“雙新”背景下數學建模活動初探
——以“醫院推床通道的寬度研究”為例

200137 上海市高橋中學 朱詠梅 楊晨昊

一、 教學設計說明

(一)教材分析

《普通高中數學課程標準》(2017年版2020年修訂)明確指出必修課程包括五個主題，分別是預備知識、函數、幾何與代數、概率與統計、數學建?；顒优c數學探究活動.課標在主題二“函數”的教學提示中提到，函數應用不僅體現在用函數解決數學問題，更重要的是用函數解決實際問題.在函數單元的學習中，幫助學生理解函數構建數學模型的基本過程；運用模型思想發現和提出問題、分析問題和解決問題.

《上海市數學學科教學基本要求》明確指出，在函數的單元教學中，應把本單元的內容視為一個整體，從具體的函數出發，引導學生從變量之間的依賴關系、實數集合之間的對應關系、函數圖像的幾何直觀等角度整體認識函數概念.通過梳理函數的單調性、周期性、奇偶性、最大(小)值等認識函數的性質.而數學建模正是學生運用函數模型，探究并解決實際問題的應用體驗，有助于學生深刻感悟函數作為數學的語言和工具在解決實際問題中的重要作用.

數學建模與教材必修一“5.3函數關系的建立”的側重點是不同的.函數關系的建立是對已經數學化的問題，通過分析變量間的關系建立函數關系，亦可著眼于在簡單的生產、生活問題中建立相應的函數模型.而數學建模是對某個現實問題經過必要的簡化、合理的假設得到一個數學問題，將其稱為數學模型，再求解所得到的數學問題，根據實際情況驗證該數學答案是否合理.在合理性得不到保證時，還要進行反復迭代和修正模型.數學建模是從實際問題抽象出數學問題，到賦予數學模型解答現實意義的完整過程.

(二)教學內容解析

本次建?；顒邮窃跍贪嫫胀ǜ咧薪炭茣稊祵W》必修一第五章第三節“函數關系式的建立”教學之后進行的，是參考必修四中“家具搬運”的案例，重新創設的適合高一學生開展的一次數學建?；顒?

本活動共分為四課時，其中，第一課時、第四課時在課堂外進行，本文重點探究第二課時、第三課時.

第二課時：現實帶來的思考是救治病人需要爭分奪秒，在最短時間內通過病床把病人送到搶救室.因此，從數學的視角發現問題，即醫院推床通道的寬度應有嚴格的最低限度要求，進而通過分析問題、建立轉角模型并求解模型得到答案、回到實際情境驗證答案、直觀感受到答案與實際情形不相符，產生疑惑，發現需要再改進模型.

第三課時：根據問題本質，通過數據分析、逐步添加影響因素等方式，模型不斷完善，在模型不斷合理化的過程中提高學生數學建模能力，開發學生的創新能力.

(三)學情分析

1.學生已有的認知基礎

學生已經具備了銳角三角比、函數的概念、性質(單調性、奇偶性，最值)等知識，能對簡單的應用問題建立相應的函數關系.

2.達成教學目標所需的認知基礎

數學建模對學生的綜合能力要求較高，包括將實際問題轉化為數學問題，分析問題的本質與影響因素，收集數據并合理分析運用，建模、解模、檢驗模型、優化模型、再檢驗模型等能力.

3.教學難點的突破策略

通過教師引導啟發，學生小組團隊合作完成數學建模的完整過程，應用數學軟件輔助直觀想象.

二、 教學設計具體內容

通過教師的引導，學生逐步考察影響數學模型的相關因素(如圖1所示).

圖1

(一)教學過程

活動1創設情境，引入課題

情境1(播放視頻)搶救病人需要爭分奪秒，在推拉著病床迅速跑向搶救室的過程中，一路上要保證行進的暢通、順利.因此，對于醫院通行推床的通道，其寬度的最低限度有嚴格的要求.

問題1如果由你來制定這個行業標準，你認為該通道寬度的最小值應為多少？

設計意圖：通過真實的情境引導學生關注其背后的數學問題，并能準確表達.

活動2分析問題本質，考察相關因素

情境2每個小組畫出病床在通道中運動的示意圖，小組展示交流，并考察問題的本質和相關的因素.

問題2該問題的本質是什么？

在病床能轉過通道轉角的前提下，求解通道寬度的最小值.(因為病床的寬度一定小于通道寬度，故不考慮病床的直線前進)這里的通道寬度指的是除去占用通道的物體后，實際可行的通道寬度，也就是通道凈寬的最小值(如圖2所示).

