟蹤誤差意義下的系統(tǒng)暫態(tài)指標(biāo).

圖1 控制結(jié)構(gòu)圖 (xci和 ,i =2,···,n,為濾波器(11) 的輸出.αi ,i =1,···,n,為式 (12)～(14) 中定義的虛擬控制律.ξi ,i =1,···,n ?1 為式 (17) 中定義的濾波誤差補(bǔ)償信號)Fig.1 Control block diagram (xci and fori=2,···,n are the outputs of the filter (11).αi fori=1,···,n is virtual control law defined in (12)～(14).ξi fori =1,···,n ?1 is the compensating signal of the filtered error defined in (17))

2.1 故障補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)

實(shí)際控制律設(shè)計(jì)為

其中,u0將采用CFB 控制技術(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì).利用注2 中的 2),并將式 (2)和式 (8) 代入系統(tǒng) (1) 的第n個(gè)方程,有

其中,xc1=yd且yd為期望軌跡.由圖1 可知,當(dāng)i=2,···,n時(shí),xci與其時(shí)間導(dǎo)數(shù)由如下的指令濾波器[30?31]生成

2.2 自適應(yīng)律設(shè)計(jì)

根據(jù)假設(shè)1,有如下的結(jié)論:

注 4.引理1 表明了對于?t∈[0,∞),投影算子(23)可明確地保證估計(jì)參數(shù)的有界性.從而消除了故障次數(shù)不斷累積而導(dǎo)致的控制器中估計(jì)參數(shù)不斷增加的問題.由于,?t∈[0,∞),則有如下的結(jié)論: 1)保證了參數(shù)估計(jì)誤差的有界性;2) 保證了由未知參數(shù)?間歇性跳變引起的所有Lyapunov 函數(shù)的跳變幅度的有界性.結(jié)論1)和2)將應(yīng)用于定理1 的證明中.

2.3 穩(wěn)定性分析

閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析由定理1 給出.

定理 1.考慮由具有間歇性執(zhí)行器故障 (2) 的不確定嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng) (1),實(shí)際控制律 (8)和(15),虛擬控制律 (12)～(14),濾波器 (11)和(17) 以及基于投影算子的參數(shù)自適應(yīng)律 (19) 組成的閉環(huán)系統(tǒng).令系統(tǒng)的所有初始條件均有界并滿足假設(shè) 1～3 以及選擇恰當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)參數(shù).即使在運(yùn)行過程中存在未知參數(shù)的間歇性跳變,所提出的控制方案能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號的有界性.

證明.在每個(gè)時(shí)間間隔 [tq,tq+1) 內(nèi),Lyapunov 函數(shù)選擇為

2.4 暫態(tài)指標(biāo)分析

3 仿真研究

選擇4 個(gè)實(shí)例為被控對象分別進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),以驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)補(bǔ)償控制方案對間歇性執(zhí)行器故障的補(bǔ)償能力和跟蹤控制指標(biāo).

3.1 實(shí)驗(yàn)1: 數(shù)值仿真1

考慮如下的三階嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)

其中,j=1,3,···;T?=20 s.從式 (44)和式 (45)中可看出,在每個(gè)jT?s 時(shí)間段內(nèi),系統(tǒng)中第1 個(gè)執(zhí)行器的輸出將損失其有效性的 40%～80%,而第2 個(gè)執(zhí)行器將鎖死在u2=8+4 cos(8t).在其余時(shí)間段內(nèi),兩個(gè)執(zhí)行器均運(yùn)行在無故障情況下.

首先,從圖2 (a) 可看出,系統(tǒng)的輸出y可跟蹤給定的期望輸出yd.從圖2 (b) 可看出,跟蹤誤差可漸近地收斂到零的一個(gè)很小的領(lǐng)域內(nèi),并且增加控制增益參數(shù)k1,k2,k3和自適應(yīng)律因子?？色@得很小的跟蹤誤差.其次,圖3～5 分別表明了控制輸入信號u1,u2,濾波信號xc2,xc3,ξ1,ξ2和估計(jì)參數(shù)的有界性.從圖5(c)～5(f) 中可清楚地看出,動(dòng)態(tài)參數(shù)隨著執(zhí)行器狀態(tài)的不斷切換而不斷跳變.但是,選擇投影算子實(shí)時(shí)在線更新控制器中的估計(jì)參數(shù),使得的有界性可得到明確地保證.最后,從圖2～5 中可看出,在均勻間隔周期執(zhí)行器故障的情況下,所提出的補(bǔ)償控制器能夠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)完成預(yù)期的跟蹤控制指標(biāo),同時(shí)保證了閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號的有界性.

