考慮停車位置和步行成本的雙起點單訖點通勤均衡分析

唐廷彩, 姜 銳

(北京交通大學交通運輸學院, 北京 100044)

通勤出行是指家和工作地之間的交通出行, 一般發生在早上上班和晚上下班的兩個時間段, 在時間和空間上具有一定的恒定性, 因此需求比較固定, 而當需求大于道路通行能力的供給時, 就會發生擁堵. 早晚高峰的通勤擁堵在我們的城市出行中時常上演, 嚴重影響了城市的運轉效率和宜居性.

通勤擁堵一般發生在道路通行能力有限的瓶頸路段. 1969 年, Vickrey[1]首次提出了描述通勤者出發時刻選擇的經典瓶頸模型, 通過研究瓶頸路段的動態交通分配分析了通勤者的早高峰出行行為. Smith[2]和Daganzo[3]證明了經典瓶頸模型均衡解存在的唯一性. 由于經典瓶頸模型的求解過程簡單易行, 許多學者都基于此模型進行通勤問題的研究, 包括拓展經典瓶頸模型假設條件(如將同質出行者拓展為異質出行者), 考慮不同的應用場景(如拼車共乘、瓶頸通行能力可變)以及探討通勤交通管理措施(如擁擠收費)的效果[4-6]. 隨著研究的深入, 人們發現通勤出行不僅存在由排隊擁堵造成的出行時間浪費, 還存在通勤車輛停車難的問題. Arnott等[7]考慮了停車后需要步行到達工作地點且步行時間正比于停車位與工作地距離的情形, 建立了停車位置和出發時間聯合選擇的廣義出行成本函數, 并分析了各種收費措施的管理效果.Zhang 等[8]研究了考慮停車位置選擇的早晚高峰通勤問題. Shoup[9]綜述了1927—2001 年的多項研究, 指出停車巡航(尋找停車位)是出行過程中不可忽視的問題. Liu 等[10]在網絡層面上研究了停車巡航對于早高峰通勤的影響. Qian 等[11-12]分析了存在兩個距離工作地點不同的停車場且近距離停車場車位不足情況下的停車管理措施. Zhang 等[13]研究了停車位使用許可證的交換對交通系統效率的影響. Zhang 等[14]比較了早晚高峰通勤中各種停車收費措施的效果.Fosgerau 等[15]研究了停車費對道路擁擠的影響. Yang 等[16]和Liu 等[17]研究了停車場預訂的問題.

上述研究在考慮通勤停車時, 較少涉及多起點單訖點通勤問題. 實際上, 由于個人的經濟水平、喜好等因素, 通勤者的居住地(出發地)通常比較分散, 而工作地(目的地)往往位于市中心, 相對集中. 因此, 研究多起點單訖點的通勤出行對于現實更具有指導意義. Liu 等[18]和Wang 等[19]在多起點單訖點的通勤網絡上考慮了通勤過程中的停車問題, 主要分析了工作地停車位數量有限引起的通勤者的競爭對交通系統的影響, 并提出了改善交通系統效率的策略,但該工作只關注停車位數量有限的問題, 忽略了停車位到工作地的步行時間. 而在現實生活中, 步行時間成本往往是出行總成本中不可忽視的一部分, 會引起通勤者對步行時間短的停車位的競爭, 從而影響高峰期出行行為. 因此, 本工作在單起點單訖點研究[7]的基礎上, 考慮了雙起點單訖點的通勤網絡, 通過停車位置函數引入來自兩處不同居住地的通勤者對于停車位的競爭, 基于經典瓶頸模型分析了停車位競爭(由停車位到工作地的距離引起的通勤者的競爭)影響下的早高峰通勤的均衡狀態.

1 問題描述

本工作研究不同居住地的兩組通勤者分別經含有一個有限通行能力瓶頸的道路到達停車場停車, 然后步行前往工作地點的早高峰通勤問題, 其中兩組通勤者的出行路線沒有重疊, 工作地點位置相同, 共用一個停車場, 且假定停車場位于工作地點附近, 停車位從工作地點開始向外線性延伸(見圖1). 另外, 不考慮停車位的收費問題, 為了節約步行時間, 通勤者都偏向于選擇距離工作地點近的停車位.

