電荷比特的超強藕合實現及量子態轉移

俞 靜, 周 沫, 黃堂友, 郝敏佳, 陳 璽

(上海大學理學院, 上海 200444)

量子計算領域始于19 世紀80 年代. 基于量子的相干疊加和糾纏特性, 量子計算被認為是有望延續摩爾定律[1], 克服經典計算能力瓶頸的新型計算模式[2]. 多年來, 實現量子計算的實驗平臺呈多樣性發展, 如超導量子電路[3-7]、離子阱體系[8-9]、光學系統[9-11]等, 其中超導量子電路因其高集成性、可操控性和設計靈活性, 成為了實現量子計算的主流平臺. 用于量子計算的超導電路系統可以分為兩類: 一類是由約瑟夫森結(Josephson junction, JJ)構成的宏觀電路[12-13], 具備高非諧性, 可以模擬原子系統的能譜, 構成量子計算的基本單元, 即量子比特; 另一類是由線性元件(電容器、電感器)組成的微波諧振子[14-16], 構成與量子比特相互作用的“光子源”.

超導量子電路平臺的快速發展推動了電路量子電動力學(circuit quantum electrodynamics, cQED)領域的研究[7,17], 使得人們能夠在宏觀量子系統中研究量子光學和量子信息處理. 首先, 與腔量子電動力學(cavity quantum electrodynamics, CQED)中使用的三維微波腔[18]不同, cQED 平臺中的諧振子是一維系統, 能夠實現更強的電磁場真空漲落. 其次, 由于cQED 系統結構和參數的可塑性強, 人們可以設計人造原子, 從而實現比自然原子更大的原子電偶極矩和磁偶極矩[19-20]. 因此, 在cQED 系統中, 通過將人造原子與諧振子耦合, 可以實現在自然系統中無法達到的光與物質耦合強度, 如超強耦合(ultra-strong coupling, USC)區間[19-22]、深度強耦合(deep-strong coupling, DSC)區間[23-24]等. 此外, 隨著光與物質耦合強度的不斷突破, 關于“人造原子與微波諧振腔之間是否存在基本的耦合極限”這一問題也受到了廣泛關注, 并迅速成為cQED 領域和量子光學領域的研究重點之一.

本工作圍繞如何在超導量子電路中, 實現光與物質的USC 這一問題展開研究. 首先, 研究了單個電荷量子比特, 即庫珀對盒子(Cooper-pair box, CPB)[3-4]與LC 諧振子耦合的超導電路, 并通過定義耦合比率來量化耦合強度與約瑟夫森能量和LC 諧振子阻抗的依賴關系. 其次, 通過優化目標函數, 給出了滿足子系統共振、耦合強度到達USC 區間所需的電路元件參數, 其中所有參數取值皆在cQED 實驗室的可行范圍內. 再次, 在此基礎上, 進一步研究了USC 的雙比特模型, 并提出該系統可作為非相干中介, 實現兩個Transmon 比特間的量子態轉移(quantum-state transfer, QST), 且在考慮一定耗散和退相干的影響下, 通過求解Lindblad 方程驗證了該QST 過程具有一定的抗噪性. 最后, 對研究結果進行了總結和展望.

1 模型與哈密頓量

圖1 所示為單量子比特超導電路模型. 它由一個LC 諧振子(紅色)通過電容器Cc(綠色)與CPB 系統(藍色)耦合組成, 其中振蕩電路(LC 諧振子)由電容器Cr與電感器Lr并聯構成; CPB 包含了電容器CJ和約瑟夫森結EJ. 為了控制電路中的庫珀對數目, 將電壓源Vg通過門電容Cg與約瑟夫森結耦合. 此外,ΦJ、Φr和Φ1分別為描述CPB 系統、LC 諧振子和接地電容Cp的分支磁通量, 并得到系統的拉格朗日量為

圖1 LC 諧振子(紅色)與單個CPB(藍色)通過電容器Cc(綠色)耦合的單量子比特超導電路示意圖Fig.1 Illustration for the one-qubit superconducting circuit where the LC resonator (red) coupled to the CPB (blue) through capacitor Cc (green)

