上聯下延，一以貫之：在結構和聯系中學習新知
——以“中心對稱和中心對稱圖形”課時教學為例*

石樹偉

(江蘇省揚州市廣陵區教研室 225006)

1 基本情況

1.1 授課背景

當前的數學教學零碎教零碎學現象嚴重，學生學到的都是碎片化的數學知識，不利于知識的記憶和存儲、提取和運用，不利于數學核心素養的形成．因此，凸顯知識整體性的單元教學應運而生．但梳理相關文獻發現，當前單元教學的研究多關注價值意義分析、整體目標設計，課時實施則涉及較少或語焉不詳，少量的所謂單元教學案例多是幾節課連上或在一節課時間內大容量、高強度地灌輸全單元重要知識．然而在相當長的一段時間內，數學課堂教學必須面對分課時實施的問題．為解決課時教學如何凸顯知識整體性的問題，筆者提出“課時教學應力求上聯下延、一以貫之，讓學生在結構和聯系中學習新知”[1]的教學主張，并在“中心對稱和中心對稱圖形”的課時教學中進行了公開教學嘗試．

1.2 學情分析

施教對象為區屬公辦初中八年級學生，學生數學基礎一般，學業水平參差不齊，部分學生抽象思維能力較弱，本節內容的教學需要更多的實例觀察、動手操作等直觀形象手段的參與．

1.3 內容分析

“中心對稱和中心對稱圖形”是蘇科版初中數學教材八年級下冊第9章《中心對稱圖形——平行四邊形》的第2節內容[2]，是在學習了第1節“圖形的旋轉”后繼續探究旋轉特例的自然生長，后續學習的第3節“平行四邊形”又是繼續探究中心對稱特例的自然延伸，教材教學內容的安排體現了“從一般到特殊”的研究思路．同時，中心對稱也為后續平行四邊形的研究提供了圖形變換的視角和工具．

1.4 教學目標

(1)了解中心對稱和中心對稱圖形的概念，掌握中心對稱的性質，并能畫一個簡單幾何圖形關于一點對稱的圖形；(2)經歷中心對稱和中心對稱圖形概念的形成過程，發展數學抽象素養，感受數學美；(3)經歷本節知識的發生發展過程，形成相應的知識結構，感悟積累“從一般到特殊考察特例”“概念是基礎和核心”等數學研究思路和經驗．

2 課例簡錄

2.1 板塊一：從旋轉到中心對稱

問題1請你用數學的眼光觀察幾幅揚州剪紙(圖1)，并用數學的語言介紹這幾幅剪紙作品．

圖1 揚州剪紙

設計意圖引導學生用旋轉變換的視角分析這些剪紙作品，復習旋轉的同時為發現、研究旋轉的特例——中心對稱提供直觀素材．

問題2旋轉、軸對稱都是圖形變換方式，過去我們是如何研究旋轉和軸對稱的？

設計意圖師生共同回顧旋轉和軸對稱的研究思路，揭示圖形變換的一般研究路徑：實例→概念→性質→應用→整體視角(即軸對稱圖形或中心對稱圖形)，為中心對稱的學習規劃路徑．

問題3研究一個數學對象我們一般會繼續考察它的特例，如一般軸對稱研究后，我們繼續研究了線段中垂線、角平分線、等腰三角形等特殊軸對稱圖形．結合剪紙作品思考，如果繼續研究旋轉，我們可能會研究什么？旋轉有哪些特例？

設計意圖引導學生結合實例(剪紙作品)研究旋轉的特例——繞旋轉中心旋轉180°的情況，揭示中心對稱課題，體會旋轉與中心對稱之間“一般與特殊”的關系，把中心對稱置于旋轉變換的整體結構體系之中．

2.2 板塊二：研究中心對稱

(1)從實例到概念

問題4再看雙魚剪紙(圖2)，請用旋轉變換的視角介紹一下這幅作品．

圖2 雙魚剪紙 圖3

問題5先操作：①用一張透明紙覆蓋在圖3上，描出四邊形ABCD；②用大頭針釘在點O處，將四邊形ABCD繞點旋轉180°，你有什么發現？

問題6你能歸納一下中心對稱的概念嗎？

設計意圖從生活現實到數學現實，從觀察分析到動手操作，讓學生從實例中分析中心對稱的本質屬性，進而歸納中心對稱的概念，結合圖形介紹對稱中心、對應點等概念，讓學生經歷概念的形成過程．

(2)從概念到性質

問題7在圖3中，分別連結關于點O的對稱點A和A′，B和B′，C和C′，D和D′，你發現了什么？

問題8如何說明你的發現是正確的？

設計意圖讓學生在操作的基礎上，猜想“成中心對稱的兩個圖形中，對應點的連線經過對稱中心，且被對稱中心平分”，并回歸中心對稱的概念說明猜想的正確性，從而得到中心對稱的性質．

