數學競賽、強基計劃中不定方程解法探究

徐小花 李麗榮 楊 平 (北京市日壇中學 100020)

1 因式分解法

例1

(2021全國高中數學聯賽江西省預賽第2題)方程的正整數解的組數為

．解析 由得(

x

-2 021)(

y

-2 021)=43·47，因為43·47共有9個正因數，即

因此方程有9組正整數解．

點評

對分式方程先通分再因式分解，這里的因式分解的含義和通常的有些不同，我們進行的不是徹底分解．然后將2 021分解為素數43,47的乘積．利用排列組合知識可以知道2 021有9個正因數．再利用整數唯一分解定理可以將問題解決．整數唯一分解定理：設

a

>1，則必有其中

p

(1≤

i

≤

k

)是素數，在不計素數乘積的次序的意義下，表達式(*)是唯一的．

例2

(2021清華大學領軍計劃第1題)已知

a

,

b

,

c

,

d

都是正整數，且

a

=

b

，

c

=

d

，

c

-

a

=77，求

d

-

b

．解析 設

a

=

x

，

b

=

x

，

c

=

y

，

d

=

y

，其中

x

,

y

均為正整數，則

c

-

a

=

y

-

x

=(

y

+

x

)(

y

-

x

)=77=11×7，故或于是可得或(舍)，所以

例3

(2021北京大學優秀中學生寒假學堂第4題)若

m

+

n

+99

mn

=33，且

m

,

n

∈

N

，則(

m

,

n

)有

組．解析 對式子進行因式分解，即(

m

+

n

-33)(

m

+

n

+33-

mn

+33

m

+33

n

)=0，顯然故

m

+

n

-33=0，則符合題意的(

m

,

n

)有32組．

點評

通過例2和例3可以看出，運用因式分解法求解不定方程的最大困難點就是對所給條件進行因式分解，而且是通過利用整數分解的有限性和唯一性來解決的，不是徹底分解，也就是常常將因式分解法與整除結合起來．下面給出的幾道小題供讀者練習因式分解法．練習1 (2020北京大學強基計劃第7題)方程19

x

+93

y

=4

xy

的整數解的個數為( )．

A．4 B．8 C．16 D．前三個答案都不對

提示 19

x

+93

y

=4

xy

?(4

x

-93)(4

y

-19)=19×93=3×19×31．(參考答案：B)練習2 (2020中國科技大學創新班初試第5題)

x

-

y

=4

p

，

x

,

y

為正整數，

p

為素數，則

x

-

y

=

．提示

x

-

y

=4

p

?(

x

-

y

)(

x

+

y

)=4

p

=2·

p

．(參考答案：6

p

+2)練習3 (2020上海交通大學強基計劃第14題)方程

x

(

x

+1)-1=

y

的正整數解的個數為

．

提示(參考答案：1)

2 取模同余法

例4

(2020復旦大學自主招生第21題)方程3

x

+4

y

+12

z

=2 020的非負整數解的組數為

．解析 由于4

y

≡0(mod 4)，12

z

≡0(mod 4)， 2 020≡0(mod 4)，所以3

x

≡0(mod 4)．不妨設

x

=4

m

(

m

≥0,

m

∈

N

)．由題可知3×4

m

+4

y

+12

z

=2 020，即3

m

+

y

+3

z

=505．由3

m

+

y

+ 3

z

=505可知，3(

m

+

z

)≡505-

y

≡0(mod 3)，即

y

≡1(mod 3)．不妨設

y

=3

n

+1(

n

≥0,

n

∈

N

)．將

x

=4

m

(

m

≥0,

m

∈

N

)和

y

=3

n

+1(

n

≥0,

n

∈

N

)代入方程，化簡可得

m

+

n

+

z

=168．于是可知滿足條件的非負整數(

m

,

n

,

z

)有組，故方程3

x

+4

y

+12

z

=2 020的非負整數解的組數為

點評

對于多元一次不定方程，我們常常借助取模同余轉化為可以用隔板法的問題，隔板是求解多元一次不定方程的常用方法．在例4中對于不定方程

m

+

n

+

z

=168，滿足條件的非負整數(

m

,

n

,

z

)有組，就是利用隔板得出的．首先將不定方程等價轉化(

m

+1)+(

n

+1)+(

z

+1)=168+3=171，我們將171看成是171個1，將這些1排成一排，形成170個空格，插入兩塊板，將171個1分為三堆，每一堆就對應著一個數．當然隔板法和取模同余法不是萬能的，更加一般的方法其實是格點法(因為文章篇幅的原因在本文不舉例介紹)．很多問題先取模同余再利用隔板法或格點法可以大大降低運算的難易程度．

例5

(2021北京大學語言類保送試題第11題)設

a

,

b

是正整數

n

的正因素，使得(

a

-1)(

b

+2)=

n

-2，則

n

可以等于( )．

A．2 020B．2×2 020

C．3×2 020D．前三個答案都不對

解析 由(

a

-1)(

b

+2)=

n

-2展開化簡得

ab

+2

a

-

b

=

n

，注意到

a

,

b

是正整數

n

的正因素，即

n

≡0(mod

a

)，

n

≡0(mod

b

)，對式子

ab

+2

a

-

b

=

n

進行同余運算

.