式中,QJ和Qr分別表示CPB 系統與LC 諧振子的電荷量(QJ≡?L1/?˙ΦJ). 此外, 考慮CPB 系統的門電荷數ng= 0.5, 定義系統的有效約瑟夫森電容(～CJ)、諧振子電容(～Cr)、耦合電容(CJr)和門電容(CJg、Crg)分別為

本工作假定CPB 系統處于電荷區間, 且門電荷數ng= 0.5. 在這種情況下, CPB 系統低能級間的非諧性很高, 可以被有效近似為一個頻率為ωq的二能級系統, 即電荷量子比特[3], 其中ωq=EJ僅依賴于約瑟夫森能量. 同時, CPB 系統的庫珀對數算符可以表示為^nJ=(I+σx)/2, 其中I 是單位矩陣,σx為泡利矩陣. 在這種近似下, 式(9)的哈密頓量變為

式中, ～g=g/2 為CPB 系統與LC 諧振子之間的有效耦合強度. 需注意, 當～g很小時, 耦合項I(a+a?)可以被絕熱消除. 此時, CPB 和單模諧振子之間光與物質的相互作用由量子拉比模型描述, 即

然而, 隨著耦合強度～g的增加, 耦合項I(a+a?)將改變系統的動力學. 如圖2 所示: 當系統耦合強度～g/ωr∈[0,0.3]時, 系統處于微擾USC 區[27], 哈密頓量H1和HQRM的能譜高度重合; ～g/ωr∈[0.3,1]時, 系統處于非微擾USC 區間, 此時兩種模型的能譜不再重疊, 哈密頓量H1和HQRM將描述不同的物理現象. 本工作將致力于探索光與物質的耦合強度上限, 并實現子系統相互作用的USC 以及DSC. 因此, 本工作用哈密頓量H1而非HQRM描述CPB 系統和單模諧振子之間的相互作用.

圖2 哈密頓量H1 和HQRM 的能譜與耦合強度～g/ωr 的關系圖Fig.2 Energy spectrum of Hamiltonian H1 and HQRM as a function of coupling strength ～g/ωr

1.1 耦合強度

為了進一步研究耦合強度～g與電路物理參數之間的依賴關系, 并描述子系統(CPB 和LC諧振子)之間的共振情況, 定義耦合比率R為

分析比值γ可知, 當Cg、Cp?Cc、CJ時,γ近似為1. 此時, 式(14)中的耦合比率僅依賴于參數x, 即Rres≈x. 這意味著系統耦合比率將隨諧振子阻抗～Zr的增長而持續增加[28].

綜上所述, 在圖1 所示的單量子比特超導電路中, 耦合強度不存在基本極限. 當選取合適的電路參數(EJ、～Zr)時, 系統的耦合強度可以到達USC 區間, 甚至是DSC 區間.

為進一步研究單量子比特超導電路中耦合比率R和電路元件取值的依賴關系, 并驗證在上述計算中使用二能級近似的合理性, 本工作利用Python 語言的優化算法, 通過優化目標函數(objective function)來得到相應的優化數值解, 其中目標函數定義為

式中:ωq和〈e|^nJ|g〉是通過數值計算五能級CPB 系統獲得的;|g〉和|e〉分別是CPB 系統的基態和第一激發態;Δ±=ωq±ωr. 該目標函數能在維持子系統共振的情況下, 使得R不斷增長至最佳值. 同時在優化過程中對參數選取進行了限制, 以確保所得元件參數在目前cQED 實驗室的可行范圍內[29], 即電容C ∈[0.11,550]fF、電感L ∈[100,1000]nH、約瑟夫森結EJ∈2π[4,11]GHz.