圖1 雙起點單訖點通勤網絡示意圖Fig.1 Sketch of two-to-one commuting network

通勤者都期望在上班時刻t*準時到達工作地點, 早于或遲于該時刻的成本, 稱為早到或遲到成本. 此外, 通勤者還會承擔在途出行時間造成的出行時間成本以及由停車位步行至工作地點過程中產生的步行時間成本. 通勤者需要在居住地選擇一個合適的時間出發, 以使得早高峰通勤產生的各項成本之和(出行總成本)最小.t時刻通過瓶頸的第i組通勤者的出行總成本可表示為

式中:i= 1 表示第一組通勤者,i= 2 表示第二組通勤者;αi為第i組通勤者的單位出行時間價值;βi為第i組通勤者的單位早到時間價值;γi為第i組通勤者的單位晚到時間價值;λi為第i組通勤者的單位步行時間價值;Ti(t)為第i組t時刻通過瓶頸的通勤者的出行時間;wi為第i組通勤者通過一個停車位花費的步行時間;ni(t)為第i組通勤者中t時刻通過瓶頸的通勤者的停車位置. 式(1)等號右邊第一項為出行時間成本(由于出行過程中的自由流時間對結果不會造成本質影響, 故不考慮自由流時間, 假設為0), 第二項為早到成本, 第三項為晚到成本,第四項為步行時間成本. 由于通勤者偏向于選擇距離工作地點近的停車位, 且停車位從工作地點開始向外線性延伸, 因此, 停車位編號ni(t)與通勤者通過瓶頸的序數相同. 高峰期時, 道路的瓶頸一直滿負荷運行, 故有

式中:si為第i組通勤者經過的瓶頸的通行能力;Ni為第i組通勤者的出行總人數;tsi為第i組通勤者的高峰期開始時刻.

2 均衡分析

當達到均衡狀態時, 每組通勤者都擁有相同且最小的出行總成本, 每個通勤者都無法通過單方面地改變其出發時間來降低出行總成本, 即有

式中: ～t為通勤者的出發時刻.

由于兩組通勤者共用一個停車場, 二者的均衡態相互影響.tei表示早高峰最后一個通勤者到達停車場的時刻(即第i組通勤高峰的結束時刻), 則根據tsi和tei的大小關系,兩組通勤高峰可呈現4 種不同的情形: ①情形A,ts1＜ts2＜te2＜te1, 代表第一組通勤高峰先開始后結束; ②情形B,ts1＜ts2＜te1＜te2, 代表第一組通勤高峰先開始先結束; ③情形C,ts2＜ts1＜te1＜te2, 代表第二組通勤高峰先開始后結束; ④情形D,ts2＜ts1＜te2＜te1, 代表第二組通勤高峰先開始先結束. 若進一步將每組通勤者中準時到達工作地的通勤者到達停車場的時刻與另一組第一個和最后一個通勤者到達停車場的時刻進行比較, 因為tsi ＜toi ＜tei(toi為第i組準時到達上班地點的通勤者通過瓶頸的時刻), 故上述4 種情形又可進一步分為: ①情形A1,ts1＜to1＜ts2＜to2＜te2＜te1; ②情形A2,ts1＜ts2＜to1,to2＜te2＜te1; ③情形A3,ts1＜ts2＜to2＜te2＜to1＜te1; ④情形B1,ts1＜to1＜ts2＜to2＜te1＜te2; ⑤情形B2,ts1＜to1＜ts2＜te1＜to2＜te2; ⑥情形B3,ts1＜ts2＜to1,to2＜te1＜te2; ⑦情形B4,ts1＜ts2＜to1＜te1＜to2＜te2; ⑧情形C1,ts2＜to2＜ts1＜to1＜te1＜te2; ⑨情形C2,ts2＜ts1＜to1,to2＜te1＜te2; ⑩情形C3,ts2＜ts1＜to1＜te1＜to2＜te2;情形D1,ts2＜to2＜ts1＜to1＜te2＜te1;情形D2,ts2＜to2＜ts1＜te2＜to1＜te1;情形D3,ts2＜ts1＜to1,to2＜te2＜te1;情形D4,ts2＜ts1＜to2＜te2＜to1＜te1. 情形A2 中ts2＜to1,to2＜te2表示to1與to2均大于ts2、小于te2, 且to1與to2大小關系不影響所在的情形分類, 情形B3、C2、D3 亦類似. 因為情形C、D 和情形A、B 呈對稱性, 所以接下來只討論情形A、B.

