STEAM理念下的數(shù)學(xué)建模
——以“最佳口感茶水問題”為例

龔舒倩 朱 哲 (浙江師范大學(xué)教師教育學(xué)院 321004)

近年來，越來越多的發(fā)達國家把STEAM教育作為國家戰(zhàn)略發(fā)展的重要選擇．在《中國教育現(xiàn)代化2035》提出加強拔尖創(chuàng)新人才的培養(yǎng)以及加大應(yīng)用型、復(fù)合型、技術(shù)技能型人才的比重的現(xiàn)實要求下，STEAM作為整合培養(yǎng)實踐型、創(chuàng)新型、綜合型人才的教育理念[1]，在國內(nèi)引起了一番研究熱潮．?dāng)?shù)學(xué)是STEAM的基礎(chǔ)學(xué)科，STEAM理念的融入為數(shù)學(xué)教育帶來新的機遇與挑戰(zhàn)．?dāng)?shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)教育中最貼合STEAM理念的課程形式，是呈現(xiàn)STEAM理念的良好載體．?dāng)?shù)學(xué)建模能夠為STEAM活動的開展提供著力點，STEAM理念也會為數(shù)學(xué)建模活動帶來新思路與新方法，數(shù)學(xué)建模教學(xué)需要順勢而為，在新的時代背景下增添新的內(nèi)涵．

1 STEAM理念進入數(shù)學(xué)教育

STEAM教育的理念可以概括為：以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，通過工程和藝術(shù)解讀科學(xué)和技術(shù)．STEAM教育主要以基于項目的學(xué)習(xí)、問題的學(xué)習(xí)為主要教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生通過合作與實踐，以學(xué)科整合的方式認識世界，以綜合創(chuàng)新的形式改造世界，培養(yǎng)解決問題的創(chuàng)新能力[2]．?dāng)?shù)學(xué)是STEAM教育的基礎(chǔ)學(xué)科，數(shù)學(xué)教育與STEAM教育的融合使二者相得益彰．一方面，數(shù)學(xué)在其他學(xué)科及實際生活中具有廣泛的應(yīng)用性，體驗現(xiàn)實生活中的應(yīng)用并以數(shù)學(xué)方式對現(xiàn)實世界的情況進行建模是有效STEAM教育的核心[3]．另一方面，STEAM教育同數(shù)學(xué)教育改革在理念上相契合．《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》中指出：“高中數(shù)學(xué)課程強調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力．”而STEAM強調(diào)基于真實情境的跨學(xué)科學(xué)習(xí)將有助于數(shù)學(xué)教育的改革與發(fā)展[4]．

鑒于此，在數(shù)學(xué)教育中融入STEAM理念，探索數(shù)學(xué)教育與STEAM教育的融合模式是教育現(xiàn)代化背景下促進數(shù)學(xué)教育改革與發(fā)展的必由之路．

2 STEAM理念下的數(shù)學(xué)建模

STEAM作為一種理念支撐，切實落地于數(shù)學(xué)教育需要找到其相應(yīng)的載體，這種載體既要能體現(xiàn)學(xué)科融合的特點，又要求能整合現(xiàn)有數(shù)學(xué)課程資源[5]．?dāng)?shù)學(xué)建模作為當(dāng)下數(shù)學(xué)教育中最貼合STEAM理念的課程形式，是呈現(xiàn)STEAM理念的良好載體．?dāng)?shù)學(xué)建模是指對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題[6]，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用功能的重要中介和基本形式[7]．?dāng)?shù)學(xué)建模問題的背景通常取材于現(xiàn)實生活，對問題的分析不僅局限在數(shù)學(xué)上，還需要調(diào)動其他學(xué)科的知識或生活經(jīng)驗，以數(shù)學(xué)與現(xiàn)實問題及相關(guān)學(xué)科知識相融合的方式，確定影響問題的因素，進而做出合適的數(shù)學(xué)模型解決問題[8]．