圖2 實(shí)驗(yàn)1 中輸出y,期望軌跡yd 及跟蹤誤差Fig.2 Outputy,desired trajectoryyd and tracking error in Experiment 1

圖3 實(shí)驗(yàn)1 中控制輸入u1和u2Fig.3 Control inputsu1 andu2 in Experiment 1

圖4 實(shí)驗(yàn)1 中命令濾波誤差及其補(bǔ)償信號Fig.4 Command filtered errors and their compensating signals in Experiment 1

圖5 實(shí)驗(yàn)1 中自適應(yīng)參數(shù)Fig.5 Adaptive parameter in Experiment 1

3.2 實(shí)驗(yàn)2: 數(shù)值仿真2

選擇如下的三階不確定嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng)

其中,b1(x)=b2(x)=2+sin(x1x2x3).

執(zhí)行器故障模型選擇為

首先,圖6(a) 表明了系統(tǒng)的輸出y可跟蹤給定的期望輸出yd.圖6(b) 表明了跟蹤誤差可漸近地收斂到零的一個(gè)很小的領(lǐng)域內(nèi),并且增加控制增益參數(shù)k1,k2,k3和自適應(yīng)律因子Γ可獲得很小的跟蹤誤差.其次,圖7～9 分別表明了控制輸入信號u1,u2,濾波信號xc2,xc3,ξ1,ξ2和估計(jì)參數(shù)的有界性.從圖9(c),9(e)和9(f) 中可清楚地看出,動(dòng)態(tài)參數(shù)隨著故障參數(shù)跳變次數(shù)的增加而不斷跳變.但是,基于投影算子的參數(shù)自適應(yīng)律可以保證的有界性.最后,從圖6～9 中可看出,在非均勻間隔周期執(zhí)行器故障的情況下,所提出的自適應(yīng)補(bǔ)償控制器不僅成功地驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)完成預(yù)期的跟蹤控制指標(biāo),而且保證了所有閉環(huán)信號的有界性.

圖6 實(shí)驗(yàn)2 中輸出y,期望軌跡yd 及跟蹤誤差Fig.6 Outputy,desired trajectoryyd and tracking error in Experiment 2

圖7 實(shí)驗(yàn)2 中控制輸入u1和u2Fig.7 Control inputsu1 andu2 in Experiment 2

圖8 實(shí)驗(yàn)2 中命令濾波誤差及其補(bǔ)償信號Fig.8 Command filtered errors and their compensating signals in Experiment 2

圖9 實(shí)驗(yàn)2 中自適應(yīng)參數(shù)Fig.9 Adaptive parameters in Experiment 2

3.3 實(shí)驗(yàn)3: 三階單關(guān)節(jié)機(jī)器人的控制應(yīng)用

將所提出的控制方案應(yīng)用于實(shí)際的三階單關(guān)節(jié)機(jī)器人控制系統(tǒng)[36]中,以驗(yàn)證其對間歇性執(zhí)行器故障的補(bǔ)償能力.三階單關(guān)節(jié)機(jī)器人的動(dòng)態(tài)方程為

其中,b1=b2=1/M. 在仿真中,系統(tǒng)參數(shù)選擇為D=B=1,M=0.05,Km=10,J=0.5和N=10.

執(zhí)行器故障模型選擇為

其中,j=1,3,···;T=15.從式 (51)和式 (52) 中可看出,在每個(gè)jT?s 時(shí)間段內(nèi),系統(tǒng)中第1 個(gè)執(zhí)行器將鎖死在 6 +2 cos(3t),而第2 個(gè)執(zhí)行器的輸出將損失其有效性的 20%～80%,在其余的時(shí)間段內(nèi),兩個(gè)執(zhí)行器均運(yùn)行在無故障情況下.

