麥克勞林級數展開的教學思考及若干方法

200233 上海市世界外國語中學 朱靈芝

麥克勞林級數是泰勒級數在x=0處的一種特殊形式，它是牛頓的學生麥克勞林在1742年給出的，其用途十分廣泛，主要應用于求極限、近似值計算以及證明不等式等方面.多項式函數是學生最熟悉的函數之一，其性質比較簡單，因此，對于一些比較復雜的非多項式函數，通常用多項式函數去逼近它，從而研究其性質.鑒于此，DP(Diploma Programme)12年級的數學教學中詳細介紹了麥克勞林級數(Maclaurin series).因為麥克勞林級數理論性強又比較抽象,學生學習這部分內容比較困難，很多學生一看到公式就產生畏難情緒，想要放棄，因而在實際教學過程中，學生很難感受到麥克勞林級數化繁為簡的重要作用.

一、 麥克勞林級數展開的教學思考

受章建躍博士《如何實現思維的教學》[1]一文的啟發，筆者發現從簡單到復雜、從直觀到抽象是學生學習的基本認知規律.為了讓學生對麥克勞林級數的展開有一個直觀、清晰、透徹的認識，筆者在麥克勞林級數的課堂教學中發揮了TI-nspire計算器的作用，利用計算器的slider功能，對逼近的過程進行了動畫演示.以數形結合的方式讓學生親眼目睹數學知識產生過程，幫助學生理解，力求教學符合學生的認知規律，充分發揮學生的主體意識，加強“數學思維”教學，從課堂實際教學來看,效果不錯.

二、 麥克勞林級數展開的若干方法

在課堂實際教學中取得了突破后，筆者分析了學生對麥克勞林級數的畏難情緒，其源頭主要是公式太長，學生看到公式后產生畏難情緒，所以如何讓麥克勞林級數的求法具有多樣性，并能變得“友善”、簡單起來，成為下一個突破口.為了使學生不再畏難，使其更好地掌握麥克勞林級數的展開，并能熟練應用，筆者從學生的角度出發，和學生一起通過例題總結麥克勞林級數展開的若干方法.

根據比式判別法可以求出其收斂區間為(-1, 1).(過程略)

定義法是揭示麥克勞林級數概念內涵和本質的邏輯方法，是對數學實體的高度抽象.定義法具有普適性，其優越性是所有函數都適用的，但有些函數的求導非常復雜，這也是學生對定義法比較排斥的原因.因此，有必要引導學生思考有沒有可代替的方法.在用定義法求出麥克勞林級數后，引導學生逆向思考，定義法求出的麥克勞林級數恰好是學生所熟悉的無窮等比遞縮數列，于是產生了方法2.

相對于方法2，方法3適用的范圍大大拓展，但仍局限于有理函數的范疇，學生對形如 (a+bx)n,n∈Q的形式產生了疑問.學生在DP 10學習了冪為自然數的二項式定理，筆者借此機會與學生探討了冪為有理數的二項式展開，即牛頓二項式定理.1665年，牛頓將二項式定理推廣到有理指數的情形，于是有了方法4.

方法4適用于所有冪為有理數的二項式.在和學生共同探討了四種方法后，學生的積極性大增，想要探索出更多的可能性.筆者引導學生思考麥克勞林級數的實質是用多項式去逼近，因此，目標是找到一個多項式，如果假設這個多項式存在，需要確定的就是多項式的系數，由此想法產生了方法5.

利用等式兩側的同次項系數都要相等，可以得到

a0=1

a1-a0=0

a2-a1=0

?

an-an-1=0

?

∴a0=a1=a2=…=1，

面對同一道例題的五種不同方法，學生有了更多的選擇，逐步消除對麥克勞林級數的畏懼心理.以這五種方法得到的結論為基礎，筆者引導學生思考，衍生出更多的麥克勞林級數，于是有了方法6.

方法6(變量代換法):變量代換的思想是一種重要的數學思維方法，可以化繁為簡，變未知為已知，大大拓寬了學生的思路，提高了學生學習的積極性.

在使用變量代換法的時候，學生容易犯一個錯誤，下面舉例說明.

方法6可用于所有已知麥克勞林級數的推廣，將已知麥克勞林級數中的變量進行代換，就可以得到新的麥克勞林級數.同時，方法6也適用于復合函數求麥克勞林級數.筆者抓住時機引導學生觀察未知與已知之間的區別及聯系，通過觀察分析得到了方法7和方法8.

方法7適用于所求函數正好是已知麥克勞林級數的導數.例如，對sinx的麥克勞林級數求導可以得到cosx的麥克勞林級數.

微積分是DP 12數學教學的重點，學生很容易類比逐項求導法聯想到是不是也有逐項積分法.

例5求f(x)=ln(1-x)的麥克勞林級數.

方法8適用于所求函數是已知麥克勞林級數的積分.

