對一道2022年全國高考試題的探究與思考

張 鵠

(湖北省武漢市第二中學 430010)

孔 峰

(湖北省武漢市教育科學研究院 430022)

2022年高考數學全國乙卷理科第21題是一道函數與導數的壓軸題．題設中函數結構簡潔明了，是由基本的指數函數與對數函數模型整合而成；設問內容更是司空見慣，是師生常見的切線方程求解和已知零點個數求參數的問題類型．為此，筆者就該題的解答情況對即將進入新高三的學生進行了問卷，發現大部分學生對第(2)問不知從何處入手分析．這讓筆者在思考，如何幫助學生透過試題表象找準切入點，進而對“冰冷美麗”的試題進行一番“火熱”的思考．下面，以美籍匈牙利裔著名數學家波利亞的“怎樣解題”表為指引，開啟我們的探究思考過程．

1 基于“怎樣解題”表的試題探究

1.1 理解題目

題目1已知函數f(x)=ln(1+x)+axe-x，其中a∈R．

(1)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)若f(x)在區間(-1,0)和(0,+∞)內各恰有一個零點，求a的取值范圍．

問題1題目1第(2)題是一個什么問題？

預設 這是已知函數零點個數求參數范圍的問題．

問題2條件是什么？

預設f(x)在(-1,0)和(0,+∞)內各有一個零點．

1.2 擬定方案

問題3你以前見過它嗎？或者你見過以稍有不同的形式呈現的類似題目嗎？你知道與它有關的題目嗎？

預設 我們見過一道與它類似的題目，即2017年新高考全國Ⅰ卷理科第21題：

題目2已知函數f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)若函數f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．

問題4題目2的第(2)題與題目1的第(2)題有關，你能利用題目2的求解方法解答題目1的問題嗎？

預設 形式上類似．不過，題目1限定了零點存在的區間，即兩個斷開的區間．

問題5為什么不把兩個區間合成一個區間(-1,+∞)？

預設 合成一個區間就暴露了與題目2的聯系．命題者也許為了推陳出新，通常會在問題形式上設計新意，但萬變不離其宗．

問題6為什么要在x=0處將區間斷開？這里有沒有命題者想要表達而又有所隱藏的信息？能否分析一下？

預設f(x)在x=0處的函數值等于0，即0是函數f(x)的零點．若把0放在區間內，那就有3個零點，與題意不符．另外，函數f(x)在(-1,+∞)上的圖象穿過原點，意味著滿足題意的圖象特征可能如下面圖1和圖2所示．

圖1 圖2

問題7在上面的圖象中，你能判斷題目1第(2)問對應的圖象是哪一個嗎？把握函數圖象特征一般應從哪些方面進行分析？

預設 就本題而言，可以從定義域、值域、單調性、極值以及零點等方面分析．由于f(0)=0，f′(0)=1+a均存在，為使f(x)的圖象在區間(-1,0)及(0,+∞)上各恰好穿過x軸一次，函數f(x)的變化情況只能如圖1和圖2所示．為了進一步找到題設函數對應的圖象，還可以先動態定性研究較容易的局部圖象特征：

首先，基于零點附近兩側的函數值要么為正，要么為負．于是，我們不妨先研究x=0右側的情況．因為當x>0時，ln(1+x)>0，xe-x>0，所以，若a≥0，則f(x)>0，與題意不符．從而a<0．

問題8借助圖1，你能分析一下函數f(x)在(-1,0)及(0,+∞)上各有一個零點的含義嗎？

預設 函數f(x)在(-1,0)上先增后減，在(0,+∞)上先減后增．這需要函數f(x)在兩個區間上各有一個極值點．這樣，把零點轉化為極值點來討論，體現了數學的轉化與化歸思想．

問題9你能找到這兩個極值點嗎？又準備采用什么工具和方法？你之前有過這方面的經驗嗎？

預設 記得之前是這樣做的，先對函數求導，若導函數的零點可以直接求出，就接著討論這些零點附近兩側的導函數符號；若不能，則利用函數零點存在定理將零點限定在適當區間，有時為找到這樣的區間，可能還會用到找點技巧如借助函數不等式進行放縮的方法．

