虛與實：學生數學素養發展的兩翼
——以“完全平方公式”為例

王新奇 (江蘇省蘇州工業園區第一中學 215021)

虛實結合是語文寫作的一種技法.所謂“虛”，是指存在于人們的思想和意識中的部分；所謂“實”，是指通過聽覺、觸覺、視覺等能感覺到的部分.虛與實是相對的，客觀為實，主觀為虛；具體為實，隱者為虛；當下為實，未來為虛[1].虛與實也是一體的，實為虛之體，虛為實之魂，在具體問題解決的過程中，潛在體內的虛魂是實性的思維方式和解決問題的策略.在初中數學教學過程中，實即客觀的、具體的知識技能，虛即隱藏在知識技能中的數學思想方法和數學觀念.實承載著虛，虛浸潤著實，虛與實就像學生素養發展的兩翼.虛實結合，可以凸顯數學學習的核心與本質，有力促進學生的素養發展.筆者以為，初中數學教學需要虛實結合.本文結合“完全平方公式”的教學實例探討如何做好初中數學教學過程中的虛實結合，以培養學生的數學思維，發展學生的數學素養.

1 教學過程

1.1 完全平方公式的引入

計算：(1)(a+b)(c+d)；(2)(x+1)(x-1)；

(3)(x+5)(x+5)；(4)(3x-2)(3x-2).

問題1 觀察這4道多項式乘法的運算結果，有什么不同？

追問 觀察這4道題計算結果的項數，有什么不同？

問題2 請你寫出兩組具有上述后兩題特征的多項式乘法，并計算結果.

問題3 能否用字母表示你發現的規律？

設計意圖完全平方公式作為多項式乘法的下位知識，是學生學習了整式乘法的一般性方法之后，對特殊對象的研究，是公式(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中a=c，b=d時產生的特殊形式.因此，多項式乘法是完全平方公式的生長點，充分利用多項式乘法是教學的關鍵，有助于實現后續知識的自然生成和學生的自主學習.從實的角度出發，設計的4道計算題擬從整體的角度引導學生經歷從一般到特殊的過程，感受特殊化帶來的簡潔性.既復習了平方差公式，又自然引出了完全平方公式的學習.4個具體算式的支撐，使完全平方公式的引出具有了實性.從虛的角度考量，設計的3個問題，旨在讓學生從純粹的多項式計算這一經驗操作中走出來，通過觀察、比較和結構分析，從中分離出相同屬性(都是兩個二項式相乘)和不同屬性(結果項數不同)，經歷結果屬性由一般向特殊演變(由四項到兩項或三項).這種特殊是直觀的，同時催生了學生產生虛性的思考：這樣的兩個二項式相乘，結果有怎樣的規律呢？通過虛實結合引發的疑問，使學生發現學習的能力得以發展，也將使學生在經歷“屬性分離”過程后提升抽象水平.

1.2 完全平方公式的驗證

問題1 上述規律的正確性需要驗證嗎？

問題2 根據平方差公式的學習經驗，如何驗證？

問題3 通過驗證，你感悟到哪些數學思想方法？

設計意圖完全平方公式的驗證與平方差公式的驗證方法類似，可以進行經驗的遷移.學生在驗證平方差公式時，曾經歷過運用圖形面積和多項式乘以多項式驗證的實性過程，積累了從“數”與“形”兩個方面進行驗證的基本活動經驗.通過問題2引導學生做一個虛性的思考，幫助學生通過經驗遷移確定驗證的基本思路，再予以具體的實性驗證.在這個虛實結合的過程中，既有思維的提升，也有活動經驗的遷移和再認識，從而使完全平方公式的教學效益最大化.同時，通過“剪”“拼”“割”“補”將不規則圖形轉化為規則圖形來解決的思想方法，也為后續學習勾股定理的證明積累了經驗.

1.3 完全平方公式的概括

問題1 請概括一下你發現并驗證的規律，并用字母表示.

問題2 公式中的a和b可以代表什么？

問題3 請仔細觀察公式的結構，結合學習平方差公式的經驗，能否直觀、形象地提煉出計算形式？

問題4 在完全平方公式的探究過程中，你感悟到哪些數學思想方法？

設計意圖數學是思維的科學，而思維最顯著的特點是概括[2].在實性方面，通過圖形語言、文字語言及其關系的概括總結，一是去除學生在公式探究過程中對公式非本質屬性的認識，把認識統一到“兩數和(差)的平方，等于這兩數的平方和加上(減去)積的2倍”的多項式乘法這一本質屬性上來；二是完全平方公式多視角表征和理解，拓展信息獲取及問題分析的路徑通道.追問“a，b可以表示什么？”旨在滲透數式通性思想及使用范圍.問題3旨在引導學生識別公式特征，可以將模型提煉為“(□±○)2=□2±2□○+○2”的形式，從而突破運用過程中的難點.學生只有識別出公式的特征，才能運用公式解決問題，感悟公式的優越性和數學的簡潔美.在充分彰顯實性知識的過程中，引導學生回顧知識的發生發展過程，感悟隱藏在知識探究過程中的魂，盡管這個魂是虛性的，但卻是必要的.虛實相生，有力促進學生數學素養的逐漸形成.

