回歸數學本質 培育核心素養
——APOS理論指導下的“事件的相互獨立性”教學探索

徐 靖

(江蘇省蘇州中學 215007)

1 課例背景

概率論是研究隨機現象規律性的數學學科，在經濟、金融、保險等領域應用廣泛，旨在提升學生的數學抽象、數學建模、邏輯推理等素養．人教A版《普通高中教科書·數學》(下稱“新教材”)對概率章節的變動較大，修訂的必修課程中增加了樣本點、有限樣本空間、樣本點和事件的關系等內容，刪去了幾何概型，將“事件的相互獨立性”變為必修內容，由于沒有條件概率的鋪墊，從研究概率的基本性質出發，提出問題“由和事件的運算性質，積事件的概率與兩個事件的概率會有怎樣的關系”，從特殊到一般，歸納出事件的獨立性，為后續的概率學習打好基礎．

新教材的編寫對學習事件的獨立性提出了更高的數學抽象要求，承擔了培養學生分析隨機現象能力的育人任務，特別重視概念教學，也更契合新課標的精神．基于此，筆者根據APOS理論，引導學生在社會線索中學習數學知識，分析數學問題的背景，從而建構數學思想．以下是從操作(Action)、過程(Process)、對象(Object)、圖式(Scheme)四個方面對新教材必修二“事件的相互獨立性”概念教學進行的實踐探索．

2 教學設計

2.1 操作——發現事件的獨立性

游戲1 甲乙兩人進行“石頭、剪刀、布”的游戲(假設兩人出何手勢是等可能的)．記事件A=“甲出石頭”，事件B=“甲出布”，計算P(A),P(B),P(A+B)，并研究它們的關系．

提出問題積事件AB的概率是多少？哪些條件下研究積事件的概率更有意義？

引導學生總結：P(AB)=0，當A∩B≠?，即A,B不是互斥事件時更有意義．

游戲2 甲乙兩人進行“石頭、剪刀、布”的游戲(假設兩人出何手勢是等可能的)．記事件A=“甲出石頭”，事件C=“乙出布”，計算P(A),P(C),P(AC)，并研究它們的關系．

提出問題你還能舉出滿足上述關系的例子嗎？你認為哪些條件下此關系恒成立？

學生很容易受到啟發，甲乙兩人出何手勢并不會互相影響，那么總會有P(AC)=P(A)P(C)．

設計意圖APOS理論認為要從社會活動出發，使學生對抽象的概念先有感性認知，再通過實例反思提煉．教師采用學生熟悉的“石頭、剪刀、布”游戲，應用古典概型回顧和事件的運算性質，在已有知識基礎上建立任務，發現了互斥事件下研究積事件意義不大，再從甲乙兩人的狀態出發，得出互相不受影響的事件滿足P(AC)=P(A)P(C)，這與學生的直觀感受相吻合．并通過學生主動舉例，加強理解、豐富內涵，為后續的數學抽象奠定基礎．

2.2 過程與對象——事件的相互獨立性的內涵與外延

教師給出定義：對任意兩個事件A與B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立．

提出問題談談你對獨立的理解，嘗試給出一些特例．

引導學生總結：(1)兩個事件獨立是指事件A的發生不影響事件B發生的概率；(2)必然事件、不可能事件都與任意事件相互獨立．

思考1 互斥事件是否為獨立事件？

思考2 概率不為0的兩個獨立事件是互斥事件嗎？

引導學生根據獨立性定義推理得出：若P(A)>0，P(B)>0，則事件A,B相互獨立與A,B互斥不能同時成立．

思考4 若A,B,C兩兩互斥，則P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)，若A,B,C兩兩獨立，是否有P(ABC)=P(A)P(B)P(C)？

對于思考3，學生容易從直觀經驗獲得，教師依托互斥事件的運算性質演示一般推導方法．對于思考4，學生各執一詞，教師給出游戲3為學生思維發展鋪路搭橋．

游戲3 甲乙兩人進行“石頭、剪刀、布”的游戲(假設兩人出何手勢是等可能的)．記事件A=“甲出石頭”，事件B=“乙出布”，事件C=“甲贏”，根據此結果試回答思考4．