分析到這里，我們就可以著手解決問題了．

1.3 實施方案

若a≥0，則當x>0時，ln(1+x)>0，axe-x≥0，從而f(x)>0，與題意不符．

若a<0，則對φ(x)求導得，φ′(x)=ex-2ax，當x>0時，因為ex單調遞增，2ax遞減，所以φ′(x)遞增，從而φ′(x)>φ′(0)=1>0，因此φ(x)在(0,+∞)上遞增，φ(x)>φ(0)=1+a．

若-1≤a<0，則φ(x)≥0，f′(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上遞增，f(x)>f(0)=0，也與題意不符．

綜上可得，a<-1．

1.4 回顧

問題10你能檢驗一下這個結果嗎？有沒有直觀的驗證方法？

預設 能．畫出函數f(x),φ(x),φ′(x)的圖象，并結合圖3～圖5進行分析驗證發現上述過程正確．

圖3 圖4 圖5

問題11你能結合圖象給出新的方法嗎？

預設 解法2，仍然對a進行分類討論．

若a≥0，則當x∈(-1,0)時，φ(x)>0，f′(x)>0，f(x)遞增，f(x)

若-1≤a<0，則當x>0時，φ′(x)>0，φ(x)遞增，φ(x)>φ(0)=1+a≥0，即f′(x)>0，f(x)遞增，從而f(x)>f(0)=0，f(x)在(0,+∞)內無零點，不符合題意．

綜上，a<-1．

問題12你能借助圖象從新的角度解釋題設條件的含義嗎？

預設 所謂函數f(x)的零點，就是函數f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標．有時為便于利用圖象尋找交點，也可以轉化為兩個函數的圖象之間的交點問題．因此，分別構造函數g(x)=ln(1+x)，h(x)=-axe-x，再畫出這兩個函數的圖象(圖6)．可以看出，除原點外，這兩個函數圖象若還能再有兩個交點，需要考慮原點附近圖象特征及變化趨勢．從而又轉化為兩個函數在原點處的切線斜率-a與1的大小比較，結合圖象不難得到，當-a>1即a<-1時，滿足題意．

圖6 圖7

問題13你還能借助圖象從切線的角度再次給出恰有兩個零點的新的解釋嗎？

預設 構造兩個新的函數m(x)=exln(1+x)及y=-ax．f(x)在(-1,0)和(0,+∞)上各有一個零點?方程exln(1+x)=-ax在區間在(-1,0)和(0,+∞)內各有一個實根(圖7)．

問題14你能對上面的探究過程作個總結嗎？

預設 借助函數圖象進行直觀分析，從局部入手，把握特殊點、關鍵點處函數性態的刻畫，然后再拓展到整體全面的分析判斷．

2 若干思考

2.1 借助波利亞“怎樣解題表”解題

“怎樣解題表”的4個步驟和程序組成了一個完整的解題教學系統．當我們對一個比較難的高考導數壓軸題按照波利亞“怎樣解題表”進行解答時，會發現在由淺入深的問題串引導下，能夠讓分析逐漸進行下去直至順利完成解答過程．因此，我們需要加深對波利亞“怎樣解題表”的理解和掌握．

2.2 多角度深入研究高考試題

高考全國卷導數壓軸題盡管年年求新求異，但我們透過近幾年試題仍然可以發現，高考命題的原則是整體穩定，適度創新．命題始終圍繞導數部分的主線內容，聚焦學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用，強調基礎性、綜合性；注重數學本質、通性通法，淡化解題技巧，突出數學學科核心素養的考查．

在高三復習備考教學中，要深入研究近幾年高考試題，并對其作系統全面的梳理與研究，把握試題的變化趨勢，挖掘高考試題的潛在功能價值；積極引導學生從知識的本質出發，對導數壓軸題進行多角度剖析；運用函數圖象等直觀想象分析工具，對定義區間邊界點或區間內特殊點附近的圖象進行微觀分析，利用局部到整體、特殊到一般等思想方法多角度領悟題目的隱含條件，充分暴露命題意圖，簡化思維過程，優化解題方法，降低運算難度．從而在分析問題的過程中提升學生的直觀想象、邏輯推理等學科核心素養．