數(shù)學(xué)建模和STEAM教育既有共通之處又相互獨立．?dāng)?shù)學(xué)建模以數(shù)學(xué)學(xué)科為主導(dǎo)，體現(xiàn)的是數(shù)學(xué)知識和思維方法的廣泛應(yīng)用性，而STEAM教育不是將重點放在某個學(xué)科上，它體現(xiàn)的是跨學(xué)科思維、綜合性學(xué)習(xí)．整體上STEAM教育包含的領(lǐng)域更廣泛，不是所有STEAM活動都是建模活動，只是許多STEAM活動可能會經(jīng)歷建模過程，但在數(shù)學(xué)建模的過程中會涉及STEAM的各個方面[9]．STEAM教育和數(shù)學(xué)建模教學(xué)的融合，根據(jù)目標主體的不同可以歸納為兩種模式(圖1)：一是將數(shù)學(xué)建模活動作為STEAM教育的教學(xué)材料，在STEAM教育中融入數(shù)學(xué)建模思想，促使STEAM教育更加科學(xué)深入，目標是為STEAM教育服務(wù)；二是以STEAM理念指導(dǎo)數(shù)學(xué)建模教學(xué)，在數(shù)學(xué)建模過程中融入STEAM理念，使數(shù)學(xué)建模活動真正與實際生活以及其他學(xué)科緊密結(jié)合起來，目標是為數(shù)學(xué)建模活動服務(wù)，本文要研究的即是該問題．

圖1

STEAM理念的融入，為數(shù)學(xué)建模活動帶來新思路與新方法．在理念上，從問題解決的單學(xué)科視角轉(zhuǎn)變?yōu)槎鄬W(xué)科途徑．STEAM理念下的數(shù)學(xué)建模能實現(xiàn)各學(xué)科知識內(nèi)容、研究方法、思維方式和認知路徑等的有效關(guān)聯(lián)[10]．在方式上，從單一的理性分析轉(zhuǎn)變?yōu)閷嵺`與分析相結(jié)合．讓學(xué)生適時地走出純思維的數(shù)學(xué)課堂，通過實踐去接觸實際問題，進一步引發(fā)他們的思考質(zhì)疑和深入探究，反過來促進學(xué)生腦海中的數(shù)學(xué)建模思想更加完善[11]．

3 STEAM理念下的中學(xué)數(shù)學(xué)建模活動過程

基于以上對STEAM理念下數(shù)學(xué)建模的思考，筆者構(gòu)建了STEAM理念下中學(xué)數(shù)學(xué)建模活動過程(圖2)，總體分為選題開題、做題和結(jié)題三個階段．

圖2

第一階段目的是讓學(xué)生通過實踐探究充分了解問題背景，運用跨學(xué)科思維綜合分析把握問題本質(zhì)，在選題開題的過程中滲透STEAM理念．首先，教師要根據(jù)選題內(nèi)容精心設(shè)計教學(xué)活動，實現(xiàn)理論與實踐相結(jié)合，課內(nèi)和課外活動相結(jié)合，自主學(xué)習(xí)、小組合作、教師講授等多種學(xué)習(xí)方式相結(jié)合．其次，引導(dǎo)學(xué)生運用跨學(xué)科思維分析問題，從多角度思考問題解決的策略，聯(lián)系其他學(xué)科知識確定問題的影響因素．在進行教學(xué)設(shè)計時，教師要明確以下幾點：①該問題涉及哪些學(xué)科知識？②這些知識是否基于學(xué)生已有知識經(jīng)驗？③這些知識是否有助于理解問題本質(zhì)？最后，對現(xiàn)實的復(fù)雜情境作出合理假設(shè)，從開放性問題聚焦到條件更加明確的問題．根據(jù)學(xué)生的興趣和經(jīng)驗可以提出不同角度的問題，根據(jù)學(xué)生的能力和水平可以提出不同難度的問題．該階段結(jié)束后，要求學(xué)生撰寫開題報告，在下一階段匯報研究思路．

第二階段是整個數(shù)學(xué)建模活動的中心和核心環(huán)節(jié)，目的是讓學(xué)生在建立模型解決問題的過程中綜合運用其他學(xué)科知識和生活經(jīng)驗提高思維的創(chuàng)造性和嚴謹性，在做題的過程中滲透STEAM理念．學(xué)生應(yīng)經(jīng)歷對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象、用數(shù)學(xué)語言表達問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的完整過程．在以小組合作的形式實踐探究、收集數(shù)據(jù)的過程中，可能會涉及其他學(xué)科的知識內(nèi)容以及實驗操作，教師要對此加以復(fù)習(xí)、指導(dǎo)．結(jié)果的檢驗既要檢驗?zāi)Ｐ团c實驗數(shù)據(jù)的擬合程度，還要判斷根據(jù)所得的模型推出的問題結(jié)論是否符合實際經(jīng)驗和其他學(xué)科的認知．

