單元教學設計中“單元”的建構與規(guī)劃
——以冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單元為例*

張海強 (江蘇省宜興中學 214200)

2021年10月，應教育部基礎教育課程教材發(fā)展中心之邀，筆者參與了普通高中新課程新教材國家級示范區(qū)示范校建設工作，進行了數(shù)學必修一“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)”單元教學規(guī)劃，并執(zhí)教了第4課時“對數(shù)函數(shù)的圖象與性質”公開研究課．該活動得到了首都師范大學王尚志教授、胡鳳娟老師的悉心指導．本次活動在單元整體分析(數(shù)學的理解、課標的理解和教材的理解)和學情分析的基礎上，采各教材之長，構建具有個性化的單元，提煉單元主題，凝練單元目標，并對單元作了課時劃分，提出各課時的階段目標和任務．現(xiàn)將設計過程整理成文，與大家分享．

從課程開發(fā)的立場看，單元是依據(jù)課程標準，圍繞主題(專題、話題、問題、大概念)或活動等選擇學習材料并進行結構化組織的學習單位．從教學的立場看，單元是教學過程中相對完整的學習“段落”[1]．本文涉及的“單元”更傾向于前者．

1 單元整體分析

1.1 數(shù)學的理解

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學語言和工具，在解決實際問題中發(fā)揮重要作用．函數(shù)的概念從初中的“變量說”發(fā)展到高中的“對應說”，再到大學的“關系說”，是一個逐步抽象的過程．“變量說”和“對應說”可以認為是認識函數(shù)概念的兩個角度，但更重要的是兩個層次的抽象．“變量說”比較形象、直觀，與“變化過程”聯(lián)系緊密；“對應說”進一步舍棄了運動變化背景，抽象為兩個實數(shù)集元素之間的對應關系，不僅可以研究一類函數(shù)的性質、函數(shù)之間的關系，還可以研究不同函數(shù)類的關系，對不同函數(shù)類進行運算等，從而極大地拓展了函數(shù)的研究視野和函數(shù)的應用范圍．

函數(shù)性質的研究方法強調代數(shù)運算和圖象直觀的綜合運用，即進一步加強數(shù)形結合的方法．初中主要通過圖象直觀給出函數(shù)性質的定性描述，高中則加強了代數(shù)運算，使得函數(shù)的性質得到了定量刻畫，導數(shù)的引入實現(xiàn)了函數(shù)性質的精確刻畫．

1.2 課標的理解

函數(shù)是貫穿高中數(shù)學課程的主線．函數(shù)的概念和性質的學習路徑為函數(shù)的概念—函數(shù)的性質—函數(shù)的應用．通過學習，學生學會了一套“數(shù)學的話語方式”，接下來就是運用這套話語方式，從客觀世界的變量關系和規(guī)律中去抽象基本初等函數(shù)，用函數(shù)的語言表達，用圖象直觀和代數(shù)運算的方法研究性質，并用于解決數(shù)學內(nèi)外的問題．這個過程既是函數(shù)一般概念的應用，同時也在應用過程中加深對函數(shù)概念的理解[2]．

在教學中，要幫助學生學會用圖象直觀和代數(shù)運算的方法研究冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)(周期性的模型)等連續(xù)性函數(shù)，以及數(shù)列等離散型函數(shù)．這些具體函數(shù)具有基礎性地位，不僅應用廣泛，而且是進一步學習數(shù)學的基礎．

函數(shù)學習重點提升數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象等核心素養(yǎng)，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象與性質的學習則主要側重于提升邏輯推理、數(shù)學運算和直觀想象等核心素養(yǎng)[3]．

1.3 教材的理解

(1)人教A版

教材將函數(shù)單元分為《函數(shù)的概念和性質》《指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)》《三角函數(shù)》三章，其中冪函數(shù)歸入《函數(shù)的概念和性質》一章，作為函數(shù)的概念和性質的直接應用．

冪函數(shù)定位于函數(shù)性質的簡單應用，冪函數(shù)概念的形成采用特殊到一般的方式獲得，是數(shù)學抽象的過程，同時又是一種歸納推理．整個過程體現(xiàn)一種重要的數(shù)學思想方法——類思想，以彰顯數(shù)學的文化價值．通過探究欄目的設置，提供研究函數(shù)的內(nèi)容、方法和路徑，同時加強了函數(shù)之間的聯(lián)系．

指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單元的定位：幫助學生學會用函數(shù)圖象和代數(shù)運算的方法研究指、對函數(shù)的性質，理解它們所蘊含的運算規(guī)律，運用它們建立模型，解決實際問題．