2.1 均衡態出發率、到達率

圖2～3 給出了情形A、B 的均衡態, 其中包括兩組通勤者的出發曲線、通過(通過瓶頸, 即到達停車場)曲線以及到達(工作地)曲線, 需要注意第一組通勤者與第二組通勤者高峰期均衡狀態對應圖中橫縱坐標的尺度并不一致. 在情形A 中, 第二組的通勤高峰均包含在第一組通勤高峰中. 因此, 第一組通勤者的出發曲線由4 段直線構成, 到達曲線由3 段直線構成; 第二組通勤者的出發曲線由2 段直線構成, 到達曲線為一條直線. 而在情形B 中, 兩組通勤高峰均只有部分重疊, 因此兩組通勤者的出發曲線均由3 段直線構成, 到達曲線均由2 段直線構成.

下面以情形A1(見圖2(a))為例進行詳細說明. 在情形A1 中, 第一組通勤者的出發曲線由4 段直線構成. 在ts1＜～t ＜～to1(～toi為第i組準時到達上班地點的通勤者的出發時刻)出發的通勤者將會早到, 在～to1＜～t ＜～t1s2出發的通勤者將會遲到; 在這兩個時段出發的通勤者到達停車場時, 尚未有第二組通勤者到達停車場. 在～t1s2＜～t ＜～t1e2出發的通勤者也會遲到, 且當他們到達停車場時, 第二組通勤者會以s2的到達率到達停車場. 在～t1e2＜～t ＜te1出發的通勤者會遲到, 但當他們到達停車場時, 第二組通勤者已全部到達停車場.

圖2 情形A 均衡態Fig.2 The equilibrium states in situation A

第二組通勤者的出發曲線由兩段直線構成, 其中在ts2＜～t ＜～to2出發的通勤者將會早到,在～to2＜～t ＜te2出發的通勤者將會遲到. 在這兩個時段出發的通勤者到達停車場時, 第一組通勤者一直以s1的到達率到達停車場. 因此, 第二組通勤者的到達工作地曲線為一條直線.

對于兩組通勤高峰, 通勤者的通過曲線比較簡單, 分別為斜率等于各自瓶頸容量的直線.

圖3 情形B 均衡態Fig.3 The equilibrium states in situation B

易知, 在該時段內

將式(6)代入式(5), 可解得

由于對應時段內的累積出發率和停車場的累積到達率相等,

兩邊對t求導, 可得

兩邊對t求導, 可得

聯立式(6)和(11), 可解得

表1 和表2 分別列出了情形A 和B 均衡態的出發率與到達率.

表1 均衡態出發率Table 1 Departure rates under equilibrium states

表2 均衡態到達率Table 2 Arrival rates under equilibrium states

2.2 均衡態關鍵時刻

在情形A 中, 第一組在ts1時刻出發的通勤者僅有早到成本,

在te1時刻出發的通勤者有遲到成本和步行成本,

第二組在ts2時刻出發的通勤者有早到成本和步行成本,

在te2時刻出發的通勤者有遲到成本和步行成本,

當達到均衡狀態時,

同理, 對情形B, 可解得

其中,ξ=(β2+γ2)(β1+γ1+(λ1+γ1)w1s2)-(β1+γ1)(λ2-β2)w2s1,η=β1+γ1+(λ1+γ1)w1s2.

其余關鍵時刻的求解原理類似, 文中不再列出.

2.3 分析討論

根據ts1、ts2、te1、te2、to1、to2的表達式, 可求得所有情形的邊界的表達式. 例如, 以情形A為例, 令to1=ts2, 可求得A1 和A2 邊界的表達式如下:

其余邊界表達式可類似求出, 文中不再列出.

觀察關鍵時刻表達式, 可得以下命題.

命題1 當兩組通勤者步行速度相等時, 各組準時到達上班地點的通勤者通過瓶頸的時刻相同.

證明 將w1=w2代入每種情形下的to1和to2的表達式, 可得ts2＜to1＜te2,ts1＜to2＜te1且to1=to2, 由此得證.

推論1 當兩組通勤者的步行速度相等時, 有且只有一個停車位置xo可以滿足準時到達上班地點的要求.

基于推論1, 可以考慮設計停車收費策略, 在該位置收取最大停車費, 而離該位置越遠, 收費越低. 在將來的工作中, 我們將分析該停車收費策略的有效性.

命題2 在兩組通勤者同質(各時間價值相同)且步行速度相同的情況下, 兩組通勤出行人數和通行能力不同時, 只有可能出現情形A2 和情形C2.

命題3 在兩組通勤的出行人數和通行能力相同的情況下, 兩組通勤者異質或步行速度不同時, 只有可能出現情形B、D.