1.4 完全平方公式的應用

問題1 同學們，根據a，b的可變性，請自主設計符合完全平方公式的多項式乘法算式.

問題2 改變a，b前面的符號，一共有幾種情況？通過計算，你有什么發現？

問題3 計算：(1)(a+b+c)2；(a+b-c)2，(2)1032；992

設計意圖這個環節的設計，表面上看是實性的操練，實則是引發學生虛性的思考，以促進學生對公式的深度理解.通過學生自己舉例編題練習，加深對a，b的意義認識，同時有效地促進學生對完全平方公式結構的主動認知.教師從學生編寫的題目中選擇有代表性的題目進行計算，并就計算中出現的問題進行班級研討，引領學生深度理解公式的計算方法.同時，在正視錯誤、理解錯誤、糾正錯誤的過程中，挖掘錯誤的成因，抓住錯誤的本質，衍生課堂生成性資源，形成規范的計算步驟，這是一個學生自主探索、教師有效引導、師生互動有機統一的過程.在這個過程中，學生由過去的被動式練習轉向主動思考、自主探索，進而形成深度學習.這個過程是實性的，同時也為學生進一步虛性的思考打下堅實的基礎.問題2的設計，重點聚焦公式變形，在處理符號的過程中感受和體會內在聯系，形成對公式結構的本質理解.問題3的設計旨在進一步引導學生觀察公式的結構特征，滲透整體換元和對應思想，同時引導學生從圖形面積角度計算結果，提升和挖掘圖形計算的價值.應用環節的設計，從應用→思考→創新應用，通過虛實結合，旨在將完全平方公式與多項式乘法、簡便運算等原有認知經驗逐漸建立關聯，使得完全平方公式不再是一個獨立的個體存儲，而是與其他運算、經驗之間形成新的整體關系，進而提升學生的數學素養.

1.5 課堂小結

今天我們探索了完全平方公式，請用思維導圖回顧和總結學習過程.

設計意圖要求學生繪制思維導圖，旨在引導學生對整節課的學習進行回顧和提升，使得學習過程結構化.經過長期的訓練，學生的結構化思維能力將會得到提升，這個過程是虛性的，但卻引導學生自主實性學習的方向，也是數學教育的價值.

2 教學思考

2.1 學生數學素養的發展，需要求實

形成數學素養的前提是具備扎實的數學基礎知識和技能，而基礎知識技能訓練的主陣地在課堂，這就要求每一節常態數學課都要在求實上下功夫.但是，在求實的過程中，不能讓學生被動地接受知識，而是要引導學生主動探索，在知識的發生發展過程中形成實性認識.首先在內容設計上求實，緊緊圍繞完全平方公式的特征，觀其形、拼其形、定其形、找其形、用其形、補其形，主線明確，層次豐富.其次，在學生活動設計上求實，通過問題驅動、操作驅動、學思驅動，引領學生體悟完全平方公式的本質，特殊化研究公式的外延關聯，努力實現有結構、有邏輯、有源頭的精準化教學.最后，在學以致用上求實，引導學生自主編題，自主練習，集體糾錯，在正視錯誤、糾正錯誤中挖掘成因，促進學生主動發現和良好品質的形成.

2.2 學生數學素養的發展，需要務虛

從知識到方法，從方法到思想，這是數學教育的追求，也是從實性知識技能走向虛性思想方法的必然結果.數學思想方法蘊含在知識形成過程中，這是學生理解數學思想方法的良好載體.本節課蘊含兩個重要數學思想：從一般到特殊的思想、數形結合思想.筆者試圖讓學生充分經歷知識的形成過程，讓學生感受到學習活動是在數學思想引導下進行的，從而使學生既能理解知識的本質，又能感悟到數學思想.以后，學生在解決問題的過程中，特別是遇到困難，需要尋求突破難點的時候，這些積累的數學思維活動經驗和數學思想方法將會適時引導他們的有效思維，啟發其主動思考獲取數學知識.這些隱藏的虛性思考將真正成為思維策略，促進學生數學素養的發展.

2.3 學生數學素養的發展，需要虛實結合

虛實本為一體，在實際數學教學過程中，教師對實性的知識技能往往更加重視，而對虛性的思想方法和思維能力常常容易忽視.如應用環節的設計，注重訓練的實性與思維的虛性并行，在訓練的過程中滲透轉化、對應等思想，打通各知識板塊之間的關聯障礙，形成“做一題、通一類、連一片”，從而獲得新的經驗增值，提升解決問題的能力.其實，從數學教育的根本宗旨看，實為虛體，虛為實魂，在解決具體問題的過程中，隱藏著的虛魂將變為實性的思維方式和解決問題的策略指引，這就是學生應該具備的數學核心素養：會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界.正如愛因斯坦所說，教育就是當一個人把在學校所學的全部忘光之后剩下的東西.