第三階段是結(jié)題，目的是在總結(jié)反思、交流學(xué)習(xí)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生再創(chuàng)造、提升各方面的素養(yǎng)．學(xué)生要完成結(jié)題報告，教師要組織結(jié)題答辯．結(jié)題報告可以采用多種形式和內(nèi)容，形式上鼓勵實踐操作和使用信息技術(shù)，內(nèi)容上提倡結(jié)合其他學(xué)科知識．在整個結(jié)題過程中，要以設(shè)計思維為導(dǎo)向，充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)新精神，設(shè)計思維不僅能夠促進學(xué)習(xí)者反思以及對實踐中經(jīng)歷的反思進行再反思，還能促進學(xué)習(xí)者應(yīng)對解決真實世界中復(fù)雜問題的能力[12]，這一點與數(shù)學(xué)建模教學(xué)和STEAM教育的目標不謀而合．

總之，STEAM理念應(yīng)貫穿數(shù)學(xué)建模全程，即“以STEAM理念分析數(shù)學(xué)建模問題，以STEAM理念指導(dǎo)數(shù)學(xué)建模過程，以STEAM理念總結(jié)數(shù)學(xué)建模活動”．

4 STEAM理念下的數(shù)學(xué)建模案例

基于STEAM理念下的數(shù)學(xué)建模活動過程，以人教A版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)(必修)》第一冊數(shù)學(xué)建模專題中的“最佳口感茶水問題”為例開發(fā)教學(xué)案例．

4.1 第一階段：選題開題

(1)自主學(xué)習(xí)調(diào)研，了解問題背景

課前設(shè)置自主學(xué)習(xí)任務(wù)單，讓學(xué)生分小組進行調(diào)查研究、自主學(xué)習(xí)，充分了解問題背景．任務(wù)單中明確要解決的問題，提供可學(xué)習(xí)的方式，如 圖3所示．

圖3

(2)跨學(xué)科思維分析，把握問題本質(zhì)

課上請每個小組交流分享學(xué)習(xí)調(diào)研的結(jié)果．

生1：中華茶文化博大精深．根據(jù)制作工藝的不同，有六大茶類．

生2：水為茶之母，器為茶之父．泡一杯好茶除了茶葉，水和器具也很重要．

生3：看到茶藝師行云流水般的茶藝，感覺泡茶就是一項藝術(shù)．

師：那么如何才能泡出一杯好茶呢？哪些因素會影響茶水的口感？

引導(dǎo)學(xué)生從學(xué)習(xí)調(diào)研結(jié)果出發(fā)，運用發(fā)散性思維多角度思考．以下是教師的總結(jié)，將學(xué)生的回答歸納為茶葉、茶水、茶具、茶藝四類，結(jié)合其他學(xué)科的知識進行更深入的解釋，幫助學(xué)生把握問題本質(zhì)．

·茶葉

師：茶葉的可口程度和它內(nèi)含的生化成分有關(guān)，主要是氨基酸和茶多酚的含量高低以及兩者的比值關(guān)系．茶葉的制作工藝在很大程度上會影響茶葉的口感，通常覺得綠茶較為清爽，紅茶較為甘醇，就是因為不同加工過程中茶多酚類物質(zhì)氧化程度不同．發(fā)酵是茶葉加工的一種方式，茶葉在發(fā)酵過程中，因其自身氧化酶和微生物的作用，多酚類物質(zhì)會轉(zhuǎn)化成茶紅素、茶黃素等[13]．因此，綠茶作為未發(fā)酵的茶葉種類，多酚類物質(zhì)含量最高．