證明 根據情形A 和情形B 中ts1、ts2、te1、te2的表達式, 在N1=N2、s1=s2的情況下, 當β1＜β2或γ1＞γ2或λ1＞λ2或w1＞w2時, 可推導得出ts1＜ts2＜te1＜te2, 即情形B; 當β1＞β2或γ1＜γ2或λ1＜λ2或w1＜w2時, 可推導得出ts2＜ts1＜te2＜te1, 即情形D, 由此得證.

最后, 需指出由于和步行速度相比, 車速往往較快, 所以本工作模型忽略了尋找停車位的巡航時間. 在車速和步行速度相差不大的情形下, 則需要考慮尋找停車位的巡航時間. 對于向外線性延伸的停車場, 若假定尋找停車位的巡航時間正比于停車位至工作地的距離, 則可將式(1)修改為

3 算例分析

本章主要討論兩組通勤者時間價值相同且兩條道路的瓶頸通行能力相同時兩組通勤者步行速度與出行人數不同對均衡態的影響. 參考文獻[7], 參數設置為:α1=α2= 6.4 $/h,β1=β2= 3.9$/h,γ1=γ2= 15.21$/h,λ1=λ2= 6.4$/h,s1=s2= 120 veh/h,w2= 5 s.

根據邊界條件, 畫出分區圖(見圖9和10).

圖4 均衡態分區圖(w1 ≤w2)Fig.4 Diagrams of equilibrium states (w1 ≤w2)

需指出, 若將第二組通勤者的參數w2= 5 s 視作正常步行速度(5 km/h)對應的參數, 則1.25 s ≤w1≤10 s 可以視作第一組通勤者參數的合理取值區間, 對應于2.5～20 km/h. 其中,w1＜w2可理解為第一組通勤者有其他代步工具(例如自行車、滑板車、平衡車等), 因此步行速度大于第二組通勤者, 從而w值減小; 而w1＞w2則可理解為第一組通勤者需要攜帶大件物品, 因此步行速度小于第二組通勤者, 從而w值增大.

圖5 均衡態分區圖(w1 ＞w2)Fig.5 Diagrams of equilibrium states (w1 ＞w2)

由分區圖可看出, 當w1＜w2時, 會出現情形A、C、D; 當w1＞w2時, 會出現情形A、B、C. 隨著w1的增大, 情形D 的區域減小, 情形B的區域增大. 這是因為當w1增大時, 第一組通勤者的步行成本增大. 為了減小步行成本, 第一組通勤者傾向于提前出發以獲得較近的停車位, 其通勤高峰提前. 當w1＜w2時, 隨著w1的增大, 情形D 中的情形D3 逐漸占據主導;當w1＞w2時, 隨著w1的增大, 情形B 中的情形B2 逐漸占據主導. 此外, 直線N1=N2一直處于情形D 或情形B 所在的區域中, 說明在只有兩組通勤者的步行速度不同的情況下, 只會存在情形B和情形D. 這與命題3 相符. 當w1=w2時, 只會出現情形A2和情形C2. 這與命題2 相符.

對于情形A、C, 當w1＜w2時, 隨著w1的增大, 情形A、C 所在的區域增大; 當w1＞w2時, 隨著w1的增大, 情形A、C 所在的區域減小. 更具體的, 在w1＜w2時, 情形A從A3 逐漸過渡到A2, 情形C從C1逐漸過渡到C2; 在w1＞w2時, 情形A 從A2 逐漸過渡到A1,然后情形A完全消失; 情形C 從C2 逐漸過渡到C3.

4 結束語

本工作研究了雙起點單訖點的通勤網絡中的早高峰通勤問題. 考慮了來自兩處不同居住地的通勤者沿不同道路到達同一個工作地上班并在同一個停車場停放車輛的情形. 基于瓶頸模型, 引入停車位置函數, 分析了兩組通勤者的早高峰出行行為. 根據兩組通勤者通勤高峰開始及結束的早晚關系, 均衡狀態可分為4 種情形. 進一步考慮通勤者準點到達時刻, 可將這4種情況分為14 種子情形. 我們推導得出了這些情形下兩組通勤者的出發和到達曲線. 最后, 算例分析考慮兩組通勤者時間價值相同且兩條道路的瓶頸通行能力相同的情形, 分析了隨著第一組通勤者步行速度的減小, 各種情形均衡態對應區域的變化情況.

在將來的工作中, 可將該模型推廣至多起點單訖點場景, 還可在此模型基礎上分析交通管理政策的作用, 例如擁擠收費、停車收費、錯峰上班等. 此外, 還可以考慮其他實際因素的影響, 例如, 通行能力的隨機性, 通勤者的異質性, 通勤模式的多樣性等.