圖2

問題3影響通道寬度的因素有哪些？

由于病床的床面和地面平行，床的高度一定小于樓層高度，所以只需要研究病床在水平地面上的投影形成的平面幾何圖形即可.因此，有可能影響通道寬度的因素如圖3所示.

圖3

問題4如何處理這么多復雜的因素？

提出合理的假設.

1.通道的轉角是直角，因為直角轉角是建筑通道中最多使用的轉角.

2.轉角兩側的通道沒有任何占據通道的人或物，且通道兩側凈寬相同，記為d.

3.病床的尺寸有嚴格的要求，為了研究的方便，用字母l表示其長度，h表示其寬度.

4.忽略運動過程中的所有摩擦.

設計意圖：通過一系列問題串，學生對從現實情境抽象出的數學問題的分析方式有了直觀的理解，為后續初步建模建立了基礎.

活動3分析主要矛盾，合理簡化模型

情境3考察該問題背后的數學模型.

問題5既然影響問題的因素得到了合理簡化，那么該問題所對應的數學模型能否相應得到簡化？

由于人能夠推動病床前進且幫助病床順利轉過通道轉角，故假設病床有自動前進、轉彎的功能，工作人員都在床的前方或者后方，這樣就能先忽略人對通道寬度的影響.

此時，如圖4所示,通道寬度d就只與病床的長l、寬h有關.

圖4

情境4利用幾何畫板觀察病床轉過轉角的過程，感受通道寬度d只與病床的長l、寬h之間有依賴關系.

問題6如何理解長l、寬h的病床能夠轉過寬度d的通道？

從運動過程(幾何畫板拖動演示)可見，如果通道足夠寬，那么床能順利轉彎(如圖5-1所示).

說明此時可以縮小通道的寬度，使得床的一邊抵在通道轉到的拐點(如圖5-2所示).

圖5-1圖5-2

圖5-3

而如果床的一邊抵住了點O，有時也會發生無法轉動的情況(如圖5-3所示).

造成上述情況的原因是病床在運動中不會發生形變，不易想象病床抵住墻時的運動情況，且不知道通道寬度d與病床的長l、寬h之間的關系，這給問題的解決造成了困難.

換一個角度思考、想象一下，將病床置于一個長寬都能在運動中伸縮自如的彈性矩形內，這樣彈性矩形就可以抵住墻轉過轉角，此時通道寬度和彈性矩形長寬之間存在著某種依賴關系.

圖6

問題7通道寬度和彈性矩形長寬之間的關系是一個多元變量函數，以目前的知識儲備無法解決這樣的問題，怎么辦？

考慮控制變量，實現降維處理.如圖6所示,令彈性矩形A1B1C1D1的寬度即為病床的寬度，B1,C1始終貼著通道外側的墻運動的情況下，結合動畫軟件可知在θ變化的過程中，對任意給定的通道寬度d，線段B1C1的長度隨之變化并有最小值.對任意給定的通道寬度d，只要病床的長度l小于等于B1C1的最小值，病床就能轉過直角通道.

設計意圖：通過對所有相關因素的分析與簡化，抓住影響問題的關鍵點，實現對模型的簡化，同時讓學生認識到對多變量進行控制變量是實現降維處理、化繁為簡的有效手段.

活動4模型初建與求解

轉角模型

推床轉彎的問題可以表述為如下數學問題.

如圖7，已知OM與PK、ON與PQ分別平行且距離都是定值d，OM⊥ON，PK⊥PQ，矩形A1B1C1D1的邊A1D1通過點O，矩形的寬A1B1=h(h為定值，且h

圖7

設計意圖：通過對模型的初建和改進，感悟初步建立模型并求解的意義在于得到極簡情況下數學意義上的解，盡管這個結果與真實情形是有較大差距的，但它為后續的模型改進提供了必要的基礎.

活動5交流反思模型的解及其實際意義

情境5對改進后模型的解進行分析.

問題8利用轉角模型的結論，結合病床的尺寸求解通道寬度的最小值，并思考這個結果的合理性.

醫用病床基本尺寸應符合不含床架的情況下，床面長度為1900mm-2000mm，床面寬度為900mm-1000mm，且床欄的高度應不小于350mm，長度不小于800mm.