·茶水

師：《梅花草堂筆談》言“茶性必發(fā)與水，八分之茶，遇十分之水，茶亦十分矣；八分之水，試十分之茶，茶只八分耳．”茶性的發(fā)揮需要合適的水，水質(zhì)只是一方面，不同的茶葉對水的溫度、水的比例都有要求．以鮮嫩的綠茶為例，茶與水比例為1∶50，水溫通常在85 ℃左右，水溫太高容易破壞茶中維生素C，咖啡堿容易析出，致使茶湯變黃，滋味較苦．除此以外，喝茶也講究水溫．我們的口腔、咽部等部位的粘膜都是柔嫩脆弱的，一般能承受50 ℃～60 ℃左右，喝過熱的茶水容易破壞粘膜、誘發(fā)食道癌．

·茶具

不同的茶葉都有各自適宜的茶具，茶具的物理材質(zhì)特性是茶具選擇的一個重要因素．茶具的質(zhì)地以密度來區(qū)分，密度不同，導(dǎo)熱和散熱系數(shù)也就不同，一般密度高的茶具，散熱速度快，保溫效果差．所以茶具的密度高，泡出的茶香清揚，密度低，泡出的茶香低沉．通常茶具材質(zhì)密度排序為：玻璃>瓷器>陶器，因此用玻璃茶具沖泡綠茶比較好，瓷器沖泡紅茶比較好，陶器如紫砂壺可以沖泡黑茶．

·茶藝

茶藝，萌芽于唐，發(fā)揚于宋，改革于明，極盛于清，是飲茶活動過程中形成的藝術(shù)文化現(xiàn)象．雖然茶藝師的手法、經(jīng)驗會在一定程度上影響茶水的口感，但是茶葉本身的品質(zhì)難有較大改變．

(3)假設(shè)情境，聚焦問題

師：在前面的學(xué)習(xí)中了解到，茶水口感受很多因素影響，但是最重要的因素是茶葉類型、水溫以及泡茶的時間．綠茶通常用85 ℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60 ℃飲用，茶水口感最佳．那么在25 ℃室溫下，一杯剛泡好的茶水需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？請同學(xué)們就這一問題進行思考，小組討論確定研究方案、撰寫開題報告．

4.2 第二階段：做題

(1)數(shù)學(xué)抽象，明確思路

組織開展開題交流活動，對該問題進行數(shù)學(xué)抽象，明確做題思路．

組1：用85 ℃的水泡制綠茶，每隔1 min測一次水溫，等到60 ℃左右，就可以知道大致的時間．

師：如果想知道更加精確的時間怎么辦？茶水溫度變化是否有規(guī)律？

組2：先收集一些每隔一定時間的茶水溫度數(shù)據(jù)，找到茶水溫度隨時間變化而變化的規(guī)律，據(jù)此計算茶水降至60 ℃時的時間．

師：什么數(shù)學(xué)模型可以刻畫事物變化的規(guī)律?

生：函數(shù)．

師：明確思路是建立茶水溫度隨時間變化的函數(shù)模型，求出茶水從85 ℃降到60 ℃所需的時間．應(yīng)當(dāng)如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型呢？

生：收集數(shù)據(jù)，作散點圖，通過圖象判斷適用的函數(shù)模型．

(2)合作探究，收集數(shù)據(jù)

在開始收集數(shù)據(jù)之前，引導(dǎo)學(xué)生思考該實驗需要控制的變量(茶葉類型、茶水比例、茶具等)．讓學(xué)生以小組為單位，分工合作，進行茶水溫度測量．由于該實驗涉及水量、溫度的測量，需帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)量杯、溫度計的使用方法．

材料：綠茶、電子秤、玻璃茶具、量杯、電熱水壺、溫度計、秒表等．

要求：先在茶具中投放3 g綠茶，再用量杯稱量150 ml水，煮沸后待溫度降至85 ℃時泡制綠茶，每隔一段時間測量茶水的溫度并記錄數(shù)據(jù)．(請1組學(xué)生每隔30 s測量茶水溫度，直至水溫趨于穩(wěn)定，用該組數(shù)據(jù)留待檢驗?zāi)Ｐ?

