對一道2022年全國高考試題的探究與思考

張 鵠

(湖北省武漢市第二中學 430010)

孔 峰

(湖北省武漢市教育科學研究院 430022)

2022年高考數學全國乙卷理科第21題是一道函數與導數的壓軸題．題設中函數結構簡潔明了，是由基本的指數函數與對數函數模型整合而成；設問內容更是司空見慣，是師生常見的切線方程求解和已知零點個數求參數的問題類型．為此，筆者就該題的解答情況對即將進入新高三的學生進行了問卷，發現大部分學生對第(2)問不知從何處入手分析．這讓筆者在思考，如何幫助學生透過試題表象找準切入點，進而對“冰冷美麗”的試題進行一番“火熱”的思考．下面，以美籍匈牙利裔著名數學家波利亞的“怎樣解題”表為指引，開啟我們的探究思考過程．

1 基于“怎樣解題”表的試題探究

1.1 理解題目

題目1已知函數f(x)=ln(1+x)+axe-x，其中a∈R．

(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區間(-1,0)和(0,+∞)內各恰有一個零點，求a的取值范圍．

問題1題目1第(2)題是一個什么問題？

預設 這是已知函數零點個數求參數范圍的問題．

問題2條件是什么？

預設f(x)在(-1,0)和(0,+∞)內各有一個零點．

1.2 擬定方案

問題3你以前見過它嗎？或者你見過以稍有不同的形式呈現的類似題目嗎？你知道與它有關的題目嗎？

預設 我們見過一道與它類似的題目，即2017年新高考全國Ⅰ卷理科第21題：

題目2已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若函數f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．

問題4題目2的第(2)題與題目1的第(2)題有關，你能利用題目2的求解方法解答題目1的問題嗎？

預設 形式上類似．不過，題目1限定了零點存在的區間，即兩個斷開的區間．

問題5為什么不把兩個區間合成一個區間(-1,+∞)？

預設 合成一個區間就暴露了與題目2的聯系．命題者也許為了推陳出新，通常會在問題形式上設計新意，但萬變不離其宗．

問題6為什么要在x=0處將區間斷開？這里有沒有命題者想要表達而又有所隱藏的信息？能否分析一下？

預設f(x)在x=0處的函數值等于0，即0是函數f(x)的零點．若把0放在區間內，那就有3個零點，與題意不符．另外，函數f(x)在(-1,+∞)上的圖象穿過原點，意味著滿足題意的圖象特征可能如下面圖1和圖2所示．

圖1 圖2

問題7在上面的圖象中，你能判斷題目1第(2)問對應的圖象是哪一個嗎？把握函數圖象特征一般應從哪些方面進行分析？

預設 就本題而言，可以從定義域、值域、單調性、極值以及零點等方面分析．由于f(0)=0，f′(0)=1+a均存在，為使f(x)的圖象在區間(-1,0)及(0,+∞)上各恰好穿過x軸一次，函數f(x)的變化情況只能如圖1和圖2所示．為了進一步找到題設函數對應的圖象，還可以先動態定性研究較容易的局部圖象特征：

首先，基于零點附近兩側的函數值要么為正，要么為負．于是，我們不妨先研究x=0右側的情況．因為當x>0時，ln(1+x)>0，xe-x>0，所以，若a≥0，則f(x)>0，與題意不符．從而a<0．

問題8借助圖1，你能分析一下函數f(x)在(-1,0)及(0,+∞)上各有一個零點的含義嗎？

預設 函數f(x)在(-1,0)上先增后減，在(0,+∞)上先減后增．這需要函數f(x)在兩個區間上各有一個極值點．這樣，把零點轉化為極值點來討論，體現了數學的轉化與化歸思想．

問題9你能找到這兩個極值點嗎？又準備采用什么工具和方法？你之前有過這方面的經驗嗎？

預設 記得之前是這樣做的，先對函數求導，若導函數的零點可以直接求出，就接著討論這些零點附近兩側的導函數符號；若不能，則利用函數零點存在定理將零點限定在適當區間，有時為找到這樣的區間，可能還會用到找點技巧如借助函數不等式進行放縮的方法．

分析到這里，我們就可以著手解決問題了．

1.3 實施方案

若a≥0，則當x>0時，ln(1+x)>0，axe-x≥0，從而f(x)>0，與題意不符．

若a<0，則對φ(x)求導得，φ′(x)=ex-2ax，當x>0時，因為ex單調遞增，2ax遞減，所以φ′(x)遞增，從而φ′(x)>φ′(0)=1>0，因此φ(x)在(0,+∞)上遞增，φ(x)>φ(0)=1+a．

