基于線性變換的領導?跟隨多智能體系統動態反饋均方一致性控制

鄭維 張志明 劉和鑫 張明泉 孫富春

自然界里存在著許多生物聚集的現象,比如候鳥遷徙、魚群逆流、蟻群遷徙等.通過對自然界各種群集現象的研究以及對現有的網絡模型結構的理解,學者們提出了多智能體系統(Multi-agent system,MAS)的概念[1?4].多智能體系統中各智能體之間相互協同合作的基礎就是一致性問題.文獻[5]給出了多智能體系統一致性問題的系統基礎結構,同時對一致性問題提出了標準化的數學表達.多智能體系統領導跟隨一致性問題作為一個重要的協同控制問題同樣是學者們關注的熱點.其領導者不受跟隨者影響,且要求跟隨者和領導者目標一致.

近年來,對于領導?跟隨多智能體一致性控制的研究熱度不斷增長,并涌現出了大量的研究成果.文獻[6]研究了在固定和變換拓撲下領導?跟隨多智能體系統協同控制信息的一致性算法.文獻[7]針對有向拓撲結構研究了時變的領導?跟隨多智能體網絡的一致性問題.在領導?跟隨多智能體系統中如果減少自主體之間的通信次數,就可以減少網絡中的節點之間數據的傳遞次數和頻率,提高系統的收斂速度.文獻[8]研究了具有交換拓撲和存在噪聲的多自主體系統模型,提出了一種基于領導?跟隨多智能體自身以及鄰居狀態的一致性采樣控制協議.文獻[9]基于M 矩陣理論進行一致性收斂分析,討論了采樣數據框架下的一階多智能體系統領導跟隨一致性問題.文獻[10]研究了一類二階非線性多智能體系統的領導跟隨一致性問題,利用相鄰智能體之問的相對信息給出分布式自適應非線性控制率.事實上,領導?跟隨多智能體系統常常受到外部因素的影響,例如: 通信時滯和執行器故障,從而使得一致性問題變得更具挑戰性.

在許多物理系統中,如通訊及工業控制系統中,由于信息傳輸速度受限、傳輸通道擁堵等原因,時滯在網絡化多智能體系統中總是不可避免的出現[11].時滯的出現對整體系統的性能影響很大,例如: 系統穩定性、收斂速度、收斂效果等.因此,研究存在時滯的多智能體系統一致性控制問題非常必要.文獻[12?14]研究僅含有通信時滯的一致性問題.通信時滯主要指某個智能體與其鄰居之間信息傳遞過程中產生的時間延遲;文獻[15?16]研究僅帶有輸入時滯的系統一致性問題;文獻[17]對帶有輸入時滯及通信時滯的系統進行一致性分析;文獻[18?20]對含有常數通信時滯的二階多智能體系統進行一致性分析,并求得達到一致性的充分條件.文獻[21]使用脈沖控制方法研究了具有不確定和隨機發生非線性的多智能體系統一致性;文獻[22]研究了具有非線性輸入項的非線性多智能體系統的領導—跟隨一致性,且該分布式控制協議保證系統一致性;文獻[23]研究具有時變輸入時滯的線性多智能體系統分布式一致性;文獻[24]研究具有時變通信時滯的非線性多智能體系統一致性;文獻[25?26]基于模型簡化法研究多常數時滯的多智能體系統一致性問題,將系統轉化為不含時滯的系統.