(3)建立模型

各小組根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，以時間為橫軸、水溫為縱軸作散點圖，匯報所選擇的函數(shù)模型．

組1：觀察發(fā)現(xiàn)，茶水溫度隨時間流逝而逐漸變低，選擇用k值為負的一次函數(shù)．

組2：我們測量的時間間隔更短，數(shù)據(jù)點分布更加密集．觀察發(fā)現(xiàn)茶水溫度不是線性降低的，先降得快后降得慢，選擇用開口向上的二次函數(shù)．

組3：發(fā)現(xiàn)茶水溫度隨時間流逝而逐漸變低，先降得快后降得慢．并且根據(jù)經(jīng)驗，最后會接近于室溫值，選擇反比例型函數(shù)或指數(shù)型函數(shù)．

選擇模型時應(yīng)該看這個模型是否能客觀地反映所要解決的問題的本質(zhì)[14]．根據(jù)熱交換原理向?qū)W生解釋，在茶水降溫的過程中為什么開始降得快后來降得慢，并且最后趨于穩(wěn)定．因此，一次函數(shù)、二次函數(shù)都不符合這個特點，可以選擇反比例型函數(shù)或指數(shù)型函數(shù)作模型假設(shè)．

師：根據(jù)散點圖并聯(lián)系實際，所求的函數(shù)圖象在平面直角坐標系中應(yīng)具有什么特點？

生：①與縱坐標軸有交點，②趨近于一個定值．

師：基于以上特點，如何作出你們的模型假設(shè)？

組2：選擇指數(shù)型函數(shù)，假設(shè)函數(shù)模型y=kax+b．

(4)求解模型

可以用兩種方法來求解模型．一是直接計算，各小組將各自的數(shù)據(jù)代入假設(shè)的解析式，用待定系數(shù)法求解，并通過計算殘差平方和進行誤差分析．二是利用軟件，用Matlab或SPSS作擬合，用最小二乘法的原理得出該種模型下的最優(yōu)函數(shù)．

(5)檢驗結(jié)果

首先根據(jù)實驗數(shù)據(jù)進行檢驗，發(fā)現(xiàn)指數(shù)型函數(shù)擬合程度更好．其次，利用所求的指數(shù)型函數(shù)推出泡制一杯最佳口感茶水所需時間是7 min．然而根據(jù)實際經(jīng)驗，綠茶的沖泡時間一般不超過3 min，茶葉浸泡時間過長則茶湯苦澀，且內(nèi)含物析出過多對人體有害．因此，還需要在所得的指數(shù)型函數(shù)的基礎(chǔ)上繼續(xù)修正模型．

(6)修正模型

通過視頻展示茶藝師泡茶的過程，既要保證茶湯溫度適宜又要防止茶葉久泡，可以選擇在茶葉沖泡3 min后，將茶湯倒入公道杯中，待溫度適宜再品茗．據(jù)此沖泡流程，茶湯在轉(zhuǎn)入公道杯時，會有熱量損失，因此可建立分段函數(shù)，在明晰能用指數(shù)型函數(shù)刻畫茶水溫度隨時間變化的基礎(chǔ)上，重新收集數(shù)據(jù)，修正模型．

(7)問題解決，模型推廣

解決了25 ℃室溫下泡制一杯最佳口感茶水所需時間的問題，進一步思考，嘗試將建立的模型一般化，探究不同室溫下泡制一杯最佳口感茶水所需的時間．

4.3 第三階段：結(jié)題

要求學(xué)生課下撰寫結(jié)題報告，總結(jié)反思這次數(shù)學(xué)建模活動．各小組根據(jù)各自的函數(shù)模型，設(shè)計泡一杯最佳口感茶水的步驟，為家人或朋友泡一杯最佳口感的茶，并錄制視頻．組織開展結(jié)題答辯和交流分享．

5 結(jié)語

STEAM理念的融入勢必會給數(shù)學(xué)建模教學(xué)帶來更多可探索的空間，數(shù)學(xué)建模活動能夠更加深入地與其他學(xué)科和實際生活聯(lián)系起來，促進學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)落地．本文基于課題學(xué)習(xí)的形式構(gòu)建了一個STEAM理念下的數(shù)學(xué)建模活動模式，以STEAM理念貫穿數(shù)學(xué)建模活動全程，并據(jù)此開發(fā)了教學(xué)案例，以期為中學(xué)數(shù)學(xué)建模活動的開展提供參考．