圖8

醫院病床最為常見的是ABS沖孔面手動雙搖病床(如圖8所示)，其外形尺寸為2000mm×900mm×500mm(長×寬×床面高).

由此提出問題：根據上述建模的結果，你能給出醫院通道寬度的最低限度嗎？(不能，還要考慮人的因素)

問題9如何考慮人對通道寬度的影響？

人的作用是幫助病床前進、轉彎，其站位和體型都對通道寬度有影響.

人的站位：(觀察視頻中醫護人員的站位)通常情況下，推床周圍有5名工作人員，其中4名分別站在床的兩側(陰影處)，還有1名在床尾推著床前進(斜紋處)，其站位通常情況如圖9所示.

人的體型：由于人的體型復雜，不易處理.為了研究的方便，這里對人體作簡化處理，將人看成一個長方體，假設人體寬為w，人體厚度為k，則其俯視圖是鄰邊為w,k的矩形(如圖10所示).

圖9圖10

提出問題:根據人的體型和站位，你能畫出工作人員推病床的俯視圖嗎？

該平面圖形的橫向最大寬度是床的寬度+兩人的寬度，縱向最大長度是床的長度+一步長(如圖9所示).

問題10如何選取人的體型數據？

盡管床兩側的4名工作人員會有側身的情況，但前進中大致上還是會保持身體朝前方的姿態，因此其俯視圖的寬度應為人體最寬的部位.而人體最寬的部位是肩部，下面考察普通成年人的肩寬.

根據《中國成年人人體尺寸(GB10000-88)》得到表1.

表1

說明：肩寬指的是人兩肩峰之間的距離，最大肩寬指的是人上臂三角肌外側兩點間的距離，所以應該用“最大肩寬”.

該數據來自1986年我國人體基礎數據調查.時隔20多年，隨著人的生活水平不斷提高，越來越多的人重視運動健身，人的體型也發生了較大的變化.2013年11月27日，“中國成年人工效學基礎參數調查”正式啟動，持續5年.而“國家人口健康科學數據中心人口健康科學數據倉儲PHDA”的網頁顯示，該調查數據將于2029年11月19日公開.

因此，引入其他國家的一些數據進行參考，例如根據日本《size-JPN 2004-2006》得到表2.

表2

根據美國2010AnthropometricSurveyofU.S.MarineCorpsPersonnel:MethodsandSummaryStatistics節選得到表3.

表3

結合上述數據，考慮到亞洲人與歐美人的體型有較大差異，所以采用日本的數據，記推床的醫護人員的最大肩寬為0.466m.后兩名工作人員在奔跑中呈前傾姿勢，因此，其俯視圖是長度為人最大肩寬w，寬度為手所扶的床沿到腳后跟的距離k′，取k′=0.9m.

問題11結合轉角模型的結果和人的相關數據，再次求解通道寬度的最小值，并思考此時能否為醫院推床通道定一個最低的寬度.

圖11

根據模型結論，考慮到行進中的工作人員和墻之間會留有一定的空間，所以推床通道的凈寬不低于2.4m是合理的.這與《綜合醫院建筑設計規范》中的規定是吻合的.

設計意圖：在轉角模型的基礎上，增加先前為了簡化模型而去掉的因素，還原模型的真實性，體會模型不斷改進的必要性.同時在人體數據的收集和運用中，讓學生感受到數據的來源必須是真實的，其運用是有理有據的.

情境6關于模型的一些思考.

問題12如果兩側寬度相同的轉角是鈍角，通道的寬度的最小值會有所改變嗎？

如圖12-1、圖12-2，在彈性矩形A1B1C1D1轉彎的過程中，B1C1的長度在轉角的角平分線OP兩側呈對稱變化，所以只需考慮當B1C1垂直于轉角的角平分線OP時，彈性矩形轉出這個拐角的過程即可.

圖12-1

圖12-2

圖13-1

圖13-2

由于同心圓中較大的圓與通道的外側PB1，PC1相切于B1，C1，因此當彈性矩形A1B1C1D1保持寬度A1B1=h(病床寬度)不變，從垂直于角平分線OP起發生轉動并到達圖12-2中加粗位置時，此時B1，C1兩點處于通道內.也就是說，一旦撤去同心圓軌道，B1C1就會伸長，使得B1，C1兩點抵住通道外側墻面，即彈性矩形A1B1C1D1的長B1C1變大.

