脆性巖石多裂縫干擾擴展機理研究

鐘 權，羅攀登，羅天雨

（1.中國石油化工股份有限公司西北油田分公司，新疆 烏魯木齊 830011；2.廣東石油化工學院，廣東 茂名 525023）

我國有著遼闊的海域，在東海區域、渤海區域和南海區域都有著豐富的石油及天然氣儲備[1]，加速對海洋油氣資源的開發，對實現我國經濟可持續發展具有重大保障[2-3]。

據測算，南海北部灣海域潿西南凹陷頁巖油資源量達8 億噸，整個北部灣盆地頁巖油資源量約12億噸，展現了良好的勘探前景[4]。海下頁巖油與陸地頁巖氣，都屬于非常規油氣資源，具有非均質程度強、巖性變化大、低滲致密、存在天然微裂縫等特性。低滲透油田的開采一直是限制海洋油氣資源行業發展的重要原因，突破技術瓶頸，加強對非常規油氣資源開發技術的研究是海洋油氣高效開發的途徑[5-8]。

體積壓裂技術[9-10]是開發非常規油氣田的重要手段，它是指在水力壓裂過程中，在地層中形成裂縫網絡，使得油氣滲流到裂縫和井筒的距離縮短，滲流阻力減小，從而提高油氣產量。在頁巖油、頁巖氣等類脆性巖石中發育多重天然微裂縫，天然裂縫的擴展對裂縫網絡的形成起著制約作用[11-12]，而多裂縫巖體在不同應力作用下的宏觀破壞規律至今未被很好揭示。因此對多裂縫巖體宏觀斷裂破壞規律進行研究，無論從理論上還是工程實際上都具有十分重要的意義。

巖石是一種結構非常復雜的固體材料，它是由多種膠結物、礦物晶粒和孔隙組成的混合體。巖石中存在的斷層、節理和裂隙等缺陷對巖石力學性質有很大影響，巖石在各種應力（包括水力壓裂）作用下形成裂縫網絡的實質就是巖石中天然裂縫的開啟、擴展、相互作用和貫通的過程，所以對巖石裂縫尖端的力學性質進行研究有很大的意義。傳統的斷裂力學研究的對象主要是3 種基本裂縫類型：張開型（Ⅰ型）、滑開型（Ⅱ型）和撕開型（Ⅲ型）。但實際結構中的受力是非常復雜的，使得裂縫尖端的應力場多為復合型，其中又以壓剪復合型居多。國內外學者對裂縫的失穩研究取得了豐碩的成果，建立了相應的斷裂準則，需要解決的核心問題是裂縫尖端的起裂（延伸）角度及在何種力學條件下起裂。目前比較常用的裂縫擴展準則主要有兩類：①應力參數法：如最大周向應力理論[13]、Mises 準則、巖石壓剪斷裂判據Mohr-Coulumb 準則和Drucker-Prager 準則[14]、Hoke-Brown 準則[15-16]、最大拉應變[17]、徑向剪應力準則[18]、雙剪應力準則[18]等。②能量參數法：如應變能密度因子理論[19]、最大能量釋放率理論[20]、復合型裂縫的應變能準則[21]、最小J2 準則[14，22-23]等。脆性破裂有剪切和張拉兩種主要的破裂形式[24]。應變類準則在壓剪Ⅰ-Ⅱ復合型斷裂問題中給出的結果與巖石及類巖石材料的實驗結果最為接近[17]。本文擬用最大周向拉應變理論，并在平面應變條件下對主裂縫周圍的脆性巖石進行起裂分析。

由于壓剪斷裂問題的復雜性，還有許多問題需要進一步的研究。目前對于水力壓裂主裂縫的破裂及擴展延展規律研究較多[25]，對于主裂縫形成過程中，主裂縫壁面上、主裂縫兩側巖體的水平切面上的天然裂縫在何種條件下破裂、如何擴展的規律，較少進行研究。而這種研究，對于水力壓裂過程中裂縫網絡的形成至關重要。同時，以往對壓剪復合型斷裂問題的研究，側重于單裂縫斷裂規律的研究，較少對多條裂縫同時存在條件下的裂縫擴展規律進行研究，應用斷裂力學理論建立頁巖沿層理面裂縫起裂擴展準則鮮有報道。通過實驗可知，單裂縫體的承載能力顯然會高于相同類型的多裂縫體，多裂縫體的應力強度因子有所提高[26-27]。在脆性地層中同時存在多裂縫的情況比較普遍，因此需要研究多個裂縫同時存在時裂縫的開啟及擴展規律。在同一無限大平面板中，多個裂縫之間的關系可分為平行裂縫、非平行裂縫（相交裂縫、非相交同軸裂縫），其中非相交同軸裂縫隨著裂縫的擴展延伸將會發展為相交裂縫。因此本研究著重研究同軸裂縫情形下的裂縫擴展規律。