糖皮質激素和丙種球蛋白對暴發性心肌炎的治療安全性和有效性良好，建議所有暴發性心肌炎患者盡早使用[1]。免疫調節劑輸注時護理人員需謹慎給藥。丙種球蛋白屬于高張液體，靜脈滴注時，需先確保靜脈通路安全通暢。由于大劑量使用該藥可增加心室前負荷，加重心力衰竭，所以必須在24小時內緩慢輸注[3]。輸液過程中，嚴密觀察輸液血管狀況，發現液體外滲、過敏及心力衰竭癥狀加重時，立即處理。使用大量甲潑尼龍可能引起消化道應激性潰瘍，骨質疏松及精神神經異常，水電解質失衡，建議每日檢查血電解質[6]，遵醫囑使用護胃抑酸藥物，且密切觀察有無消化道出血癥狀[3]。

若-1≤a<0，則φ(x)≥0，f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上遞增，f(x)>f(0)=0，也與題意不符．

綜上可得，a<-1．

1.4 回顧

問題10你能檢驗一下這個結果嗎？有沒有直觀的驗證方法？

預設 能．畫出函數f(x),φ(x),φ′(x)的圖象，并結合圖3～圖5進行分析驗證發現上述過程正確．

圖3 圖4 圖5

問題11你能結合圖象給出新的方法嗎？

若a≥0，則當x∈(-1,0)時，φ(x)>0，f′(x)>0，f(x)遞增，f(x)

若-1≤a<0，則當x>0時，φ′(x)>0，φ(x)遞增，φ(x)>φ(0)=1+a≥0，即f′(x)>0，f(x)遞增，從而f(x)>f(0)=0，f(x)在(0,+∞)內無零點，不符合題意．

綜上，a<-1．

問題12你能借助圖象從新的角度解釋題設條件的含義嗎？

預設 所謂函數f(x)的零點，就是函數f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標．有時為便于利用圖象尋找交點，也可以轉化為兩個函數的圖象之間的交點問題．因此，分別構造函數g(x)=ln(1+x)，h(x)=-axe-x，再畫出這兩個函數的圖象(圖6)．可以看出，除原點外，這兩個函數圖象若還能再有兩個交點，需要考慮原點附近圖象特征及變化趨勢．從而又轉化為兩個函數在原點處的切線斜率-a與1的大小比較，結合圖象不難得到，當-a>1即a<-1時，滿足題意．

圖6 圖7

問題13你還能借助圖象從切線的角度再次給出恰有兩個零點的新的解釋嗎？

預設 構造兩個新的函數m(x)=exln(1+x)及y=-ax．f(x)在(-1,0)和(0,+∞)上各有一個零點?方程exln(1+x)=-ax在區間在(-1,0)和(0,+∞)內各有一個實根(圖7)．

問題14你能對上面的探究過程作個總結嗎？

預設 借助函數圖象進行直觀分析，從局部入手，把握特殊點、關鍵點處函數性態的刻畫，然后再拓展到整體全面的分析判斷．

2 若干思考

2.1 借助波利亞“怎樣解題表”解題

“怎樣解題表”的4個步驟和程序組成了一個完整的解題教學系統．當我們對一個比較難的高考導數壓軸題按照波利亞“怎樣解題表”進行解答時，會發現在由淺入深的問題串引導下，能夠讓分析逐漸進行下去直至順利完成解答過程．因此，我們需要加深對波利亞“怎樣解題表”的理解和掌握．

2.2 多角度深入研究高考試題

高考全國卷導數壓軸題盡管年年求新求異，但我們透過近幾年試題仍然可以發現，高考命題的原則是整體穩定，適度創新．命題始終圍繞導數部分的主線內容，聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調基礎性、綜合性；注重數學本質、通性通法，淡化解題技巧，突出數學學科核心素養的考查．

在高三復習備考教學中，要深入研究近幾年高考試題，并對其作系統全面的梳理與研究，把握試題的變化趨勢，挖掘高考試題的潛在功能價值；積極引導學生從知識的本質出發，對導數壓軸題進行多角度剖析；運用函數圖象等直觀想象分析工具，對定義區間邊界點或區間內特殊點附近的圖象進行微觀分析，利用局部到整體、特殊到一般等思想方法多角度領悟題目的隱含條件，充分暴露命題意圖，簡化思維過程，優化解題方法，降低運算難度．從而在分析問題的過程中提升學生的直觀想象、邏輯推理等學科核心素養．