基于上述優化程序可獲得耦合比率R與比值EJ/EC的依賴關系, 如圖3 所示, 其中藍色散點是由優化算法得到的數值結果, 而橘色散點是通過解析式(13)所得. 在計算過程中, 固定了電路中所有的電容器與電感器取值, 僅改變了約瑟夫森能量EJ. 由圖3 可見, 解析解和數值解之間具有高度一致性, 證實了本工作對CPB 系統施加二能級近似的合理性, 以及式(13)中耦合比值定義式的準確性. 此外, 由圖3 還發現, 當CPB 系統向電荷區間趨近時, 耦合強度不斷增加, 直至達到DSC 區間(R=2.92).

圖3 耦合比值R 與EJ/EC 的關系Fig.3 Relationship of coupling ratio R as a function of EJ/EC

圖4 在不同諧振子阻抗～Zr 下, 耦合比值R 與EJ/? 的關系Fig.4 Relationship of coupling ratio R as a function of EJ/? for different oscillator impedance

1.2 優化參數

通過最小化目標函數F1, 本工作獲得了實現單量子比特超導電路中, 子系統USC 所需的電路元件參數, 并且在優化過程中, 始終將元件的取值約束在實驗可行范圍內[29,32]. 表1 總結了電路元件取值, 以及相應的哈密頓量中的物理參數和比值, 其中CPB 系統與諧振子滿足共振條件ωr=ωq=2π×8.53 GHz, 且二者之間的耦合強度達到USC 區間. 需注意, 為了實現較大的耦合強度, 需要構造一個高阻抗諧振子, 但這會導致諧振子的電感非常大. 然而, 基于目前的超導技術, 通過構建一個約瑟夫森結鏈, 其有效電感可以達到L≤2.5 μH[32]. 這為本工作參數選取的合理性提供了理論支撐.

表1 單量子比特超導模型的電路參數以及相應的哈密頓量參數和比值Table 1 Circuit parameters and the Hamiltonian parameters/ratios of the one-qubit superconducting model

上述對于單量子比特超導電路模型的研究結果可以推廣至如圖5 所示(其中Φ0、Φr、ΦJ1和ΦJ2分別對應于通過電容器Cc0、LC 諧振子和2 個CPB 的磁通量)的雙量子比特超導系統,其哈密頓量可以表示為

圖5 LC 諧振子與2 個CPB 耦合的雙量子比特超導電路示意圖Fig.5 Schematic diagram of the two-qubit superconducting circuit where the LC resonator coupled to two CPB

式中:g?是第?個CPB 和LC 諧振子之間的耦合強度;g12是2 個CPB 之間的耦合強度. 本工作僅研究物質(CPB)與光(LC 諧振子)之間的耦合強度. 因此在探索雙比特系統時, 對優化問題進行了限制, 以抑制量子比特之間的直接相互作用, 即考慮2 個比特之間的耦合強度

表2 雙量子比特超導模型的電路參數以及相應的哈密頓量參數和比值Table 2 Circuit parameters and the Hamiltonian parameters/ratios of the two-qubit superconducting model

綜上所述, 通過解析和數值計算, 本工作證明了在電荷量子比特與LC 諧振子耦合的電路中, 耦合強度不存在基本上限. 通過增大諧振子阻抗和減小約瑟夫森能量, 可以在子系統共振的情況下, 到達USC/DSC 區間.

2 量子態的轉移

第1 節討論了實現CPB 系統與LC 諧振子USC 和DSC 所需的物理條件. 第2 節將進一步分析圖5 中雙CPB 模型的能譜特性, 并將此構造塊作為非相干中介(incoherent mediator)[33],以執行QST, 即將激發態從一個Transmon 系統, 通過非相干中介(雙比特USC 模型)轉移到另一個Transmon 系統上(見圖6).

圖6 實現QST 的示意圖Fig.6 Illustration of the QST protocol

首先, 運用二能級近似, 將式(17)中的兩個CPB 縮減為二能級系統, 得到中介系統的哈密頓量為

其次, 如圖6 所示, 考慮兩個Transmon 系統分別以耦合強度λ1和λ2與USC 中介通過電容器C2和C3耦合. 因此, QST 模型的總哈密頓量可以表示為

式中:ωk,m是第m個Transmon 系統的第k個能級的頻率;σk,mm=|km〉〈km|和^nm分別是Transmon 系統的投影算符和庫珀對數算符. 需注意, Transmon 系統的相對非諧性較低[34], 無法將其直接近似為一個二能級系統. 因此在哈密頓量HQST中, 會先考慮三能級Transmon 系統, 并假設系統的相對非諧性為αr,j= (ω12,m-ω01,m)/ω01,m=-0.096(ωαβ,m=ωβ,m-ωα,m).