1 多裂縫應力強度因子計算

本文旨在揭示在水力壓裂過程中，主裂縫壁面上多個天然裂縫在壓裂液壓力的作用下的開啟規律。引入以下假設：①認為所研究巖石屬于脆性材料，并符合線彈性應變規律。對于頁巖油、頁巖氣等，在一定條件下屬于脆性材料；②材料各向同性；③天然裂縫為理想裂縫，裂縫尺寸遠遠小于巖體的尺寸，而巖體尺寸為無限大；④不計體力；⑤裂縫為穿透型。

在水力壓裂過程中，已經開啟了垂直主裂縫，在主裂縫壁面上存在多條同軸穿透型裂縫，這些裂縫屬于Ⅰ-Ⅱ型復合裂縫。假設無限大的巖體遠端邊緣上受到均勻分布的雙軸壓力分別為σy′和σx′的作用。以第1 條裂縫為研究的目標裂縫，分別建立直角坐標系x′oy′（x′軸和y′軸分別與遠端σx′和σy′平行） 和直角坐標系xoy（x 軸與裂縫方向平行，y 軸與裂縫中垂線重合）。第1 條裂縫方向和σy′作用方向的夾角為β（稱為裂縫角）。在裂縫面上（y=0，|x|＜a，a 為裂縫半長，單位為m）受到壓力（σh+P） 的作用（σh為水平最小主應力，單位為MPa；P 為裂縫內凈壓力，即液體壓力超出最小地應力的部分，單位為MPa）。假設第j 條裂縫與第1 條裂縫夾角為γj。

基于以上假設，受壓脆性巖石Ⅰ-Ⅱ型復合裂縫水力壓裂力學模型如圖1（a）所示。應力符號采用彈性力學慣例。按照材料力學的規定，以拉應力為正，壓應力為負；剪應力對單元體內任意點的矩為順時針時為正。如圖1 所示，無限大的巖體的邊緣受均勻雙軸壓力作用，裂縫表面受水壓力作用的裂縫問題擴展（問題a），可以轉化成問題b 與問題c的疊加。

圖1 受壓脆性巖石Ⅰ-Ⅱ型復合裂縫水力壓裂力學模型及疊加原理的應用

設在坐標系xoy 中，無限大的巖體遠端邊緣上應力分別為σx（對應x 軸） 和σy（對應y 軸） 及τxy，對于第j 條裂縫，分別為σx(j)、σy(j)、τxy(j)。對遠端應力進行坐標系x′oy′和坐標系xoy 之間的坐標變換，得到坐標系xoy 中應力。

應力進行轉標變換后，為更清楚地表達遠端應力的變化，圖1 可以表示為圖2。

針對圖2 的所示問題，根據巖體邊緣應力大小，應用疊加原理可求得天然裂縫端部的應力強度因子如下。

圖2 坐標變換后受壓脆性巖石Ⅰ-Ⅱ型復合裂縫水力壓裂力學模型及疊加原理的應用

式中，KΙa為問題（a）中裂縫端部的Ⅰ型應力強度因子，MPa·m1/2；KⅠb為問題（b）中裂縫端部的Ⅰ型應力強度因子，MPa·m1/2；KⅠc為問題（c）中裂縫端部的Ⅰ型應力強度因子，MPa·m1/2；KⅡa為問題（a）中裂縫端部的Ⅱ型應力強度因子，MPa·m1/2；KⅡb為問題（b）中裂縫端部的Ⅱ型應力強度因子，MPa·m1/2；KⅡc為問題（c）中裂縫端部的Ⅱ型應力強度因子，MPa·m1/2。

對于第j 條裂縫，問題（b）與問題（c）對應的裂縫縫端應力強度因子見式（3）。

情形一：主裂縫壁面上存在多條天然裂縫

對于主裂縫壁面（圖3）上的天然裂縫，考慮實際受力狀況，在直角坐標系x′oy′中，巖體邊緣垂直方向受力σy′=-σv（σv為垂向地應力，MPa），水平方向受力σx′= -σH（σH為水平最大主應力，MPa）。在裂縫面上（y = 0，| x|＜a） 受到常壓力（σh+P）的作用。

