概念表征視角下的高三“平面向量”復習課教學

韓聰

表征是用某一種形式，將事物或想法重新表現出來，以達到交流的目的[1]．信息加工理論認為，表征就是以一物代替另一物．美國學者Lesh認為數學概念表征具有五種形式，即實際情境、圖象、實物操作（模型）、口頭語言和文字符號．Lesh強調各種表征之內和表征之間的轉換，認為學生必須具備以下條件才算真正理解一個概念：（1）能將概念放入不同表征系統中；（2）在給定的表征系統內，能彈性處理這個概念；（3）能將概念在不同表征系統中進行靈活轉換[1]．

不同表征將導致不同的思維方式，合理選擇表征形式可以降低解題難度[2，3]．教師在教學過程中應引導幫助學生在問題解決過程中學會合理選擇、使用以及轉化各種數學表征，并能在不同表征中建立聯系．

1 概念表征視角下的平面向量復習課教學設計

1.1教材分析

平面向量是高中數學的基本概念之一，是中學數學知識的一個交匯點，常與三角函數、解析幾何等知識相結合，是溝通代數與幾何的橋梁，在教學中占有重要地位．平面向量知識包括向量的概念及線性運算、平面向量基本定理及坐標表示、數量積及其應用三部分內容，考查重點往往是基礎知識、基本技能和數形結合的思想方法，考查中將幾何知識與代數知識有機結合，體現思維的靈活性．從表征的角度，平面向量主要有幾何表征、坐標表征、符號表征三種表征形式[4]．

1.2學情分析

學生在高一已學過平面向量內容，已基本掌握平面向量的基本概念及相關運算，但在多種表征相互轉化時常缺乏靈活性，尚不能解決平面向量較難問題．因此本節復習課的重點及難點是幫助學生建立平面向量多種表征之間的聯系，能在不同表征間相互轉化以解決問題．

2教學案例分析

2.1提高符號表征理解能力

向量是既有大小又有方向的量，這是它區別于數量的本質特征．教學中發現，學生往往忽視或不理解向量具有方向這一特征，教師應在教學中幫助學生提高符號表征理解能力，

設計意圖 本題考查a．b=|a||b|cosθ在解題中的逆用，具有一定的技巧性，需要借助向量加減法的運算及其幾何意義進行適當變形，在分析兩個向量夾角時，注意必須使兩個向量起點重合，此類題目需要學生根據題設建立幾何圖形與向量之間的對應關系，根據向量共線定理表示向量并進行有效的向量運算，進而解決問題．

2.3巧用坐標表征解決復雜問題

在解決圓、直角三角形、矩形等特殊圖形中的向量問題時，可以建立適當的平面直角坐標系，將幾何問題代數化，能快速打開思路，此類問題往往考查平面向量的坐標表示及坐標運算，在向量的坐標運算中涉及多個未知數據以此來考查學生的數據處理能力、數學運算及數據分析等核心素養．

問題4已知直角梯形ABCD中，AD／/BC，∠ADC= 90°，AD=2，BC=1，點P是腰DC上的動點，則| PA+3PB|的最小值為____．

師：此類問題如果按照平面向量的線性運算方法是很難求解的，因為題中有明顯的垂直關系，所以建立平面直角坐標系，借助向量的坐標運算后，難度就降低很多．本題我們應該怎樣建坐標系呢？

生：以D為坐標原點，線段OA，OC所在直線為坐標軸，建立平面直角坐標系，如圖2．

師：建立直角坐標系后，就將復雜的幾何問題轉化為代數問題，難度就降低很多．我們在解題時如果遇到具有明顯垂直關系如圓、等邊三角形、直角三角形、矩形等圖形時，可以利用現有的垂直關系建立坐標系，簡化計算．

設計意圖題中有垂直關系時，往往可以通過建坐標系借助坐標運算來求解，用坐標表示向量后，向量的運算完全代數化，將數與形有機結合，充分體現了方程思想在向量中的應用，通過此類題目的求解，讓學生再次體會幾何表征與坐標表征相結合在解決向量難題時的優勢．

3 教學反思

基于對平面向量概念的深度理解，在概念表征視角下設計平面向量高三復習課的教學．教學過程中應注重學生對概念的理解和運用，有助于學生理解平面向量概念表征的多種形式，提高學生問題表征能力及多種表征間相互轉換的能力．

4 結束語

數學概念具有多種表征形式．不同的表征形式反映概念表征中不同的邏輯水平，學生從一種表征到另一種表征的轉換不僅是概念邏輯水平的轉變，同時也是思維水平的轉變[5]．這種轉變代表著概念理解方面質的飛躍，這種質的飛躍往往需要較長時間，有些學生甚至長期無法完成，教學過程中教師應重視數學概念的建構過程，幫助學生深度理解數學概念，

參考文獻

[1]鮑建生，周超．數學學習的心理基礎與過程[M]．上海：上海教育出版社，2009

[2]石翠娟．基于多元表征的初中函數問題解決的研究[D]．揚州：揚州大學，2018

[3]韓茜鈴．小學生分數表征能力的現狀研究[D].上海：上海師范大學，2020

[4]陳影，基于表征視角高中生向量知識認知的調查研究[D].哈爾濱：哈爾濱師范大學，2017

[5]李善良．關于數學概念表征層次的研究[J]．數學教育學報，2005，14 （4）：35-37