指數(shù)函數(shù)：包括指數(shù)運算和指數(shù)函數(shù)兩大部分．指數(shù)運算旨在對指數(shù)范圍的擴充，屬于數(shù)學運算的范疇．指數(shù)函數(shù)從真實情境中抽象而來，有利于培育數(shù)學抽象素養(yǎng)．

指數(shù)函數(shù)的圖象與性質的研究過程充分展示了函數(shù)圖象和代數(shù)運算的結合，體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想．教材從描點法開始，畫出y=2x和y=2-x的圖象，并通過代數(shù)運算揭示內(nèi)在聯(lián)系．并由“類思想”得出y=ax的圖象，并由圖象得出指數(shù)函數(shù)的性質．信息技術的應用讓學生動態(tài)地、直觀地理解底數(shù)a對指數(shù)函數(shù)圖形的影響，同時介紹了GeoGebra的使用方法．

對數(shù)函數(shù)：對數(shù)的概念和運算主要培育數(shù)學運算素養(yǎng)．

對數(shù)函數(shù)抽象的過程建立在對數(shù)與指數(shù)的內(nèi)在關聯(lián)上，這是對數(shù)函數(shù)抽象過程“與眾不同”的地方．“探究”與“探究與發(fā)現(xiàn)”欄目的設置，要求教師在對數(shù)函數(shù)教學中加強從反函數(shù)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的引導．這是逆向思維的典范，而“反過來會怎樣？”就是學會數(shù)學地發(fā)現(xiàn)和提出問題的表現(xiàn)之一．

對數(shù)函數(shù)的圖象可以從描點和反函數(shù)關系兩個角度入手，進一步體會數(shù)形結合的思想和“類 思想”．

“以形助數(shù)、以數(shù)論形”成為對數(shù)函數(shù)的研究方法，通過代數(shù)運算得出指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質，從代數(shù)關系獲得函數(shù)圖象之間的某些特征．

“不同函數(shù)增長的差異”讓學生體會“直線上升”“對數(shù)增長”和“指數(shù)爆炸”的含義．在它們之間進行比較的方式和路徑的設計必須引起重視．教材主要通過列表和圖象兩個方面，從直觀的角度讓學生去體會．

(2)滬教版

滬教版教材將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)作為一個研究單元，以此為載體，讓學生學會研究函數(shù)的一般方法．

對于冪函數(shù)，教材以例題的方式展示了研究冪函數(shù)的一般方法(一般程序)，側重于由數(shù)到形的研究路徑，即先研究冪函數(shù)的性質，再繪制冪函數(shù)的圖象．教材還特別關注函數(shù)之間的關系(和函數(shù)、平移、對稱變換)．

指數(shù)函數(shù)的研究則傾向于由形到數(shù)的研究路徑，即先繪制特殊的指數(shù)函數(shù)圖象，由圖象歸納出指數(shù)函數(shù)的性質，再以指數(shù)函數(shù)為模型應用于實際生活，體現(xiàn)數(shù)學建模等核心素養(yǎng)．

值得一提的是，繪制指數(shù)函數(shù)圖象的時候，傳統(tǒng)的描點法不可或缺，信息技術更應充分利用，可以展示底數(shù)a對指數(shù)函數(shù)的影響，體現(xiàn)“類思想”．

“借助計算器觀察函數(shù)遞增的快慢”一方面體現(xiàn)了信息技術的應用，另一方面讓學生體驗指數(shù)增長的飛速．

對數(shù)函數(shù)設置于高一下冊，對數(shù)的概念和對數(shù)的運算比其他教材更為詳盡，體現(xiàn)了對數(shù)學運算素養(yǎng)的重視．反函數(shù)專辟一節(jié)，位于對數(shù)函數(shù)之前，起到了鋪墊的作用，符合學生的認知規(guī)律，繪制對數(shù)函數(shù)的圖象即通過互為反函數(shù)的關系來實現(xiàn)．

(3)蘇教版

函數(shù)概念和性質組成一章，包括函數(shù)的概念、單調性和奇偶性．冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)組成一章．指數(shù)與對數(shù)單獨成章置于《函數(shù)概念和性質》一章之前．

(4)湘教版

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)從代數(shù)運算統(tǒng)一性的高度來認識，提高了站位，有利于單元整體教學的展開．

冪函數(shù)的圖象與性質側重于代數(shù)運算，圖象直觀只關注5類具體函數(shù)，不推廣至一般情形，貼合課程標準的要求，“類思想”體現(xiàn)明顯．

指數(shù)函數(shù)的概念源于豐富的真實情境，“指數(shù)爆炸”和“指數(shù)衰減”是兩個重要形式，利于將數(shù)學抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處．

