求解隨機(jī)向量變分不等式的樣本平均逼近方法

黃章乙*，趙玉昌

（重慶交通大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400074）

引言

隨機(jī)向量變分不等式（SVVI）問題：即求解x*∈S，使得

由于(1)中包含了隨機(jī)向量，受到Gürkan[1]提出的期望值(EV)模型的啟發(fā)，用期望值(EV)方法來處理式(1)，得到下述隨機(jī)向量變分不等式問題的期望值模型

為了求解問題(3)的解，受Fukushima[4]研究變分不等式提出的間隙函數(shù)啟發(fā)，定義如下正則化間隙函數(shù)g:Rn×Λ→[0，∞]

1 解的存在性

在本節(jié)中，我們給出了正則化間隙函數(shù)g（x，λ）在集合S×Λ 上強(qiáng)制性成立的充分條件。因此，對于足夠小的α＞0 問題(6)總有一個(gè)最優(yōu)解。

證明. 參考文獻(xiàn)[3]中定理1 的證明方法，可以得到定理2.1 的結(jié)論，定理得證。

2 近似問題的收斂性分析

引理3.1[5]假設(shè)①-③成立，則以下結(jié)論成立：

(1) 函數(shù)f（x，λ）在集合S×Λ 上連續(xù)；

(2) 函數(shù)列{fN（x，λ）}在集合S×Λ 上依概率1一致收斂于f（x，λ），則有

下面，我們討論目標(biāo)函數(shù)逼近問題(7)的一致收斂性。

定理3.1 假設(shè)①-③成立，函數(shù)列{gN（x，λ）}在集合S×Λ 上依概率1 一致收斂到函數(shù)g（x，λ）。

證明. 由gN（x，λ）和g（x，λ）的定義有

因此，可得

因?yàn)間（x，λ）≥0，故

其中μmin表示矩陣G 的最小特征值，由上式進(jìn)一步可得到

由于集合S×Λ 為非空緊的，故存在一個(gè)常數(shù)M＞0，使得，

依概率1 成立。不難得到依概率1 成立。另外，根據(jù)函數(shù)H（x，λ）和HN（x，λ）的定義及投影的非擴(kuò)張性質(zhì)，可知

依概率1 成立。同理采用和上式同樣放縮法有

這表明函數(shù)列fN依概率1 上圖收斂于函數(shù)f。此外，由于H（x，λ）和HN（x，λ）都是連續(xù)函數(shù)及投影的非擴(kuò)張性，故

采用與定理3.3 類似方法，可知

依概率1 成立。由上述兩個(gè)不等式可得

依概率1 成立。因?yàn)椋▁*，λ*）∈S×Λ，這表明著（x*，λ*）∈S*依概率1 成立，定理得證。

3 結(jié)論

本文首先借助標(biāo)量化方法以及正則化間隙函數(shù)將隨機(jī)向量變分不等式問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)優(yōu)化問題求解。然后在適當(dāng)條件下討論了所得隨機(jī)優(yōu)化問題解的存在性。最后，利用樣本平均逼近方法處理得到的隨機(jī)優(yōu)化問題中的數(shù)學(xué)期望，討論了近似問題最優(yōu)值及最優(yōu)解集的收斂性。所得結(jié)果為隨機(jī)向量變分不等式問題的求解提供了一種新方法。