圖3 主裂縫壁面受力示意圖

結合裂縫壁面上巖石的實際受力狀況，考慮應力符號，得到式（5）。

對于第1 條裂縫（目標裂縫），可看作是γ1=0（j =1）的特殊情形。

情形二：主裂縫壁面的水平切面上存在多條天然裂縫

考慮主裂縫壁面上的水平切面（如圖3），當該面上存在多個穿透型裂縫時，遠端邊緣上受到均勻分布的周向壓力分別為σy′和σx′的作用，此時σy′=-σh-P，σx′=-σH。在天然裂縫面上（y=0，|x|＜a）受到孔隙壓力p0的作用（此時假設壓裂流體壓力尚沒有傳導到裂縫）。分析方法如上，得到式（7）。

2 多裂縫應力干擾計算

假設所研究的無限大平面巖體中存在多條穿透型裂縫，遠端存在正應力與剪切應力。以第一條裂縫為研究目標裂縫，位于水平方向。如前所述，在坐標系xx-o-yy 中，假設第j 條裂縫與第1 條裂縫同軸（端點相交于一點），縫間夾角為γj，如圖4所示。

圖4 多裂縫縫端應力疊加計算原理圖

引入以裂縫端點為原點的極坐標（稱為裂縫前緣坐標系），根據線彈性理論，在遠端應力作用下，在目標裂縫（第1 條裂縫）裂縫尖端附近的極坐標系中，半徑為r 的單位圓上圓周角度為θ 處（對應M 點）的應力極坐標表達式如下。

式中，σr(1)為極坐標系下第1 條裂縫尖端單元圓周上M 點的軸向應力，MPa；σθ(1)為極坐標系下第1 條裂縫尖端單元圓周上M 點的徑向應力，MPa；τrθ(1)為極坐標系下第1 條裂縫尖端單元圓周上M 點的剪切應力，MPa；KⅠ(1)為第1 條裂縫尖端的Ⅰ型應力強度因子，MPa·m1/2；KⅡ(1)為第1 條裂縫的Ⅱ型應力強度因子，MPa·m1/2；r 為單元圓周距離裂縫尖端的距離，m。

對于任意第j 條裂縫，在極坐標中M 點的應力分量奇異項用下式表示（此時M 點在其極坐標中的圓周角度為（γj+θ））。

式中，σr(j)為極坐標系下任意第j 條裂縫尖端圓周上M 點的軸向應力，MPa；σθ(j)為極坐標系下任意第j 條裂縫尖端圓周上M 點的徑向應力，MPa；τrθ(j)為極坐標系下任意第j 條裂縫尖端圓周上M 點的剪切應力，MPa；KⅠ(j)為第j 條裂縫尖端的Ⅰ型應力強度因子，MPa·m1/2；KⅡ(j)為第j 條裂縫的Ⅱ型應力強度因子，MPa·m1/2。

則對于Ⅰ-Ⅱ復合型裂縫問題，n 條同軸裂縫在M 點的應力組合見式（10）。

式中，σr為極坐標系下n 條同軸裂縫尖端M 點的軸向應力代數和，MPa；σθ為極坐標系下n 條同軸裂縫尖端M 點的徑向應力代數和，MPa；τrθ為極坐標系下n 條同軸裂縫尖端M 點的剪切應力代數和，MPa。根據每條裂縫縫端應力大小，組合在一起時，得到M 點的應力。

根據上述公式，結合應力強度因子的大小，就得到所研究裂縫尖端單位圓上任意角度處的應力大小。

3 多裂縫拉張破裂模型及應用

3.1 裂縫拉張破裂模型

3.1.1 最大周向拉應變理論

進行天然裂縫起裂分析的核心是選取合理的起裂準則。目前，還不存在一個萬能的準則，能夠適用于所有尺度和條件。本文擬用最大周向拉應變理論對上述模型進行起裂分析。最大周向拉應變理論認為：①裂縫起裂方向垂直于周向應變εθ最大的方向；②當εθmax達到臨界值εc，裂縫開始起裂擴展。需要說明的是，邊界載荷雖然為壓剪載荷，根據起裂機理，在混合型斷裂模式下，在巖體中天然裂縫的內部存在張應力（凈壓力、孔隙壓力）的條件下，裂縫端部可能產生拉張破裂或剪切破裂，兩種破裂在達到一定條件后都可能產生。本文重點討論的是最大拉應變破裂，剪切破裂在另外場合討論研究。

