高中生數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)錯誤的成因及矯正策略*

徐 方 (江蘇省新海高級中學(xué) 222006)

葛愛通 (江蘇省贛榆高級中學(xué) 222100)

1 問題提出

概念是思維的基本形式之一，是人們在認(rèn)識自然、改造自然過程中從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，把所感覺到的事物的共同特征抽象出來加以概括和整理，形成思維體系的基本構(gòu)筑單位．由于在認(rèn)知過程中各種原因的積淀形成了一些模棱兩可、是非不定的前概念或錯誤概念，沒有及時采取矯正措施，日積月累直接影響高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的進(jìn)程，使得學(xué)生努力學(xué)習(xí)但數(shù)學(xué)成績不能提高，導(dǎo)致學(xué)生厭學(xué)、誤學(xué)．

建構(gòu)主義認(rèn)識論認(rèn)為，認(rèn)識、學(xué)習(xí)的過程不是簡單地輸入和儲存信息的過程，而是主動地將原有知識、經(jīng)驗(yàn)和新信息進(jìn)行比較、分析、判斷、選擇和重組．建構(gòu)的過程是同化和順應(yīng)，當(dāng)新知識與原有知識結(jié)構(gòu)和思維方式相符時就被同化，否則就會被排斥，當(dāng)然也可能經(jīng)修正、重組后再被吸收．由皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展論可知，同化是引起認(rèn)知結(jié)構(gòu)量的變化，而順應(yīng)是引起認(rèn)知結(jié)構(gòu)質(zhì)的變化，順應(yīng)的難度遠(yuǎn)大于同化．高中生雖然具備了一定的批判性思維和邏輯推理能力，但由于自我控制意識能力存在顯著的差異，固有的思維方式根深蒂固，在建構(gòu)、重組過程中難以擺脫原有構(gòu)想．因此，研究和矯正因錯誤的前概念而產(chǎn)生的相異構(gòu)想是高中數(shù)學(xué)教師面臨的一個極其有價值的問題．

2 高中生錯誤前概念形成的原因分析

2.1 直覺印象根深蒂固

在傳統(tǒng)的平面教學(xué)中，教師通常不重視平面概念的教學(xué)，表現(xiàn)在只借助“平靜的水面”“光滑的桌面”等物象展開告知的教學(xué).這樣的教學(xué)設(shè)計，學(xué)生得到的只是靜態(tài)的、僵化的、沒有遷移能力和發(fā)展?jié)摿Φ母拍睿瑢W(xué)生不能真正理解“平面的無限延伸性”.教師以為靠“生活實(shí)例+直觀想象”，學(xué)生就能理解平面的概念，這是過高估計了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力．教學(xué)時應(yīng)在學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上——直線的概念和一個平面內(nèi)不平行的兩條直線相交，通過作直線的交點(diǎn)的方式來得到平面的公共點(diǎn)，讓學(xué)生在動手操作中去體會平面的無限延伸性．

例如，如圖1，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱BB1的中點(diǎn)，畫出由A1,C1,P三點(diǎn)所確定的平面α與平面ABCD的交線．

圖1

2.2 初中學(xué)習(xí)形成的隱性錯誤前概念的延伸

在學(xué)習(xí)拋物線的幾何性質(zhì)時，筆者給出這樣一道題：已知拋物線方程y=4x2，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．很多學(xué)生很快給出答案：焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=-1．答案錯了，錯在受初中學(xué)過的拋物線y=ax2的影響，沒有區(qū)分現(xiàn)在學(xué)習(xí)的拋物線雖然形狀一樣，但研究的方法、體系不一樣，標(biāo)準(zhǔn)形式也不同．高中階段的拋物線是從方程的角度，用代數(shù)的方法研究其幾何性質(zhì)，而初中學(xué)習(xí)的拋物線是從函數(shù)的角度研究其性質(zhì)．

2.3 初、高中認(rèn)識銜接不當(dāng)

