對一道解三角形求取值范圍問題的思考*

呂佳峻 (山東省平度市第九中學2020級4班 266700) 指導教師 姜尚鵬

1 問題提出

近期做了一道有關解三角形的高考題，題目如下：

題目1

(2020年浙江卷18題)在銳角△

ABC

中，角

A

,

B

,

C

的對邊分別為

a

,

b

,

c

，且(1)求角

B

；(2)求cos

A

+cos

B

+cos

C

的取值范圍．第(1)題求角

B

，條件中只給了一個等式，那么我們就要把這個等式化簡，通常有兩種方法：一是全部化成邊，二是全部化成角.而這道題很明顯，采用化角的方法，把等式中的邊全部通過正弦定理化成角的正弦的形式，化簡后得出因為題目中說是銳角△

ABC

，所以角第(2)題，因為知道了角

B

，實際上就是求cos

A

+cos

C.

對于雙變量問題，我們習慣化成單變量問題解決，這樣這個題的關鍵就是怎樣把兩個角化成一個角．cos

A

可以化成cos(π-

B

-

C

)，再通過誘導公式化簡，因為角

B

在第(1)題已經求出，所以原式就轉化成了只含一個變量的式子，又因為三角形是銳角△

ABC

，即三個角都是銳角，所以可求出角

C

的取值范圍，進而求出原式的取值范圍．

下面是解答過程．

解

(1)由結合正弦定理,可得所以因為△

ABC

為銳角三角形，故(2)結合(1)的結論,有cos

A

+cos

B

+由可得所以則故即cos

A

+cos

B

+cos

C

的取值范圍是

這道題目的解答比較常規，也沒有什么特別難的地方，但研究高考題關鍵是從高考題中總結出高考題考查的方向，從而為迎接后面的高考做準備，所以我對這道高考題進行了深入的思考．