設計意圖過程與對象是APOS理論中概念建構的重要環節，旨在通過實例讓學生主動探索完成概念的理性抽象，由于沒有條件概率的鋪墊，教師根據生活中的游戲問題打開學生認知，使其從直觀感受出發獲得獨立性的定義，運用四個環環相扣的階梯式思考，揭示了獨立性的內涵外延，一個游戲貫穿始終，抽絲剝繭，讓學生在活動中升華概念，體悟本質．

2.3 圖式——形成思維導圖

典例現有一個摸球游戲，箱子中有6個相同的小球，分別標有數字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球，A=“第一次取出的球是1號球”，B=“第二次取出的球是2號球”，C=“兩次取出的球的數字之和是8”，D=“兩次取出的球的數字之和是7”，則四個事件中相互獨立的有哪些？

圖1

教師引導學生列表分析如下(圖1)：根據獨立性的定義，學生總結得出事件A與事件B，事件A與事件D，事件B與事件D相互獨立，但A,B,D均相互不獨立．

教師總結：實際問題中，兩個事件相互獨立，大多是依據經驗(譬如“石頭、剪刀、布”的游戲)，但在較復雜的問題中，主觀判斷容易出錯，需使用公式檢驗事件的獨立性.更進一步，兩個事件獨立是指事件A的發生不影響事件B發生的概率，而不是說事件A的發生不影響事件B的發生，這就是經驗主義導致的錯誤．

通過典例，學生對獨立性有了新的認識，教師邀請學生發言討論，并繪制如圖2所示的思維導圖．

圖2

設計意圖APOS理論中的概型階段是指概念的運用階段，通過一定的實例研究使學生進一步理解概念的本源，最終形成綜合的心理圖式．教師選用了2021年新高考全國Ⅰ卷單選第8題，改變了原題問法，旨在糾正學生對獨立性理解的經驗主義錯誤，指出對于復雜問題必須通過公式給出判斷，而主觀認知往往會出錯．使用列表法解題使學生一目了然，并對抽象的概念有了形象的認知，在熟悉的游戲和經典的獨立性例題中體會數學來源于生活又能應用于生活．學生形成了自己的思維導圖，達到了心理圖式的效果．

3 課例分析與教學反思

3.1 課例分析

整堂課總體比較流暢.一方面對于證明，因受時間限制，主要由教師引導示范，在舉例環節也因停留較短導致學生回答較為局限，但都在原有設定下．另一方面，本節內容由運算性質出發，討論了互斥事件與獨立事件的關系，用一個游戲貫穿始終，簡明扼要地回答了兩兩獨立并非相互獨立這些較為反經驗的問題．應用列表的方式解決典例，將抽象問題形象化，使學生對獨立性的理解達到了新高度，體會“兩個事件獨立是指事件A的發生不影響事件B發生的概率，而不是說事件A的發生不影響事件B的發生”此中深意．學生在課堂中主動思考、獨立探索，事必躬親解決問題，最終柳暗花明形成了各自的思維導圖．

3.2 教學反思

新課標提出高中數學教學應以發展學生學科核心素養為導向，創設教學情境，啟發思考，引導學生把握數學本質，因此概念教學至關重要，傳統的“定義+例題”的授課方式已無法滿足新課標的要求，APOS理論是成功的概念教學實踐，在這次嘗試中教師也總結了一些心得體會與同行分享．

(1)從最近發展區出發，創設有趣的情景教學

概率問題是離學生很近的數學問題，生活中處處有概率，這為情景教學提供了有利條件．本文選用的“石頭、剪刀、布”的游戲，雖在前兩個設定中較為普通，但在游戲3中言簡意賅、立竿見影，使趣味性和知識性融合得恰到好處．

(2)使用問題串，為思維搭建腳手架

問題串是促進數學概念內涵、外延的重要手段，一個好的問題串，能有效推動學生思維發展．新教材在概率章節的內容與大學銜接緊密，是較為完整的、系統的概率論介紹，只有讓學生經歷概念的形成過程，在教師引導下內化、壓縮，在頭腦中進行描述、反思，最終通過數學符號語言理性抽象，才能幫助學生更好體悟概念本質，使其成為知識的主動探索者和構建人．

(3)探索與展望

概念教學不能只是平鋪直敘，它應該是來源于社會的、生活的，是數學學科對一般事實的總結和歸納，帶領學生經歷概念的發生與發展有助于其更好地理解數學抽象的意義，促進核心素養的發展，激起數學學習的興趣，這也是我們每一位教師不斷奮斗的美好愿景．