基于復數求解點軌跡方程問題

黃雅萱 葉詩怡

1 研究背景

圓錐曲線是高中數學知識體系中必不可少的部分，是聯系初等數學與高等數學的重要一環，在高考命題中占有相當的比重，且新課程標準強化了對知識的綜合性、應用性及創新性的考查，因此研究圓錐曲線的題型與創新性解法具有重要意義．

對于圓錐曲線點軌跡問題，本文采用有別于常見的直接法、參數法等求解方法，創新地應用復數巧解點軌跡方程，該種解法充分利用了復數數形結合的優勢，將代數、三角、幾何等知識緊密聯系在一起，為簡化解析幾何解題步驟，拓寬學生的知識面，提升學生數形結合的思想有著積極意義[1]．

2 復數在求解點軌跡問題中的具體應用

2.1 基于復數加、減法則求解點軌跡問題

例1如圖1，已知平行四邊形ABCD中，頂點A（O，0），B（4，-3）點P內分對角線AC所成的比為2，當點D在以A為圓心，3為半徑的圓周上運動時，求點P的軌跡方程[2]．

分析推廣1中運用復數求解只是進行了多一步的簡單加減運算，而如果仍然采用向量或直線方程，由于A點坐標不為（0，0），運算將更加繁瑣，推廣2的軌跡是橢圓和雙曲線，如果運用解析法求解，在求解過程中將會得到帶有x，y兩個變量的表達式，需要敏銳觀察力并對表達式進行大量的簡化運算才能得到軌跡方程．而運用復數省去了這方面的繁瑣運算，直接得出了復數形式下軌跡的表達式，極大提高了解析幾何點軌跡問題的解題效率．

2.2 基于復數乘、除法則求解與旋轉有關的點軌跡問題

由于復數乘、除的幾何意義就是把一個復數對應的向量旋轉一定角度后再把其長度伸縮而得，因此，對于某些與旋轉有關的軌跡問題，可以巧妙地通過復數的乘除而得到，

分析 在探索過程中利用復數的幾何的意義，把握復數數與形的本質，將代數、三角、幾何等知識緊密聯系在一起，抓住利用復數求解此類旋轉問題的方法要領，最終實現數形轉化能力的發展．

3 總結

復數既具有代數形式，又可以用幾何形式表示，可以與復平面的點建立一一對應關系，因此運用復數簡化點軌跡問題的求解本質上是利用平面向量與解析幾何中的方程、坐標等之間的關系，把點軌跡問題轉化為求解復數的運算問題，為簡化問題的解答提供了一種新的思路，

對復數解決點軌跡問題的研究使學生學會從各個不同的角度分析問題和解決問題，對培養逆向思維以及思維的深刻性、廣泛性有極大的幫助，而且運用復數解答解析幾何問題，滲透了化歸與轉化、數形結合等數學思想方法，多方面提升了學生的數學素養，加強學生融會貫通地解答數學問題的能力，

參考文獻

[1]龔成．復數在解析幾何中的應用一例[J]．數學教學，2006 （12）：37-38

[2]熊斌，陳雙雙．解題高手[M]．上海：華東師范大學出版社，2003

[3]楊心衡，復數在解析幾何中的應用[Jl.廣西右江民族師專學報，1995（01）：38-43