最后, 本工作將對式(19)中的哈密頓量展開具體研究, 并分別分析在幺正演化(不考慮外部環境)和考慮外部損耗的情況下, 量子QST 協議的有效性.

2.1 幺正演化

首先, 假定QST 系統不受外部環境影響, 并將系統的演化過程視為嚴格的幺正演化. 在執行QST 協議時, 需要調節Transmon 系統的一階躍遷能ω01,m, 使其與中介系統的禁戒躍遷能共振. 在此情況下, Transmon 系統的能量無法被中介吸收, 進而轉移到另一個Transmon 系統上,實現了QST.分析式(19)可知,中介系統的禁戒躍遷能與耦和算符(a+a?)相關.因此,通過數值計算耦和算符的矩陣元素〈ψj|(a+a?)|ψk〉, 可得系統的禁戒躍遷信息, 其中|ψj〉是中介哈密頓量在綴飾態下的本征態. 通過計算發現, 當～g?/ωr=0.3 時, 矩陣元素〈ψ1|(a+a?)|ψ3〉=0.這意味著USC 系統在|ψ3〉 →|ψ1〉之間禁戒躍遷, 可得禁戒躍遷能為Δ13. 當系統處于非微擾USC 區(～g?/ωr=0.5)時, 系統|ψ4〉→|ψ1〉之間禁戒躍遷, 其禁戒躍遷能為Δ14.

基于上述兩個在不同耦合強度下的USC 系統禁戒躍遷能級, 對QST 過程展開具體的數值計算. 將QST 系統初始化為量子態|0〉|ψ0〉|1〉 ∈HTransmon1?HUSC?HTransmon2, 并分別在耦合比率為～g?/ωr= 0.3 和0.5 時, 數值計算Transmon 系統的動力學演化過程. 如圖7 所示, 當CPB 頻率與禁戒躍遷能共振時, 量子態|0〉|ψ0〉|1〉和|1〉|ψ0〉|0〉之間的布居數反轉, 驗證了本工作所提出的QST 協議的可行性. 此外, 隨著CPB 系統與LC 諧振子耦合強度～g的增大, Transmon 系統量子態反轉所需的時間也同樣增加, 即當～g= 0.3ωr時, 量子態反轉需要t= 17.75 ns; 而當～g= 0.5ωr時,t= 245.31 ns. 與此同時還發現, 布居數大多處于Transmons 的兩個最低量子態(|0〉、|1〉), 而第二激發態并沒有對系統動力學造成影響. 因此, 在接下來的討論中, 僅考慮二能級Transmon 系統, 式(19)中的哈密頓量可以改寫為

圖7 量子態|1〉|ψ0〉|0〉和|0〉|ψ0〉|1〉的布居數(ωq,1 =ωq,2 =ωr =2π×6 GHz)Fig.7 Populations between the state |1〉|ψ0〉|0〉 and the state |0〉|ψ0〉|1〉 (ωq,1 =ωq,2 =ωr =2π×6 GHz)

2.2 系統損耗的影響

實際上, 量子系統并不完全孤立. 一方面, 需要利用與外部環境的耦合來控制量子系統;另一方面, 量子系統的某些自由度會與環境發生不可控的相互作用. 因此, 必須考慮QST 系統為開放量子系統, 并與一個熱庫弱耦合, 進而研究在損耗機制下QST 協議的魯棒性. 需注意,當中介系統的耦合強度達到USC/DSC 區間時, 系統的耗散動力學很大程度上取決于子系統之間的相互作用, 因此, 早期量子光學中使用的標準主方程形式不再有效[35]. 在這種情況下,本工作遵循規范方法, 即在計算系統和環境相互作用時, 將USC 中介的哈密頓量對角化. 此時, 系統的衰減率取決于系統的躍遷能, 并且耦合算符σz在綴飾態中不再是對角化形式. 這意味著去極化噪聲在引起退相位的同時, 會造成能量弛豫.

