分塊初等變換在判定抽象矩陣可逆性中的應用

薛維順

（山西晉中理工學院，山西晉中 030600）

矩陣是線性代數最重要的工具之一，在計算和處理數據方面都有非常重要的作用。矩陣的逆是眾多學者研究的重要課題。分塊矩陣由于其抽象性，研究難度相對較大[1-6]。楊欣芳[5]給出了廣義初等變換和廣義初等矩陣的定義并對簡單分塊矩陣的廣義初等變換進行驗證。張新育[2]定義了分塊初等變換和分塊初等矩陣，給出了相關性質并對抽象矩陣的逆和秩進行了研究。孫霞[3]和成立花[6]利用分塊初等變換對兩個互素矩陣多項式的秩進行了研究。劉俊同[4]對分塊矩陣行列式對行列式進行了推廣。繼續利用分塊矩陣的初等變換對抽象矩陣的可逆性進行研究，給出三類抽象矩陣可逆性的判定，并得出應用。文中用到的數字都是實數。

1 相關概念和性質

定義1將m×n矩陣A做如下分塊

（1）用一個可逆矩陣左(右)乘分塊矩陣的某一行(列)塊；

（2）分塊矩陣的某一行(列)塊左(右)乘一個矩陣加到另外一行(列)塊；

（3）交換某兩行(列)塊。

分塊矩陣的行初等變換與列初等變換統稱為分塊初等變換[2]。

定義2分塊初等矩陣是分塊單位矩陣

經過一次分塊初等變換所得到的分塊矩陣。其中Elr為lr階單位矩陣[2]。

性質1分塊初等變換不改變矩陣的秩[3]。

性質2設A是m階方陣,B是n階方陣，則=R(A) +R(B)[3]。

2 主要結論及證明

多個數為零的情形與一個數為零的情形證明過程類似。

綜上，對任意的實數ai(i=1,2,…,n)，n階方陣C總可逆。

3 應用舉例

例1已知A,B,A+B均為n階可逆方陣，證明A-1+B-1也可逆。

在證明A-1+B-1可逆的時候，通過定義找到A-1+B-1的逆矩陣進行了證明。這種證明一般很難通過定義判定A-1+B-1的可逆性。如果利用分塊矩陣的初等變換能很容易判定A-1+B-1的可逆性。

證明

例2若n階矩陣A滿足A2-2A-4E=O,證明:A+E可逆。

以往證明此類抽象矩陣可逆時一般采用“湊因式”的方法化為AB=E的形式來判定可逆。通過分塊矩陣的初等變換能開拓學生的解題思路，從而進一步培養學生的發散思維能力。是定理1 中k=的情形，故可逆。

利用分塊矩陣的初等變換不僅可以判斷矩陣可逆，也可以很巧妙的對行列式進行計算。在2020 年的研究生入學考試（數一）中有一道對行列式的計算。如果按照常規思路就是“化零降階”或者直接按行按列展開，計算量相對較大。如果采用分塊矩陣的初等變換會簡化計算。

可以看出分塊初等變換不僅在判定抽象矩陣的可逆性中作用巨大,在計算行列式中也應用廣泛。