從上述過程可知，如圖14，彈性矩形A1B1C1D1垂直于角平分線OP時，B1C1達到最小值，只要病床的長度小于(B1C1)min時，病床就能通過該轉角.此時彈性矩形A1B1C1D1即為病床俯視圖的矩形ABCD，h=1m,l=2m).

圖14

圖15

設計意圖：改變轉角角度即是對合理簡化后條件做出的改進，也是讓學生多角度認識不同因素對通道寬度的影響，同時這些結論也能再次解釋《綜合醫院建筑設計規范》中通道凈寬最小值的合理性.由此，還可以將其推廣到其他建筑類型中，即在滿足相關建筑行業規范的前提下，設計不同的、既實用又美觀的通道.

問題13如果(直角)轉角兩側的過道的寬度不同，從窄的過道轉進寬的過道，或者從寬的過道轉進窄的過道，情況會有什么不同？

“寬進窄出”和“窄進寬出”是運動相反的兩個過程，所以只需考慮其中一種即可，下面說明窄進寬出.

圖16

而兩側等寬的直角通道的寬度最小值已經在之前的模型中解決了，從而說明當通道兩側寬度不同時，所能通過的病床的最大長度，一定大于通道兩側等寬時的病床的最大長度.

因此，當窄側通道的寬度達到《綜合醫院建筑設計規范》中要求的2.4m時，就能保證病床能順利通過兩側寬度不同的直角通道.

設計意圖：改變轉角兩側的通道寬度有兩方面的需求.一是改變初步建模時設置的通道兩側等寬的條件，以觀察這種情況對模型結果的影響.二是這個病床轉彎的模型還有其他可以應用的意義，如停車場中的車道并非都是等寬的.因此，根據此模型的解可知，在設計兩側不等寬的直角通道時，窄側通道需達到相應的行業標準.

問題14經過本次建?；顒?，你還能對模型作出其他改進嗎？你還能從其他角度來建模嗎？你覺得生活中還有哪些地方可以用到該數學模型？

問題15你覺得還有哪些生活中的問題可以用數學建模的方式來解決？

設計意圖：引導學生對模型進行改進，使其認識到數學建模的過程是一個由簡到繁、不斷完善的過程，任何一個模型都有其不足，需要多角度建模，并不斷改進，才能使模型與真實情境更貼近；使學生明白要學會用數學的眼光觀察世界，用數學的思維分析世界，用數學的語言描述世界.

(二)總結

1.數學建模的過程(如圖17所示).

圖17

2.數學建模過程是一個從簡單到復雜、逐步優化的過程.

初步建模時應突出影響目標的主要因素，簡化其他因素，分類分解復雜因素，使問題得到初步解決，然后再逐步添加其他因素，使數學模型越來越接近現實情形.

三、 案例反思

(一)建模方式的初探——建模活動的真實體驗

本次建模活動是基于新教課程、新教材的第一次初探，以四課時為一次建模活動進行探究.

第一課時的主要內容是數據采集、實地考察、資料收集、小組協作.

第一課時在課堂之外展開，學生以小組為單位，教師指導，家長為輔，在確保安全的前提下，有些小組進入醫院對通道寬度、病床寬度等進行實地測量，或根據醫院可提供的數據，得到了2m到6.8m不等的醫院通道寬度數據.有些小組上網進行數據采集，比如采集人體尺寸、病床尺寸等信息.有些小組進行訪談，記錄了解相關信息.通過小組組員協作，學生自行制作PPT展示小組的調查情況.有了數據之后，教師布置學生閱讀材料.由于這次建模活動所需的知識儲備不僅涵蓋不等式、函數，而且涉及三角知識，所以教師通過預習方式將實際問題數學化.學生通過自主預習、自主采集(上網查閱需要的數學知識、向教師尋求幫助、和同伴合作交流)、自主探究等方式解決“自學案”的三個數學問題.