在實際應用中,智能體自身的能量和通信信道帶寬都是有限的[27?28].一般而言,控制任務中的測量、通信和控制協議的更新都是周期性執行的,即周期采樣控制方法[29?31].為了保證所有執行點的性能,采樣時間常數通常取一個保守值,這通常會造成通信資源和計算資源的浪費,進而造成信息擁堵,引起時滯.從理論研究角度看,時滯系統研究更關注非線性系統和狀態時滯.但是,由于復雜控制系統中時滯具有不確定性,時變時滯更具有研究價值.此外,在實際系統中,外部擾動的存在,對實現系統一致性造成了極大的困難,因此考慮外界擾動更具有實際意義.如果所設計的控制器能夠有效抑制擾動,那么系統達成一致性的同時就具有了強魯棒性.與現有的研究結果相比,本文采用系統的H∞性能指標來分析系統的魯棒性.另外,關于多智能體一致性控制問題的研究,現有研究多集中在固定拓撲或無向拓撲,這就對系統的通信能力提出了極高的要求[32].文獻[33?34]研究了具有利普希茨(Lipschitz)非線性動力學的多智能體系統的一致性控制問題.其中,文獻[33]假設跟隨者之間的拓撲不是強連接和固定的,進而解決智能體的共識跟蹤問題.在文獻[33]基礎上,文獻[34]基于采樣數據信息對具有Lipschitz 非線性動力學的多智能體系統進行一致性分析,同時采用輸入延遲的方法,將得到的采樣數據閉環系統重新規劃為控制輸入具有時變時滯的連續系統,進而實現多智能體一致性控制.

時滯現象廣泛地存在各種實際系統中,如生物系統、神經網絡系統、自動化系統、通信系統等.此外,控制系統在工作過程中時常發生故障,且不可避免,例如: 執行器故障及控制輸入傳輸故障[15]等.在含有通信拓撲結構的多智能體系統中,由于信息傳輸速度受限、傳輸通道擁堵等原因,通信時滯在網絡化多智能體系統中總是不可避免的出現.通信時滯主要指某個智能體與其鄰居之間信息傳遞過程中產生的時間延遲,且通信時滯會影響多智能體系統的整體性能,例如: 系統的穩定性和收斂速度等.因此,針對領導?跟隨多智能體系統,基于系統的安全因素及更高的可靠性和魯棒性的需求,設計一個有效的控制策略十分重要.

基于上述研究內容,在切換通信拓撲結構下,本文針對基于半馬爾科夫(Markov)跳變的帶有通訊時滯和執行器故障的領導?跟隨多智能體系統,設計一種新的動態反饋控制策略.根據多智能體系統的均方一致性要求,對系統進行線性變換.同時設計(Lyapunov)函數,對符合Lipschitz 條件的非線性項,利用Lyapunov 函數抑制系統的非線性特性,通過求解相應的線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI),證明了多智能體誤差系統穩定性,并導出了系統穩定的充分條件,從而實現了領導?跟隨多智能體系統的均方一致性控制.設計動態反饋控制器,對誤差系統的系統矩陣進行線性化處理,解決由控制器未知增益矩陣引起的非線性問題.該設計方法能夠使多智能體系統受到外部擾動時,系統狀態以相對較小的振蕩快速趨于一致,滿足暫態響應性能指標.將實現領導?跟隨多智能體系統的均方一致性問題轉化為多智能體誤差系統的穩定性問題.并利用線性矩陣不等式求解增益矩陣,增強設計控制器的靈活性.最后,仿真結果表明基于線性變換設計的動態反饋控制器策略有良好的控制性能,并且能夠提高領導?跟隨多智能體系統的動態特性.

1 問題描述

考慮由1 個領導者和N個智能體個體組成的連續時間領導?跟隨多智能體系統,其中第i個跟隨者的動力學模型為

領導者的動力學模型為

其中,κ ≥0 表示非負標量.

假設 3.每個可能存在的拓撲結構圖G(k),其中k∈S,都有一個以領導者為根節點的生成樹.

假定拓撲結構之間的變換滿足半Markov 切換過程,并將變換拓撲結構表示為如下形式

其中,{rt,t ≥0},G(rt) 為半Markov 過程.

針對本文描述的領導?跟隨多智能體系統的動力學模型,基于鄰居者信息以及延遲信息,設計如下控制律

式中,α和β表示當前狀態與延遲狀態的耦合強度,τ ≥0 表示通信時滯.rt=r(t) 表示系統切換信號,aij(rt) 表示系統切換函數,K(rt) 表示控制器增益矩陣,根據切換信號對控制增益矩陣進行設計.