(3)從性質到應用

問題9如圖(圖略)，①畫出點A關于點O對稱的點A′；②畫出線段AB關于點O對稱的線段A′B′；③畫出與△ABC關于點O對稱的△A′B′C′．

設計意圖從簡單到復雜，應用中心對稱性質作中心對稱圖形，鞏固中心對稱性質．

2.3 板塊三：整體視角看中心對稱

問題10由圖4中的兩幅圖你想到了什么？軸對稱與軸對稱圖形之間有什么區別和聯系？

圖4 軸對稱與軸對稱圖形

設計意圖問題逐步出示，通過列表回顧軸對稱與軸對稱圖形之間的區別與聯系，為后面研究中心對稱與中心對稱圖形提供類比對象．

問題11類似地，存在中心對稱圖形嗎？請你舉例．

問題12什么是中心對稱圖形？中心對稱與中心對稱圖形有什么區別與聯系？

問題13觀察下列圖形(圖略)，哪些是中心對稱圖形？

設計意圖學生類比軸對稱圖形自己尋找中心對稱圖形實例，進而自主歸納中心對稱圖形概念及中心對稱與中心對稱圖形的區別和聯系．

2.4 板塊四：從中心對稱到……

圖5

問題14本節課你有哪些收獲？還有什么困惑或還想知道什么？

問題15如圖5，已知△ABC和AC邊中點O，如何畫△ABC關于點O對稱的三角形？動手畫一畫，畫成后是一個什么圖形？

設計意圖通過畫△ABC關于點O對稱的圖形，既鞏固復習中心對稱的概念和性質，又可以自然引出下面即將研究的中心對稱的特例——平行四邊形．

問題16我們是如何研究中心對稱的？你有什么體會和感悟？

設計意圖通過問題引導學生反思研究歷程，體會圖形變換主線共同的研究思路：宏觀上從一般到特殊，不斷考察特例，微觀上遵循“實例→概念→性質→應用→整體視角”的路徑，感悟圖形變換內容概念學習的重要性，概念是研究性質的基礎，而性質又是應用的基礎．通過上述三個問題的交流，板書形成如圖6所示的知識結構．

圖6 中心對稱的上聯下延板書

3 課例啟示

3.1 上聯下延形成知識結構

《義務教育數學課程標準(2011年版)》在教學建議中提出：數學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性，體會對于某些數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解．[3]因此，每一節課的教學要力求上聯下延，讓學生明晰今天所學習的知識從哪里生長而來，又向哪里延伸而去，明晰知識的來龍去脈，讓學生在一個知識結構體系中學習每一個新知．

上聯下延的關鍵是分析、找準知識的“生長點”與“延伸點”．如“中心對稱和中心對稱圖形”課例，宏觀上，中心對稱是旋轉的特例，而平行四邊形又是中心對稱的特例，因此，中心對稱的知識“生長點”是旋轉，知識“延伸點”是平行四邊形，從而形成“旋轉→中心對稱→平行四邊形”宏觀知識結構；微觀上，實例是中心對稱概念來源，中心對稱概念是其性質的基礎，性質又是其應用的基礎，從而形成“實例→概念→性質→應用”微觀脈絡線索．

上聯下延的類型一般有兩種．一種是“瞻前顧后”，即知識與其“生長點”“延伸點”之間呈遞進關系，前面的知識是后面知識的邏輯基礎，如旋轉、中心對稱、平行四邊形三個知識之間的關系，單項式乘法、多項式乘法、完全平方公式三個知識之間的關系等；另一種是“左顧右盼”，即知識與其“生長點”“延伸點”之間呈并列關系，如線段中垂線、角平分線和等腰三角形這三個特殊軸對稱圖形之間的關系．

3.2 一以貫之強化思想聯系

《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確指出了數學學科的課程性質：數學是研究數量關系和空間形式的一門科學．數學源于對現實世界的抽象，基于抽象結構，通過符號運算、形式推理、模型構建等，理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律．[4]這里清晰闡明了數學學科的研究對象及其來源、過程與方法以及研究結果和作用，從宏觀上指明了研究一個數學對象的基本套路、思想與方法，這也是貫穿數學每一個內容領域的一條主線．因此，數學教學應一以貫之，讓學生感悟貫穿于數學知識內容之中的、共同的數學研究基本思路和思想方法，強化知識之間的思想聯系．

一以貫之的關鍵是善于挖掘蘊含于數學知識內容之中的、共同的一般觀念和思想方法，充分發揮先行組織者作用，善于類比．如“中心對稱和中心對稱圖形”課例，“旋轉→中心對稱→平行四邊形”的宏觀知識結構中蘊含著“從一般到特殊”這個一般觀念，與八上《軸對稱圖形》一章“軸對稱→線段中垂線、角平分線、等腰三角形等特殊軸對稱圖形”的宏觀研究思路是一脈相承的；中心對稱與圖形的旋轉、軸對稱的學習一樣，微觀上都遵循“實例→概念→性質→應用”的研究路徑，凸顯了概念的基礎和核心地位．因此，“中心對稱和中心對稱圖形”課例在思想方法上一以貫之，通過類比繼續貫徹執行軸對稱、旋轉的研究思路，使蘊含于其中的一般觀念和思想方法得以再次應用、強化和明晰．

3.3 兩者結合落實上聯下延、一以貫之

上聯下延形成的知識結構是明線，一以貫之強化的思想聯系是暗線．思想聯系本質上是對數學知識結構更高層次的抽象概括和更深層次的理解總結，一以貫之的思想聯系蘊含于上聯下延的知識結構之中；反過來，一以貫之的思想聯系又是上聯下延知識結構形成的指導思想，指引上聯下延知識結構的形成．兩者緊密結合可以保證上聯下延、一以貫之的落實．如“從一般到特殊”的一般觀念蘊含于“旋轉→中心對稱→平行四邊形”的知識結構之中；反過來，教師通過問題串引導學生在一般觀念“從一般到特殊”的指引下探究旋轉的特例，從而生長出中心對稱知識．

上聯下延形成知識結構，一以貫之強化思想聯系，兩者緊密結合，可以增強數學知識的整體性和關聯性，有利于發揮結構和聯系的力量，揭示數學知識本質，增強知識的遷移應用價值，促進學生知識理解和應用能力的提升，從而促進數學學科核心素養的落實．