因為

ab

≡0(mod

a

)，2

a

≡0(mod

a

)，

n

≡0(mod

a

)，故

b

≡0(mod

a

)．同理2

a

≡0(mod

b

)，不妨設

b

=

xa

，2

a

=

yb

，

x

,

y

∈

N

，于是可得2

ab

=

xyab

，即

xy

=2，所以或進一步可知

b

=

a

或者

b

=2

a

，從而

n

=

a

·

a

+2

a

-

a

=

a

(

a

+1)或者

n

=

a

·2

a

+2

a

-2

a

=2

a

．依次檢驗，

n

=2×2 020滿足題意，此時

a

=2 020，

b

=2×2 020．

點評

充分利用條件“

a

,

b

是正整數

n

的正因素”，等價轉換為

n

≡0(mod

a

)，

n

≡0(mod

b

)，再利用同余定理可以進一步獲得

a

與

b

之間的數量關系，在問題的解決過程中也用到了因式分解法．同樣我們給出兩道小題供讀者練習取模同余法．練習4 (2016清華大學領軍計劃第13題)關于

x

,

y

的不定方程

x

+615=2的正整數解的組數為

．提示 由于615=3×5×41，615≡0(mod 3)，可得

x

≡2(mod 3)．又因為2≠0(mod 3)，故

x

≡1(mod 3)，于是2≡1(mod 3)，則

y

為偶數

.

設

y

=2

m

，

m

∈

Z

，即22-

x

=615?(2-

x

)(2+

x

)=3×5×41，再利用因式分解法可知(參考答案：1)練習5 (2020北京大學優秀中學生暑假體驗營第1題)已知正整數

a

,

b

,

n

滿足

a

!+

b

!=5，求(

a

,

b

,

n

)．提示 由奇偶性原則可以判斷出

a

=1，

b

為偶或

b

=1，

a

為偶

.

不妨設

a

=1，再由5≡0(mod 5)，可知當

b

≥5時，

a

!+

b

!≡1(mod 5)不符合題意，對

b

=1,2,3,4逐一檢驗．(參考答案：(1,4,2)或(4,1,2))

3 分類討論法

例6

(2021全國高中數學聯賽福建預賽試題第10題)若整數

a

,

b

,

c

滿足0≤

a

≤10，0≤

b

≤10，0≤

c

≤10，10≤

a

+

b

+

c

≤20，則滿足條件的有序數組(

a

,

b

,

c

)共有

組．方法1 設

a

+

b

=

t

，則0≤

t

≤20．當0≤

t

≤10時，滿足條件的(

a

,

b

)有對，即(

t

+1)對，此時10-

t

≤

c

≤10，

c

的取值有[10-(10-

t

)]+1種，即(

t

+1)種．此時滿足條件的有序數組(

a

,

b

,

c

)共有(

t

+1)組；當11≤

t

≤20時，滿足條件的(

a

,

b

)有(21-

t

)對，此時0≤

c

≤20-

t

，

c

的取值有[(20-

t

)-0]+1種，即(21-

t

)種．此時滿足條件的有序數組(

a

,

b

,

c

)共有(21-

t

)組．綜上所述，滿足題意的有序數組(

a

,

b

,

c

)共有方法2 設

a

+

b

+

c

=

k

，則10≤

k

≤20．當

k

=10時，滿足條件的(

a

,

b

,

c

)有組；當11≤

k

≤20時，滿足條件的(

a

,

b

,

c

)有組．綜上所述，滿足題意的有序數組(

a

,

b

,

c

)共有

點評

例4用分類討論法將問題轉化為已經比較熟悉的不定方程問題，如方法1中當0≤

t

≤10時，滿足條件的(

a

,

b

)轉化為

a

+

b

=

t

的非負整數解問題，用隔板法很快就可以解答．同樣的，方法2中當

k

=10時，將問題轉化為

a

+

b

+

c

=11的非負整數解問題，也是用隔板法解決．在最后的求和部分，方法1用到了平方和公式方法2用到了楊輝三角的斜和性練習6 (2016清華大學領軍計劃第2題)設正整數

x

,

y

,

z

滿足則這樣的

x

,

y

,

z

有

組．提示 由

x

≤

y

≤

z

，可知，即3≤

x

≤6．當

x

=3時，通分化簡后6

y

+ 6

z

=

yz

，對其因式分解后得(

y

-6)(

z

-6)=36=2×3，符合題意的

x

,

y

,

z

有5組;當

x

=4時，對其因式分解后得(

y

-4)(

z

-4)=16=2，符合題意的

x

,

y

,

z

有3組;當

x

=5時，對其因式分解后得(3

y

-10)(3

z

-10)=2×5，符合題意的

x

,

y

,

z

有1組;當

x

=6時，對其因式分解后得(

y

-3)(

z

-3)=3，符合題意的

x

,

y

,

z

有1組．

本文僅列舉了求不定方程整數解的三種常用策略，其實在求解不定方程問題時常常還會用到格點法、枚舉法、奇偶分析法等更加基本的方法．很多問題往往需要先用本文介紹的因式分解法、取模同余法和分類討論法這三種方法轉化構造后再借助基本方法得到最后結果．