2.4 解題不嚴(yán)密形成的錯誤構(gòu)想

教師上課時為了節(jié)省時間，在板書時總會省略或跳過原始公式而直接寫出推論．這種一步到位的做法會讓學(xué)生養(yǎng)成不按“理”列式計算的壞毛病．解題過程大量使用“二級結(jié)論”使學(xué)生產(chǎn)生依賴思想，認(rèn)為只要記住結(jié)論就能順利解題了．事實(shí)上解題過程應(yīng)該是根據(jù)題目的已知條件，依據(jù)學(xué)過的概念、公理、定理或課本上經(jīng)過證明的推理一步一步求出結(jié)果的過程，而不是簡單的羅列和利用一些所謂“巧妙”的結(jié)論直接得出結(jié)果．

生1：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以有f(0)=0，代入直接求得a=1．

師：你覺得你的解法正確嗎？

生1：我覺得蠻對的，以前老師就是這么講的(這個授課班級是高二分班后筆者新接的班)，是不是老師您錯了？(這時教室里發(fā)出一些笑聲，一個學(xué)生站起來反駁.)

生2：題目說函數(shù)f(x)在其定義域上是奇函數(shù)，x=0未必在定義域中，所以這道題應(yīng)分開討論：當(dāng)x=0在定義域中時，有f(0)=0，代入直接求得a=1；當(dāng)x=0不在定義域中時，有2x+a=0，得a=-1，所以正確答案應(yīng)為a=1或a=-1．

生1(有點(diǎn)不好意思)：老師，我明白了，我漏解了．

2.5 主觀臆斷形成的錯誤構(gòu)想

數(shù)學(xué)教材一般都是從正面闡述概念，這容易使學(xué)生形成思維定勢，妨礙對概念的深刻理解，造成主觀臆斷形成的錯誤構(gòu)想．在數(shù)學(xué)中，“相等”是一種非常重要的關(guān)系，兩個函數(shù)相等的充要條件是定義域相同、對應(yīng)關(guān)系一致，這里對“對應(yīng)關(guān)系一致”的理解是“任意一個自變量所對應(yīng)的函數(shù)值相等”．函數(shù)概念的辨析要圍繞函數(shù)三要素這個整體，聚焦在對應(yīng)關(guān)系這個核心．

2.6 認(rèn)知層次達(dá)不到要求形成的錯誤構(gòu)想

李邦河院士提出“數(shù)學(xué)是玩概念的”．?dāng)?shù)學(xué)概念既是判斷和推理的起點(diǎn)，更是思維的重要形式之一，概念的理解是數(shù)學(xué)理解的基礎(chǔ)．在概念學(xué)習(xí)時，由于學(xué)生認(rèn)知思維的差異，導(dǎo)致認(rèn)知層次的差異，達(dá)不到對概念的深刻理解，挖掘不出概念的內(nèi)涵和外延以致產(chǎn)生一些不必要的錯誤構(gòu)想．如函數(shù)零點(diǎn)概念的學(xué)習(xí)，很多學(xué)生認(rèn)為函數(shù)的零點(diǎn)就是使方程等于零時函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．

在建構(gòu)數(shù)學(xué)概念過程中，無意間在大腦中丟下一粒錯誤的種子，在適當(dāng)?shù)臈l件下就會生根發(fā)芽，形成形式各異、是非不定的前概念或錯誤概念．?dāng)?shù)學(xué)史中的大量事實(shí)證明，錯誤認(rèn)知在不斷地接受新事實(shí)的批判和改良，重新建立新的概念和構(gòu)想．

3 矯正的策略

3.1 及時發(fā)現(xiàn)是矯正的前提

矯正錯誤的前提是要讓學(xué)生明白自己的認(rèn)知是錯誤的．例如在解“函數(shù)奇偶性”有關(guān)題目時，很多學(xué)生都會直接用“若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=0”這個結(jié)論．其實(shí)教師只要追問一下“奇函數(shù)成立的條件”，或許問題就可以解決．由于學(xué)生的錯誤概念暴露的機(jī)會比較少，因此發(fā)現(xiàn)得越及時越好．開展小組合作學(xué)習(xí)，組內(nèi)同伴相互交流時可以將隱蔽的錯誤概念顯露出來，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己的認(rèn)知與別人不同時就會產(chǎn)生認(rèn)知沖突，引發(fā)思考后經(jīng)過順應(yīng)過程形成正確的認(rèn)知．因此用小組合作學(xué)習(xí)方式矯正學(xué)生相異構(gòu)想的效果比較好．