關于指數(shù)函數(shù)的圖象與性質，指數(shù)函數(shù)的性質源于冪運算的性質，從代數(shù)運算推導指數(shù)函數(shù)的性質是湘教版的一大特色——“有了這樣基本的理性認識，就能夠在作圖之前預見到圖象的大致模樣，等到圖象出來，對照栩栩如生的曲線來檢驗自己的想法，就更為親切，更有成功感．”

對于對數(shù)函數(shù)的圖象與性質，從指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關系入手，利用反函數(shù)來獲得對數(shù)函數(shù)的圖象，從而得出對數(shù)函數(shù)的性質，過程清晰明了，但對反函數(shù)的理解尚需一個過程．對數(shù)和對數(shù)函數(shù)的應用非常廣泛，是數(shù)學文化重要的載體．

值得一提的是，習題設置的三個欄目(學而時習之、溫故而知新、上下而求索)符合學生的認知規(guī)律，與中國文化有機結合，讀來備感親切．

(5)北師大版

奇偶性和簡單的冪函數(shù)合為一節(jié)，對函數(shù)奇偶性著墨相對偏少，對簡單的冪函數(shù)嚴格控制在5個常見函數(shù)，更加關注奇偶性的應用價值——簡化函數(shù)的研究范圍，以冪函數(shù)和分段函數(shù)為例．

指數(shù)冪的擴展和指數(shù)冪的運算，對數(shù)學運算提出了新的要求．

指數(shù)函數(shù)的概念教材一筆帶過，直截了當，并從代數(shù)運算的角度給出兩個性質，也即知曉了圖象的大致范圍．

指數(shù)函數(shù)的研究將a分為兩類，小步推進，分類研究，形成同構，有利于模仿探究，值得提倡．指數(shù)函數(shù)的作圖采用描點法，讓學生體驗作圖過程，體會“指數(shù)爆炸”．

對數(shù)具有豐富的文化背景，教材做了大量的闡述.對數(shù)作為新的運算對象，教材從概念、運算法則和換底公式三個部分展開，對培養(yǎng)學生的數(shù)學運算素養(yǎng)起到了良好的導向作用．

對于對數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)直接給出對數(shù)函數(shù)的定義，并指出兩者之間的關系——互為反函數(shù)．

對數(shù)函數(shù)的圖象研究仍然采用小步推進的方式，先研究y=log2x的圖象，從描點法和互為反函數(shù)的圖象關系兩個角度作圖，尤其是從互為反函數(shù)的圖象的角度，給出了一個完整的演變過程，值得借鑒．

2 學情分析

2.1 學生已有的認知基礎

(1)學生已掌握指數(shù)冪的運算性質，理解對數(shù)的概念和運算性質，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；(2)學生已理解函數(shù)的概念和基本性質；(3)能用描點法作出函數(shù)的大致圖象．

2.2 達成教學目標所需的認知基礎

(1)提煉函數(shù)作圖的基本要素；(2)能從函數(shù)圖象和代數(shù)運算兩個角度研究具體函數(shù)．

2.3 “已有基礎”與“需要的基礎”之間的差異

(1)描點法作圖是學生常用的作圖方法，但對函數(shù)作圖的基本要素缺乏應有的認識，需要師生合作、交流和分享，提煉出函數(shù)作圖的基本要素(基本形狀+具體位置)；(2)函數(shù)圖象和代數(shù)運算是研究函數(shù)的兩個角度，在探究函數(shù)的圖象與性質的過程中實現(xiàn)兩者之間的自由切換．

2.4 教學的難點與對策

難點：提煉函數(shù)作圖的基本要素；會從函數(shù)圖象和代數(shù)運算兩個角度研究一般函數(shù)．

突破難點的策略：從快速作圖的要求出發(fā)，幫助學生提煉函數(shù)作圖的要素；引導學生從數(shù)和形兩個角度研究函數(shù)，分別從解析式、列表和函數(shù)間的關系等維度切入，形成研究函數(shù)的一般方法．

2.5 幾個具體問題的調查分析

(1)坐標軸互換導致圖形變化，學生是如何思考的？

①旋轉(逆時針或順時針)90°；②描點：(1,2)→(2,1)，(a,b)→(b,a)；③沿直線y=x對折，此時x軸變?yōu)樗较蛴遥瑈軸變?yōu)樨Q直向上；④看作圖紙的背面．

(2)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)學完后，學生是否形成了研究函數(shù)的一般方法調查．

結論：①對“研究函數(shù)的一般方法”有了感性認識，但缺乏提煉；②能用“數(shù)學的話語方式”表達冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)；③對函數(shù)的研究側重于局部，真實情境和具體函數(shù)、數(shù)與形之間的轉換不夠靈活．