3.1.2 裂縫起裂擴展的方向

平面應變情形下，所研究對象3 個方向均有受力，只在平面內有應變，與該面垂直方向的應變可忽略。平面應力條件變為平面應變時，彈性模量與泊松比都要發生變化，分別用下式代替。

式中，KⅠ(j)、KⅡ(j)分別為I、Ⅱ型裂縫端部的應力強度因子。根據最大周向拉應變理論，裂縫起裂擴展的方向應滿足以下條件。

式（16）為按最大周向拉應變理論所預測的多裂縫干擾情況下的開裂角公式，開裂角度由泊松比、裂縫尖端的應力強度因子KⅠ(j)和KⅡ(j)確定。

3.1.3 裂縫起裂擴展的條件

最大周向拉應變理論認為，當εθmax達到臨界值εc時，裂縫開始起裂擴展。當只存在第1 條天然裂縫（目標裂縫）時，當εθmax=εc，且KⅠ(1)=KⅠc，KⅡ(1)=0（純I 型裂縫），KⅠc為材料的斷裂韌性。此時θ0=0。根據（14）式，可得式（17）。

公式（18）就是按照最大周向拉應變理論建立的Ⅰ-Ⅱ型復合型的斷裂準則。

3.2 裂縫拉張破裂模型應用分析

3.2.1 主裂縫壁面存在1 條裂縫拉張破裂

基礎參數：根據川東南地區川焦石壩構造高部位頁巖氣水平井焦頁M 井壓裂設計書，目的層段為志留系龍馬溪組2 769～3 607 m，全井段水平段巖性，主要為黑灰色碳質泥巖和深灰色粉砂質泥巖。σh=50.39 MPa，σH=63.50 MPa，σv=58.2 MPa，μ=0.2，p0= 30 MPa，E = 2.6 × 104MPa，KⅠc= 1 MPa·m1/2，裂縫長度a=0.05 m。第1 條裂縫，β=60°，γ1=0。

考察主裂縫壁面上天然裂縫（層理、弱面）進行擴展并形成體積縫網的條件。根據式（16），代入應力強度因子式（6）后，得到θ0滿足的公式；再根據式（18），代入應力強度因子式（6），得到應變滿足的公式。聯立以上公式，得到滿足第1 條裂縫的尖端發生張性破裂（最大張應變）的最小凈壓力P。

固定σh=50.39 MPa，σH=63.50 MPa，逐步改變垂向壓力σv的大小，計算不同垂向壓力下，第1條裂縫（目標裂縫）端部發生張性破裂的最小凈壓力，得到表1。令δ = （σH- σv）/σv為垂向應力系數。根據模擬結果，隨著垂向應力差異系數減小（垂向應力增加），裂縫最小起裂凈壓力增加，夾角逐漸減小。可見，裂縫的擴展與垂向應力的大小有重要關系。垂向應力越小，則越容易形成縫網。根據本井地應力條件，對于a=0.05 m 的天然裂縫，1條裂縫時，裂縫擴展凈壓力為6 MPa；2 條裂縫時，裂縫擴展凈壓力為5.6 MPa；3 條裂縫時，裂縫擴展凈壓力為5.3 MPa。當天然裂縫條數增加，會降低開啟凈壓力，有利于形成主裂縫壁面上的裂縫網絡，達到體積壓裂的效果。本井實際施工時，凈壓力為5～12 MPa，所預測的天然裂縫凈壓力在此范圍內，壓裂過程中形成了理想的壓裂縫網，天然氣無阻流量43.8×104m3/d。

表1 垂向地應力變化時，裂縫開啟凈壓力的變化

如表2 所示，只存在第1 條裂縫時，在給定的三維地應力條件下，隨著天然裂縫與垂向夾角角度的增加，裂縫呈現拉張破裂所需要的縫內壓力逐漸增加。相比有一定角度傾斜的裂縫，垂向天然裂縫容易破裂擴展（且不需要較大的凈壓力，小于最小主應力的濾液壓力即可破裂），而向水平方向傾斜的層理裂縫難以破裂，且角度越大，越難以破裂。可見，垂向發育的天然裂縫有利于形成縫網。