2 幾點思考

2.1 從三角函數的名稱角度進行變式

思考1 既然高考題可以考查兩個角余弦的和的取值范圍，那是不是也可以考查兩個角正弦的和的取值范圍呢？

題目2

在銳角△

ABC

中，已知角求sin

A

+sin

C

的取值范圍．

解

sin

A

+sin

C

=sin(

B

+

C

)+sin

C

=后面只需要根據角

C

的取值范圍求解即可，不再詳細解答．

2.2 從三角函數的運算角度進行變式

思考2 既然可以考查兩個角正弦的和的取值范圍，那是不是也可以考查它們的差、積、商的取值范圍呢？

題目3

在銳角△

ABC

中，已知角求sin

A

-sin

C

的取值范圍．

解析下略．

題目4

在銳角△

ABC

中，已知角求sin

A

sin

C

的取值范圍．

解析下略．

題目5

在銳角△

ABC

中，已知角求的取值范圍．

解析下略．

通過搜集其他高考題發現，題目5的類型確實在2019年全國統一高考數學試卷(新課標III文)考查過，題目如下：

△

ABC

的內角

A

,

B

,

C

的對邊分別為

a

,

b

,

c

，已知(1)求

B

；(2)若△

ABC

為銳角三角形，且

c

=1，求△

ABC

面積的取值范圍．

解

(1)略，可求得(2)由正弦定理得由三角形面積公式有因為△

ABC

是銳角三角形，由(1)知得到故即解得故故即故

S

△的取值范圍是

第(2)題的解答過程是不是與題目5的解答驚人地相似？心中油然而生一種自豪感，原來我也可以命制高考題了．

2.3 從三角形中邊的角度進行變式

思考3 三角形的元素分為角和邊，前面主要都是求角的正弦或余弦的取值范圍，那么是不是也可以求邊的取值范圍呢？

題目6

在△

ABC

中，已知角求

a

+

c

的取值范圍．方法1 我們可以用化角的方法轉化成我們熟悉的題目后面只需要根據角

C

的取值范圍求解即可，不再詳細解答．方法2 由于求的是兩個變量的和的取值范圍，所以還可以考慮利用基本不等式求解．因為所以

ac

=

a

+

c

-9，故從而

a

+

c

≤6．因為

a

+

c

>

b

=3，所以

a

+

c

∈(3,6]．

思考4 三角形內角的三角函數之間可以通過加減乘除求取值范圍，那三角形的邊是不是也可以通過加減乘除求取值范圍呢？下面讓我們來研究一下吧！

題目7

在△

ABC

中，已知角求

a

-

c

的取值范圍．

題目8

在△

ABC

中，已知角求

ac

的取值范圍．

題目9

在△

ABC

中，已知角求的取值范圍．

題目7—9很顯然都可以化成邊對應角的正弦求解，轉化成前面熟悉的問題，對于題目8還可以用基本不等式求解．

2.4 從三角形中邊的幾何意義進行變式

思考5 由題目1我發現，命題老師沒有簡單考查cos

A

+cos

C

的取值范圍，而是考查了cos

A

+cos

B

+cos

C

的取值范圍，所以我想題目6考查

a

+

c

的取值范圍，是不是也可以考查

a

+

b

+

c

的取值范圍呢？這樣的好處是三條邊的和有幾何意義，可以直接說求△

ABC

的周長的取值范圍．

題目10

在△

ABC

中，已知角求△

ABC

周長的取值范圍．思考6 同樣，對于求

ac

的取值范圍，也可以賦予這個式子幾何意義，改成求△

ABC

面積的取值范圍．

題目11

在△

ABC

中，已知角求△

ABC

面積的取值范圍．

思考7 既然有些式子是有相應的幾何意義的，那是不是可以借助于幾何意義解題呢？

對于題目11，可以把

ac

轉化成角的正弦，即對求解取值范圍，也可以直接利用基本不等式求解，實際上還可以采用數形結合的思想利用幾何意義進行求解：是一個定值，而

R

是三角形外接圓的半徑，我們就可以把三角形的外接圓畫出來，把邊

b

當成底，當邊

b

上的高最大時，△

ABC

的面積最大.顯然，邊

b

上的高過圓心時最大，即此時△

ABC

的面積最大，當邊

b

上的高為0時，△

ABC

的面積最小．關于求△

ABC

周長和面積的取值范圍也是高考命題的熱點，原來出題老師是經歷了這樣的一個過程才命制出來的，不得不佩服，出題老師真的是煞費苦心了．

這樣，就可以總結出解三角形中求取值范圍問題的解決策略：(1)化角——轉化為一元函數求取值范圍；(2)化邊——結合基本不等式求取值范圍；(3)化形——利用數形結合思想求取值范圍．

3 結束語

通過這次對高考題深入的思考，我發現自己對解三角形知識的認知更上一層樓，并且發現原來高考題不是隨便命制出來的，也是有一定的命制原則的.當我們能從數學的思維和邏輯出發，對高考題多思考一下，說不定我們也可以命制出高考題．同時，我也發現命制一道高考題凝聚了命題人的心血，因此，在后面的數學學習生活中，我會用更加認真的態度來對待數學，并懷著崇敬的心情求解數學題．

指導教師點評：

呂佳峻同學的這篇文章，從學生的視角給我們展現了對于一道高考題，可以從哪些角度進行思考．他先從簡單的變換角的三角函數名入手進行變式，之后上升到運算的變式，再之后由角過渡到邊的變式，最后又賦予了邊的運算相應的幾何意義進行變式，整個思維過程層層深入，思考也越來越有深度，很好地展現了一位高中生良好的數學素養．同時關于求解解三角形中取值范圍問題的解決策略也是不斷地增加，從最初的“化角”，到中間的“化邊”，到最后的“化形”，解法不斷完善．題目的不斷變式，體現了呂佳峻同學掌握知識的廣度和思考問題的深度；解法的不斷完善，體現了呂佳峻同學解決問題能力的厚度，這篇文章為高中生如何思考數學問題提供了范例，值得借鑒．