2 均方一致性控制器設計

針對領導?跟隨多智能體系統(1)和(2),定義系統誤差變量為

其中,δi(t) 表示系統誤差變量,x0(t) 表示領導者狀態變量,xi(t) 表示第i個跟隨者的狀態變量.

對式(5)求導,可得

將式(1)和式(2)代入式(6)中,可得

為了簡化式(7),引入中間變量f(δi(t),t)和(t),有

通過上述變換,將多智能體系統單個跟隨者與領導者的一致性問題轉換為了上述誤差系統(11)的穩定性問題.

定義如下向量

根據克羅內克(Kronecker)積,可得

注 1.從式(11)可以看出,通過上述變換,根據Kronecker 積的相關定義以及上述向量,可將單個誤差系統轉化為誤差系統的向量形式,即將領導?跟隨多智能體系統(1)和(2)的一致性問題轉化為誤差系統(12)的穩定性問題.

將δi(t)=x0(t)?xi(t) 代入到系統輸入表達式(4)中可得

帶有執行器故障的控制輸入表達式為

因此,根據多智能體系統拓撲結構圖的拉普拉斯(Laplacian)矩陣,Kronecker 積的相關性質和式(13),可得

那么,誤差系統(12)的最終形式為

那么,將領導?跟隨多智能體系統的一致性問題最終轉換為誤差系統(16)的穩定性問題.在后續計算中,將rt簡寫為r.

針對本文提出的問題,給出定義1和引理1 如下,定義1和引理1 將用于系統的穩定性分析.

定義 1[35].對于具有外部擾動的控制系統,且外部擾動為ω(t),在零初始條件下,若系統輸出z(t)滿足

3 穩定性分析

定理 1.在假設1～3 的條件下,對于給定參數τ >0 ,σ≥0和給定矩陣Γ,若存在正定矩陣Pr >0,r=1,2,···,s,Q>0 以及正定對角陣T >0,使得

那么,在控制器(4)的作用下,多智能體系統能夠達到均方一致性,且滿足H∞性能指標γ >0.

證明.證明分為兩個部分,無外部擾動時的穩定性證明與有外部擾動時的H∞穩定性證明.

首先,令 Υ (t)=0,證明系統穩定性.選取正定Lyapunov 函數為

對式(18)求導,可得

根據引理1 以及式(17),式(26) 中的矩陣Ψr <0,從而保證所選取Lyapunov 函數的導函數為負定.

當 Υ (t)0 時,對系統的H∞性能進行分析.由式(26)和式(16),可得

將式(16)代入式(28)中,根據引理1,可得

因此,由式(16),可得

由Dynkins 公式可得

多智能體能夠達到一致性,滿足H∞性能指標.□

注 2.由于控制器增益矩陣Kr為未知矩陣,因此,定理1 中的矩陣不等式為非線性的,對Kr的求解造成了困難.本文給出使定理1 成立的充分條件,并且滿足線性矩陣不等式的要求,從而利用線性矩陣不等式工具箱解得控制器增益矩陣.

定理 2.在假設1～3 的條件下,對于給定參數τ >0,σ ≥0和給定矩陣Γ,若存在矩陣Xr >0,Yr >0,Ur >0和Wr >0,使得

那么,在控制器(4)的作用下,領導?跟隨多智能體系統(1)和(2)能夠達到均方一致性,并且具有H∞性能指標.其中,控制器增益矩陣Kr=

證明.將式(17)中的矩陣分別左乘、右乘對角陣,將式(34)中的矩陣代入后,可得

利用引理1,可將ζ11中的第2 項展開為Φr中的χ16和χ66兩項,因此,式(35)等價于式(33),不等式(33)即為滿足線性矩陣不等式要求的矩陣不等式,可通過LMIs 工具箱對其中的未知矩陣求解,從而得到控制器增益矩陣. □