3.2 調(diào)整教學(xué)順序，順應(yīng)學(xué)生的思維抑制錯誤構(gòu)想

3.3 利用邏輯思維的嚴(yán)密性，沖擊錯誤概念形成的新認(rèn)知

從錯誤的概念或構(gòu)想出發(fā)，一步一步經(jīng)過嚴(yán)密的推理論證，推導(dǎo)出相互矛盾的結(jié)果，可矯正因錯誤的概念而產(chǎn)生的構(gòu)想．

3.4 概念形成與概念同化融合，順應(yīng)矯正相異構(gòu)想

我們知道概念獲得有兩種基本形式：概念形成和概念同化．概念形成側(cè)重于歸納發(fā)現(xiàn)，對應(yīng)于布魯納的發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，而概念同化則本質(zhì)上是用演繹方式學(xué)習(xí)概念，對應(yīng)于奧蘇貝爾的有意義接受學(xué)習(xí)，在我國表現(xiàn)為啟發(fā)式教學(xué)．因數(shù)學(xué)概念的“二重性”，數(shù)學(xué)概念從具體形象到表象再到抽象的層次性和多元表征，使得數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)往往需要將概念形成和概念同化融合使用而不能孤立起來．例如在學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)時，學(xué)生往往對“任意角”產(chǎn)生相異構(gòu)想(因?yàn)槌踔袑W(xué)習(xí)的是建構(gòu)在直角三角形中的銳角三角函數(shù))，這時應(yīng)幫助其簡單回顧，確立三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，通過函數(shù)視角，探尋從物理到數(shù)學(xué)，從運(yùn)動到對應(yīng)，同化順應(yīng)，按“函數(shù)—任意角三角函數(shù)—銳角三角函數(shù)”建構(gòu)概念，從而矯正學(xué)生對任意角三角函數(shù)的相異構(gòu)想．

3.5 養(yǎng)成“摳理”和表達(dá)規(guī)范的習(xí)慣

理解數(shù)學(xué)中關(guān)鍵的字詞時要對字詞的意義作出合理的解釋，如任意、存在、無數(shù)、所有、至多、至少、變化率、平均變化率、在點(diǎn)處的切線、過點(diǎn)的切線等字詞的意義，可通過討論、查字詞典的形式辨別．在數(shù)學(xué)中有相同的字眼表達(dá)的意義也不相同，在定理、公理的教學(xué)中，教師甚至應(yīng)該把主謂賓、定狀補(bǔ)成分“摳”出來進(jìn)行細(xì)分析，在學(xué)生看來教師的“摳”沒有必要，但教師不“摳”，學(xué)生就會形成零碎而復(fù)雜的錯誤認(rèn)知，“摳”可以講得更明確，減少相異構(gòu)想．在立體幾何“直線與平面垂直”的教學(xué)中，課本(蘇教版必修2)上是這樣定義的：如果一條直線a與一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a與平面α垂直．這時，教師就要“摳出”任意與無數(shù)的區(qū)別，以防止學(xué)生產(chǎn)生相異構(gòu)想．

4 結(jié)束語

在生活和學(xué)習(xí)中的無意間，大腦中都會留下錯誤的種子，從而產(chǎn)生相異構(gòu)想．如果在留下錯誤種子之前先把它轉(zhuǎn)變成正確的種子，錯誤的種子就不會發(fā)芽；發(fā)現(xiàn)錯誤的種子發(fā)芽時及時清除，雜草就不會長大；雜草根深蒂固時斬草除根，正確的禾苗照樣茁壯成長．矯治學(xué)生因錯誤的前概念而形成的相異構(gòu)想，要讓學(xué)生錯誤前概念顯現(xiàn)出來，再利用邏輯推理、分析比較、實(shí)驗(yàn)體會、規(guī)范表達(dá)等策略進(jìn)行綜合矯治．高中數(shù)學(xué)教學(xué)中矯治錯誤概念中相異構(gòu)想是一個長期的、反復(fù)的、螺旋上升的過程．