(3)函數(shù)作圖的現(xiàn)狀調查

結論：①從總體而言，學生掌握的函數(shù)作圖方法不成系統(tǒng)；②對描點法根深蒂固；③多數(shù)學生能從解析式出發(fā)求定義域，即初步有了從數(shù)到形思考問題的意識；④利用函數(shù)間關系作圖的能力普遍較弱．

3 明確單元及其包含的知識內(nèi)容

單元名稱：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)．其包含的知識內(nèi)容：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質．

選擇理由：(1)湘教版教材的章頭圖將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)從代數(shù)運算的統(tǒng)一性的高度來認識，提高了站位，有利于單元整體教學的展開．

(2)將單元內(nèi)容圈定為冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質，有利于幫助學生形成研究函數(shù)的一般方法：由背景抽象出具體函數(shù)，再由數(shù)學推理推演出函數(shù)的圖象與性質，最后將其作為模型應用于實際問題．這一處理更加凸顯數(shù)學核心素養(yǎng)：數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模，即數(shù)學抽象和數(shù)學建模是溝通真實世界和數(shù)學的橋梁，邏輯推理則是數(shù)學內(nèi)部系統(tǒng)化的思維過程．

(3)采用蘇教版的體例，將指數(shù)運算和對數(shù)運算單獨成章，關注數(shù)學運算素養(yǎng)的培養(yǎng)，在此基礎上著重研究三類函數(shù)的概念、圖象和性質，主題和指向性更加明確．

4 單元主題和單元目標

4.1 單元主題

積累學習冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的經(jīng)驗，形成研究函數(shù)的一般方法．

4.2 單元目標

(1)經(jīng)歷冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)概念的形成過程，理解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的概念，能從真實情境中抽象出數(shù)學概念．

(2)通過探究冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象和性質，提煉函數(shù)作圖的基本要素，體會數(shù)形結合的思想．

(3)通過對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等知識結果的理解，提高歸納提煉的能力，從研究“個別”函數(shù)走向研究“一類”函數(shù)，掌握“類思想”．

(4)運用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)建立模型，解決簡單的實際問題，體會它們在解決實際問題中的作用．

(5)通過數(shù)學文化的挖掘，理解數(shù)學思想方法，崇尚科學精神，體悟數(shù)學之美．

本單元旨在積累學習冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的經(jīng)驗，形成研究函數(shù)的一般方法．主要提升學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)[3]．

5 教學階段劃分及每個階段在實現(xiàn)單元目標時所發(fā)揮的作用

本單元分四個階段．第一階段：冪函數(shù)(1課時)；第二階段：指數(shù)函數(shù)(2課時)；第三階段：對數(shù)函數(shù)(2課時)；第四階段：小結(2課時)．

5.1 第一階段：冪函數(shù)(1課時)

(1)階段目標

以冪函數(shù)為載體，理解研究一類函數(shù)的內(nèi)容、基本思路(定義—圖象與性質—應用)和方法，學會從不同的角度看問題．

(2)任務提要

5.2 第二階段：指數(shù)函數(shù)(2課時)

(1)階段目標：在研究冪函數(shù)的基礎上研究指數(shù)函數(shù)，體會函數(shù)研究的一般方法．

(2)任務提要：①從真實情境中抽象出指數(shù)函數(shù)的概念；②利用描點法作出具體的指數(shù)函數(shù)的圖象；③由具體函數(shù)的圖象抽象出指數(shù)函數(shù)的性質；④指數(shù)函數(shù)(模型)的簡單應用．

5.3 第三階段：對數(shù)函數(shù)(2課時)

(1)階段目標：在冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)研究的基礎上，采用類比方法，探究對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質，進一步體會函數(shù)研究的一般方法．

(2)任務提要：①在指數(shù)函數(shù)的基礎上抽象出對數(shù)函數(shù)的概念；②通過描點法和函數(shù)間的關系，作出對數(shù)函數(shù)的圖象；③由具體函數(shù)的圖象抽象出對數(shù)函數(shù)的性質；④對數(shù)函數(shù)(模型)的簡單應用．

5.4 第四階段：小結(2課時)

(1)階段目標：①通過冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)增長差異的比較，從整體上把握三類函數(shù)；②經(jīng)歷函數(shù)庫的建立過程，通過分享交流，學會分類．

(2)任務提要：①設計三類函數(shù)增長差異比較的方案；②構建有個性化色彩的函數(shù)庫．

(限于篇幅，活動設計、作業(yè)設計、評價設計和資源設計從略．)