表2 裂縫角度變化時，裂縫開啟凈壓力的變化

3.2.2 主裂縫壁面上存在2 條、3 條裂縫拉張破裂的條件

沿用3.2.1 部分的地層參數。此時取j =1、2、3，γ1=0，γ2=20°，γ3=40°，根據式（16），得到存在2 條、3 條裂縫時，第1 條裂縫端部的張性開啟角度θ0滿足的公式。再聯立式（18），得到結果見表1、圖5。根據模擬結果，在同樣地應力條件下，存在2 條、3 條裂縫時，使得天然裂縫破裂的凈壓力降低，有利于形成裂縫網絡。可見，存在同軸（相交）的天然裂縫，或者延伸后形成相交的裂縫時，繼續破裂的凈壓力大幅度降低，形成裂縫網絡的可能性增加。

圖5 垂向地應力變化時，開啟凈壓力的變化

3.2.3 水平切面存在1 條裂縫時拉張破裂

存在1 條裂縫時γ1=0，根據式（16），代入應力強度因子式（6）后，得到θ0滿足的公式；再根據式（18），代入應力強度因子式（6），得到應變滿足的公式。聯立以上公式，得到滿足第1 條裂縫的尖端發生張性破裂（最大張應變） 的最小裂縫內壓力p0。根據模擬結果（表3、圖6），在給定的地應力條件下，隨著天然裂縫與最小主應力方向夾角角度的增加，裂縫呈現拉張破裂所需要的縫內壓力逐漸減小。與最小主應力方向的夾角越小，破裂壓力越大；與最小主應力方向的夾角越大（與最大主應力方向的夾角越小），破裂壓力越小，且不需要較大的縫內壓力，具有一定大小的濾液壓力（小于最小主應力）即可破裂。可見，與最大主應力方向一致的天然裂縫，有助于形成裂縫網絡。

表3 裂縫角度變化時，開啟壓力的變化

圖6 裂縫角變化時，裂縫開啟壓力的變化

3.2.4 水平切面存在2 條、3 條裂縫時拉張破裂

沿用3.2.1 的地層參數。取j=1、2、3，γ1=0，γ2=20°，γ3=40°。根據式（16），代入應力強度因子式（6）后，得到存在2 條、3 條裂縫時，第1 條裂縫端部的張性開啟角度θ0滿足的公式。再聯立式（18），得到結果見表3、圖6。存在2 條裂縫、3 條裂縫時，在同樣地應力條件下，使得目標裂縫張性破裂的縫內壓力均降低，甚至略大于孔隙壓力即可開啟。

4 結 論

我國海洋油氣資源豐富，加強對非常規油氣資源開發技術的研究是海洋油氣高效開發的途徑，而體積壓裂技術是提高海洋頁巖油生產產量的關鍵技術，研究清楚水力壓裂過程中，巖體內存在多個天然裂縫的情況下，裂縫壁面上天然裂縫的擴展規律，對于體積壓裂技術的順利實施、水力壓裂參數的設計、裂縫形態的認識至關重要。

本文采用應力疊加原理，建立了壓剪條件下，受到相鄰裂縫影響時，目標裂縫張性起裂擴展的準則。結合水力壓裂過程，主要研究了水力壓裂主裂縫壁面上及主裂縫兩側脆性巖體水平切面上天然裂縫的起裂方向及起裂條件模型。

根據模擬可知，在水力壓裂主裂縫壁面上，隨著垂向應力減小，使得天然裂縫開啟的最小凈壓力減小，天然裂縫開啟更容易。因此天然裂縫的擴展與垂向應力的大小有重要關系，垂向壓力越小則越利于形成縫網。當天然裂縫條數增加時，天然裂縫開啟所需要的凈壓力降低，這樣有利于形成裂縫網絡，達到充分改造的效果。相比傾斜賦存的天然裂縫，垂向發育的天然裂縫容易破裂擴展，而朝向水平方向傾斜的層理性裂縫難以破裂。可見，垂向發育的天然裂縫有利于形成縫網，對形成裂縫網絡更有價值。在主裂縫兩側巖體的水平切面上，天然裂縫與最小主應力方向的夾角越大，破裂壓力越小；且縫內壓力小于地層最小主應力時，即可破裂。存在多條裂縫時，目標裂縫張性破裂的縫內壓力均降低。上述模型及應用模擬揭示了脆性巖石在水力壓裂過程中，主裂縫壁面巖體中形成復雜裂縫網絡的內在機理。