注 4.本文通過定理1和定理2 分析了在切換通信拓撲結構下,帶有非線性項、執行器故障和外部擾動的領導?跟隨多智能體系統的均方一致性控制問題.針對給出的領導者與跟隨者系統模型(1)和(2),通過線性變換,將均方一致性問題轉化為領導?跟隨誤差系統的穩定性問題.降低了系統設計的保守性.對符合Lipschitz 條件的非線性項,利用Lyapunov 函數抑制系統的非線性特性.并利用時變轉移概率矩陣設計半Markov 過程來描述通信拓撲的切換過程.基于動態反饋控制和鄰近原則,設計動態反饋控制器,對誤差系統的系統矩陣進行線性化處理,解決由控制器未知增益矩陣產生的非線性問題.該設計方法能夠保證多智能體系統受到外部擾動時,系統狀態以相對較小的振蕩快速趨于一致,從而滿足暫態響應性能指標.

丁柔是周橋的前女友，在眾人眼里是女神一般的存在，畢業沒多久就成了北漂一族，當年她嫌周橋不夠有斗志，堅持了一年異地戀后結束。

4 仿真驗證

領導者是一個運動學獨立于其他智能體的特殊智能體,它可以對其他的跟蹤智能體產生影響,反之通常不成立,故可以在仿真驗證中通過控制領導者智能體的運動來完成對多智能體系統最終狀態的控制,這樣便簡化了多智能體系統的控制過程,同時也降低了控制成本.因此,為了驗證本文提出方法的有效性,分別給出例1和例2,驗證具有1 個領導者和不同數量跟隨者的多智能體系統的一致性控制問題.

例 1.考慮由1 個領導者和3 個跟隨者組成的領導?跟隨多智能體系統,該多智能體系統的通信拓撲結構如圖1 所示,即{G1,G2,G3,G4},其中智能體0 表示領導者,智能體1,2,3 表示跟隨者.

圖1 系統通信拓撲結構Fig.1 The topological structure of system communication

領導者和跟隨者的系統參數矩陣給定如下:

假設該系統通信拓撲的切換過程滿足半Markov過程,且有4 個不同的拓撲結構,如圖1 所示,給定系統轉移概率矩陣的變化域如下所示:

系統的其他參數設定為α=3,β=5,τ=0.4,σ=0.1,ξ1=0.4,ξ2=0.6,利用MATLAB 中的LMIs工具箱,求解矩陣不等式(33),可得系統的H∞參數為γ=0.76,控制器增益矩陣為

給定系統的初始狀態為

在控制器(4)的作用下,得到系統的狀態響應曲線如圖2和圖3 所示,令系統的誤差為e(t)=且誤差曲線如圖4 所示,系統通信拓撲的半Markov 切換信號如圖5 所示.系統的狀態響應圖表明,3 個跟隨者智能體的狀態響應曲線,在切換信號的影響下,能夠逐漸向領導者智能體狀態軌跡靠攏,在4 s 左右達到一致;誤差曲線圖4 表明,對于領導?跟隨多智能體系統(1),在本文設計的一致性控制器的作用下,能夠實現一致性控制,并具有較好的魯棒性.從仿真圖4 可以看出,系統誤差的過渡過程時間是1.95 s.從圖4 的過渡過程時間可以看出,雖然誤差響應曲線的縱軸數量級相對較大,但是誤差在1.95 s 收斂到0,并保持穩定,體現了系統誤差的穩定性能.

圖2 狀態變量xi1(t) 響應曲線Fig.2 The response of state variablexi1(t)

圖3 狀態變量xi2(t) 響應曲線Fig.3 The response of state variablexi2(t)

圖4 系統誤差e (t) 響應曲線Fig.4 The response of system errore(t)

圖5 通信拓撲切換信號Fig.5 The switching signal of communication topology

例 2.考慮由系統模型為(2)的1 個領導者和系統模型為(1)的5 個跟隨者組成的領導?跟隨多智能體系統,該多智能體的通信拓撲結構如圖6所示,即{G1,G2,G3,G4},其中,智能體0 表示領導者,智能體1,2,3,4,5 表示跟隨者.