上述耗散物理現象都可以由主方程法描述, 它是研究開放量子系統的常用方法. 在推導主方程的過程中, 需要運用Markov 近似和Born 近似, 即考慮量子系統在t+dt時的量子態僅依賴于t時刻的量子態, 且量子系統不會影響環境的狀態. 基于這兩個近似, 可得Lindblad 主方程[35-37]為

式中,ωT=kBT/? 為熱頻率.

在上述計算過程中, 僅考慮了USC 中介的子系統(LC 諧振子、CPB)能量損失是由具有歐姆頻譜密度的熱庫引起的[36], 而系統的量子相干性損失主要是由電荷噪聲引起的[38].

因此, 基于式(21)中的QST 系統主方程, 在考慮損耗的情況下, 對QST 過程進行數值計算. 將系統初始化為量子態ρ1=|1〉〈1|?ρTh?|0〉〈0|. 這里中介系統的初態為熱狀態(thermal

圖8 描述了當耦合強度～g?/ωr= 0.3 和0.5 時, Transmon 比特在損耗情況下的量子態布居數變化. 結果發現: 在t= 17.75 和245.31 ns 時, 量子態ρ1和量子態ρ2(ρ2=|0〉〈0|?ρTh?|1〉〈1|)之間的布居數反轉; 當CPB 與LC 諧振子耦合強度較小時, 即～g= 0.3ωr時, 由于發生布居數反轉所需的時間較短, 噪聲并沒有對Transmon 系統間的QST 造成太大影響.

圖8 在考慮系統損耗下, 量子態ρ1 =|1〉〈1|?ρTh ?|0〉〈0|和ρ2 =|0〉〈0|?ρTh ?|1〉〈1|之間的布居數(ωq,1(2) =ωr =2π×6 GHz, λ1(2) =0.02 ωr)Fig.8 Populations between the state ρ1 =|1〉〈1|?ρTh?|0〉〈0|and the state ρ2 =|0〉〈0|?ρTh?|1〉〈1|(ωq,1(2) =ωr =2π×6 GHz, λ1(2) =0.02 ωr) by considering dissipative system

為了進一步研究QST 協議的有效性, 本工作計算了QST 過程的保真度, 即FQST=tr(ρ(t)ρ2), 其中ρ(t)是式(21)中的主方程密度矩陣解. 如圖9 所示: 當～g/ωr= 0.3 時, 系統的最大保真度為FQST= 0.980 3; 當～g/ωr= 0.5 時, 最大保真度為FQST= 0.878 3, 驗證了本工作的推論.

圖9 量子態ρ2 與ρ(t)之間的QST 過程保真度Fig.9 Fidelity of the QST process between the state ρ2 and the state ρ(t)

3 結束語

本工作基于CPB 系統與LC 諧振子耦合的超導電路模型研究了光與物質的相互作用. 結果表明, 通過減小約瑟夫森能量和增大諧振子阻抗, 耦合強度可以不斷增加, 并且能夠在子系統共振的同時, 到達USC/DSC 區間. 通過數值優化目標函數, 給出了在單量子比特系統與雙量子比特系統中, 實現光與物質USC 所需的電路元件參數. 在此基礎上, 利用所得的雙量子比特系統作為非相干中介, 在考慮外部損耗的情況下, 實現了兩個Transmon 比特間的QST,并驗證了本方案在開放量子系統中具有一定的抗噪聲能力. 本工作有望在多比特超導量子系統中實現USC, 并對多量子比特的制備、轉移和抗噪聲設計提供理論基礎, 也為在光與物質USC 的超導量子系統中實現量子調控、模擬和量子信息處理提供了可選方案.