第二課時和第三課時依托市級展示活動，以公開教學方式展開.本文的教學案例就是基于第二課時和第三課時設計并完成的.在經歷了第一課時的實際問題調查后，學生經歷如下六個步驟：在真實情境中提出問題；分析問題的本質和影響因素；突出主要矛盾，對影響因素作出合理的假設；建模解模，并檢驗；反思改進模型，再檢驗；對模型進一步思考.兩節課原先沒有設計“畫一畫”的學生活動，教師發現學生從實際情境到數學化的過程有一定的困難，通過試講發現了問題，故而在問題引入上加以改進.結合調查的數據和視頻資料，學生以小組為單位畫出需要解決的數學問題的圖像，在直觀想象下思考并解決問題.“畫一畫”活動的調整不僅符合學生的認知和對問題的理解能力，而且激發了學生探究問題的熱情，發現原來自己也能設計建筑圖紙，也能把實際問題數學化.但是，課堂上為用數學語言將實際問題數學化、整理成“應用題”的過程所預留的時間有些不足.如果再增加3分鐘-5分鐘讓學生把實際問題具體化，寫出已知、求解就更好了，可以進一步完善學生對數學建模從實際到抽象的理解和實際應用.教師在第一課時發現有學生自學了三角函數和解析幾何的相關知識，他們覺得目前的知識儲備不夠用，于是通過自學畫出了三角函數圖像解決問題，運用了數形結合的數學思想方法.在第二課時，課堂中有學生說：“老師，我發現了一種很有趣的解法.”他利用點到直線距離知識克服難點，有了解析法的思想.無論學生的解決方式是什么，建模活動都激發了學生學習數學的興趣和樂趣，他們自主學習的能力在建?；顒又姓嬲辛恕皟闰寗印保皇浅鲇谕瓿伞皵祵W作業”任務的需要.他們發現學習數學是有趣的、有效的、有方法的，而且這還帶動了整個班級的學習氛圍.自主學習、自主應用的意識在高一起始年級就形成了，為今后的數學學習打下了堅實的心理基礎和行為基礎.

第四課時的內容為建模論文.此次建?；顒咏M織了高一年級14個班級612名學生參加，為了更好地反思模型、驗證模型，第四課時設計為“建模作業——論文”.通過課后進一步思考和探究，從不同角度思考，不少學生形成了有一定質量的小論文，為數學研究打下了基礎.當然，也有一部分學生以感想的形式遞交了作業，雖然未形成“小論文”，但是他們對這次活動的所感所思還是非常深刻的.

(二)建?；顒拥恼n堂行為——問題相扣，思維碰撞，合作交流，思辨共進

第一課時、第四課時在課堂外，第二課時、第三課時在課堂內.課堂外教師適時、有序地指導，幫助學生形成自主預習和學習的能力.那么第二課時、第三課時的課堂對教師的語言是有高要求、嚴標準的.如何設計問題才能引發學生思考？如何有序、合理地實施建模的六個步驟？如何在建?；顒又凶寣W生產生共鳴？如何在一次建?；顒又袑崿F學科融合、“五育”并舉，甚至讓學生產生對未來職業的訴求和向往？這些都是“建模課題”.

首先，課堂語言的科學性、嚴謹性和準確性非常重要.數學是一門基礎學科，“它是人類對事物的抽象結構與模式進行嚴格描述的一種通用手段，它可以應用于現實世界的任何問題”.應用是學習數學的本質，它是人類科技進步的基礎和保障，是一種語言，為其他學科的學習奠定了基礎.故而，在選定課題后，如何解決問題，如何引導學生思考問題需要不斷磨、不斷調、不斷改.例如當醫院通道較窄時，學生不易想象病床轉彎的情形，此時教師在引導學生時需要設置語言上的陷阱，如“病床是剛體，在過彎時不會發生形變，導致其在較窄通道內轉彎時有可能被卡住，但是如果這是一張有彈性的病床，可以發生形變呢？”基于學生在問題解決中可能產生的思維障礙，兩節課的問題鏈在一次次試講、一次次修改中不斷調整，從語言組織到語言“陷阱”，從問題提出到問題本質，從影響因素到合理假設，從數學化到問題解決，從數據分析到驗證模型.基于學生的認知是基礎，層層深入分析問題為引導，突破重點和難點是關鍵，總結歸納是思考和反思.

其次，課后學生的共鳴和收獲有些在筆者的意料之中，有些在意料之外.比如學生說“建筑簡易圖紙都能畫了，好像可以做建筑師吧”，“病床如果能有彈性不就能通過很多醫院通道了嗎”，“人體數據原來只能查到1986年的，要到2029年才能有最新數據”，“老師通過上網搜索了其他國家的人體數據，補充了我國數據，我怎么沒想到呢”，“統計，我們會學嗎？那我們采集數據后就會分析數據了吧”等.學生不僅學到了新知，對數學學科有了新的認識，而且對今后的職業規劃也有了初步的思考，可謂一舉多得.