3.4 實(shí)驗(yàn)4: 柔性機(jī)器人的控制應(yīng)用

將所提出的控制方案應(yīng)用于實(shí)際的柔性機(jī)器人控制系統(tǒng)[36]中,以驗(yàn)證其對間歇性執(zhí)行器故障的補(bǔ)償能力.柔性機(jī)器人的動(dòng)態(tài)方程可表示為

圖10 實(shí)驗(yàn)3 中輸出y,期望軌跡yd 及跟蹤誤差Fig.10 Outputy,desired trajectoryyd and tracking error in Experiment 3

圖11 實(shí)驗(yàn)3 中控制輸入u1和u2Fig.11 Control inputsu1 andu2 in Experiment 3

圖12 實(shí)驗(yàn)3 中命令濾波誤差及其補(bǔ)償信號Fig.12 Command filtered errors and their compensating signals in Experiment 3

其中,b1=b2=1/J.在仿真中,系統(tǒng)參數(shù)選擇為M=2.3,L=1,g=9.8,I=ML2,J=0.5,K=15.

執(zhí)行器故障模型選擇為

其中,j=1,3,···;T=25.在式 (55)和式 (56)中,加入不等間隔的 0≤?T1

圖13 實(shí)驗(yàn)3 中自適應(yīng)參數(shù)Fig.13 Adaptive parameters in Experiment 3

首先,圖14(a) 顯示了系統(tǒng)的輸出y可收斂到其期望輸出yd的一個(gè)很小的領(lǐng)域內(nèi).從圖14(b)可看出,跟蹤誤差可漸近地收斂到零的一個(gè)很小的領(lǐng)域內(nèi).控制增益參數(shù)k1,k2,k3,k4和自適應(yīng)律因子Γ越大,跟蹤誤差越小,即系統(tǒng)的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)指標(biāo)越好.其次,控制輸入信號u1,u2,濾波信號xc2,xc3,xc4,ξ1,ξ2,ξ3和估計(jì)參數(shù)有界性如圖15～17 所示.特別是圖17 (a)和圖17(b) 顯示了估計(jì)參數(shù)隨著參數(shù)跳變次數(shù)的增加而不斷增加.但是,基于投影算子的自適應(yīng)律能夠明確保證的有界性.最后,從圖14～17 中可看出,在非均勻間隔周期執(zhí)行器故障的情況下,所提出的補(bǔ)償控制器不僅能夠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)完成預(yù)期的跟蹤控制指標(biāo),而且保證了所有閉環(huán)信號的有界性.

圖14 實(shí)驗(yàn)4 中輸出y ,期望軌跡yd 及跟蹤誤差Fig.14 Outputy,desired trajectoryyd and tracking error in Experiment 4

圖15 實(shí)驗(yàn)4 中控制輸入u1和u2Fig.15 Control inputsu1 andu2 in Experiment 4

圖16 實(shí)驗(yàn)4 中命令濾波誤差及其補(bǔ)償信號Fig.16 Command filtered errors and their compensating signals in Experiment 4

圖17 實(shí)驗(yàn)4 中自適應(yīng)參數(shù)Fig.17 Adaptive parameters in Experiment 4

4 結(jié)束語

本文針對一類不確定嚴(yán)格反饋非線性系統(tǒng),提出了一種自適應(yīng) CFB 控制方案解決了間歇性執(zhí)行器故障的補(bǔ)償問題.基于投影算子的參數(shù)更新律可保證控制器中估計(jì)參數(shù)的有界性.即使存在未知參數(shù)間歇性跳變的影響,改進(jìn)的Lyapunov 函數(shù)證明了所提出的方案能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)中所有信號的有界性.同時(shí)建立了系統(tǒng)穩(wěn)定性與Lyapunov 函數(shù)跳變幅度,最小故障時(shí)間間隔以及設(shè)計(jì)參數(shù)之間的關(guān)系.進(jìn)一步,建立的跟蹤誤差的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)指標(biāo)顯式界說明了通過調(diào)節(jié)設(shè)計(jì)參數(shù),可獲得良好的系統(tǒng)暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)跟蹤指標(biāo).最后,四個(gè)仿真實(shí)例驗(yàn)證了所提出的控制方案不僅解決了均勻間隔周期執(zhí)行器故障的補(bǔ)償問題,而且解決了非均勻間隔周期執(zhí)行器故障的補(bǔ)償問題.

遲滯或者輸入量化等未知非線性現(xiàn)象也經(jīng)常存在于控制系統(tǒng)的執(zhí)行器中.因此,結(jié)合高增益觀測器技術(shù)[32],針對具有遲滯(或者輸入量化)和間歇性執(zhí)行器故障的系統(tǒng)(1),設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)輸出反饋控制方案將是下一步的研究重點(diǎn).

附錄A 定理2 的證明

證明.調(diào)用式 (31),式 (25) 定義的 Lyapunov 函數(shù)V的導(dǎo)數(shù)還滿足

其中,k的定義見式 (27).