圖6 系統通信拓撲結構Fig.6 The topological structure of system communication

對于領導者和跟隨者的系統參數矩陣給定如下:

假設該系統通信拓撲的切換過程滿足半Markov過程,且有4 個不同的拓撲結構,如圖6 所示,給定系統轉移概率矩陣的變化域如下所示:

系統的其他參數設定為α=3,β=5,τ=0.8,σ=0.1,ξ1=0.4,ξ2=0.6,利用MATLAB 中的LMIs工具箱,求解矩陣不等式(33),可得系統的H∞參數為γ=0.6,控制器增益矩陣為

給定系統的初始狀態為

在控制器(4)的作用下,得到系統的狀態響應曲線如圖7和圖8 所示,令系統的誤差為e(t)=且誤差曲線如圖9 所示,系統通信拓撲的半Markov 切換信號如圖10 所示.系統的狀態響應圖表明,5 個跟隨者智能體的狀態軌跡,在切換信號的影響下,能夠逐漸向領導者智能體狀態軌跡靠攏,在4.5 s 左右達到一致;誤差曲線圖9 表明,對于領導?跟隨多智能體系統(1),在本文設計的一致性控制器的作用下,能夠實現一致性控制,并具有較好的魯棒性.另外,從圖9 中響應曲線較大的數量級和較大的收斂斜率可以看出,在動態反饋控制作用下,圖9 中響應曲線的峰值時間0.95 s,說明多智能體系統誤差響應具有較快的收斂特性.

圖7 狀態變量xi1(t) 響應曲線Fig.7 The response of state variablexi1(t)

圖8 狀態變量xi2(t) 響應曲線Fig.8 The response of state variablexi2(t)

圖9 系統誤差e (t) 響應曲線Fig.9 The response of system errore(t)

圖10 通信拓撲切換信號Fig.10 The switching signal of communication topology

本文給定的H∞性能指標用于描述設計的控制器對多智能體外界擾動ω(t) 的抑制效果,取值越小則抑制效果越明顯.表1 給出了采用方法[37]和本文提出方法τM取不同值時γ下界對比結果.從表1可以看出,采用定理2 能夠得到更小的γ下界.說明采用本文提出的控制策略提高了多智能體對外界擾動的抑制能力.

表1 τM 取不同值時γ 對比結果Table 1 Comparison results ofγ with differentτM

綜合例1和例2,在均方一致性控制器(12)的作用下,隨時間的增加,各個智能體與領導者的狀態誤差逐漸減小并趨于零.這表明采用本文提出的控制策略,該領導?跟隨多智能體系統實現了領導?跟隨一致性,協議有效性得到驗證.

5 結束語

本文針對基于半Markov 跳變的帶有通訊時滯和執行器故障的領導?跟隨多智能體系統,設計一種新的動態反饋控制策略.根據領導?跟隨多智能體系統的均方一致性和無領導者多智能體系統的漸近一致性要求,對系統進行線性變換,將多智能體系統的一致性問題轉化為誤差系統的穩定性問題.設計Lyapunov 函數,在一致性控制器的作用下,對于符合Lipschitz 條件的非線性項,通過求解線性矩陣不等式,實現誤差系統穩定,并導出了誤差系統H∞穩定的充分條件,從而保證了多智能體系統的一致性.最后,仿真結果表明基于線性變換設計的動態反饋控制器具有良好的控制性能,并且能夠提高領導?跟隨多智能體系統的動態特性.

無向拓撲結構顯然是有向拓撲的一種特殊情況,即每個智能體均可以接收發送信息,這對智能體的傳感器提出了很高要求,無形中增加了成本.相比于固定拓撲和無向拓撲圖,有向拓撲圖,突破了固定拓撲和無向拓撲的局限性,因此未來工作將在本文工作基礎上研究有向切換拓撲條件下多智能體系統的H∞均方一致性控制問題,設計滿足預定性能指標的分布式控制器.