在與學生探討了單個函數的麥克勞林級數后，很自然地過渡到兩個及以上函數的加、減、乘、除的麥克勞林級數，從而產生了方法9.

例6求f(x)=exsinx的麥克勞林級數.

方法9(四則運算法)：利用已知級數的加、減、乘、除可以得到新的麥克勞林級數.

方法9適用于已知麥克勞林級數之間的加、減、乘、除.

在DP 11的數學教學中，復數的地位相當重要，復數的概念以及分類等內容能提升學生數學抽象以及邏輯推理的核心素養，利用兩個復數相等的條件以及棣莫弗公式可以求某些函數的麥克勞林級數,方法很簡捷.筆者引導學生思考如何用復數的方法推導出三角函數的二倍角公式，采用類比的方法遷移到例6中，于是有了方法10.

方法10(復數法)：例6還可以通過復數法解答，利用兩個復數相等，實部要和實部相等，虛部要和虛部相等.

學生常對復數法的絕妙拍案叫絕.DP的復數教學相對于國家課程要求更高，例如對于有限項級數的和acosx+a2cos2x+a3cos3x+…+ancos(nx)，要求學生能構造出acisx+a2cis2x+a3cis3x+…+ancis(nx)，逆向運用棣莫弗公式將其轉化為acisx+(acisx)2+(acisx)3+…+(acisx)n,然后利用等比數列的求和公式和復數的共軛將其化簡，最后利用實部與實部相等得到有限項級數的和.整個過程需要學生在已有的基礎知識上，有意識地建立起新舊知識間的聯系，通過演繹推理得到新舊知識間的邏輯關系.

方法10非常巧妙，可以一舉兩得，讓學生體會到數學的和諧簡單之美.復數與三角函數以及向量的聯系十分緊密，復數法主要適用于求解三角函數的麥克勞林級數，也適用于求解三角函數與指數函數共同構成函數的麥克勞林級數.

積分的章節介紹了對有理函數進行裂項后再積分，筆者引導學生思考有理函數的麥克勞林級數是否也可以采用裂項法，下面介紹方法11.

方法11適用于所有可裂項的有理函數.裂項后通常還要用到變量代換法，即方法11通常要和方法6聯合起來使用.

在對數函數的求導教學中，總結出的準則是先利用性質化簡，然后結合導數的四則運算法則和復合函數求導法則進行求導.筆者引導學生思考對數函數的麥克勞林級數是否也遵循先化簡的原則，由此想法引出方法12.

然后利用變量代換法就可以求出麥克勞林級數，這里不再展開.

由此可見，根據函數的特點以及性質進行變形，選擇恰當的形式，靈活選取公式可以大大簡化計算過程.方法12主要適用于求解對數函數的麥克勞林級數，以及求解三角函數中能利用三角恒等式轉化為已知麥克勞林級數的類型.

在介紹分部積分時，有一類函數(例如exsinx)在多次分部積分后具有規律性，積分之后產生的一部分和原式一樣，筆者引導學生思考求導之后的函數是否也有循環，于是產生了方法13.

例9求f(x)=esinx的麥克勞林級數.

方法13(鏈式法則):利用鏈式法則對f(x)=esinx兩邊關于x求導可以得到f′(x)=esinx·cosx=f(x)·cosx.對上式兩邊關于x求導可以得到f″(x)=f′(x)·cosx+f(x)(-sinx)=f′(x)·cosx-f(x)·sinx，對上式兩邊關于x求導可以得到f?(x)=f″(x)·cosx-f′(x)·sinx-[f′(x)·sinx+f(x)·cosx]，化簡得f?(x)=f″(x)·cosx-2f′(x)·sinx-f(x)·cosx.對上式兩邊關于x求導可以得到f(4)(x)=f?(x)·cosx-f″(x)·sinx-2[f″(x)·sinx+f′(x)·cosx]-[f′(x)·cosx-f(x)·sinx].

化簡得f(4)(x)=f?(x)·cosx-3f″(x)·sinx-3f′(x)·cosx+f(x)·sinx,

…

如此一直下去，可以得到

f(0)=1，f′(0)=1，f″(0)=1，f?(0)=0，f(4)(0)=-3，…

方法13適用于求導后具有規律性的函數，求導之后產生的一部分和原式一樣，這樣可以用原式替代這一部分，然后在替代后的微分方程兩邊求導，如此一直下去，最后結合定義法就能得到麥克勞林級數.

三、 結語

為了讓學生能更加深刻地理解麥克勞林級數，消除畏懼心理，切實體會到麥克勞林級數的美，筆者在麥克勞林級數的教學中以數學概念的抽象過程為載體，借助數形結合讓學生親身經歷研究一個數學對象的基本過程，使學生在探究問題的過程中從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質變，親身體驗數學概念形成的過程.同時，總結出的13種方法之間充滿關聯，前后呼應.整個過程中，學生在教師的指導下積極思維，貫通思路，加強理解，最終達到運用自如的目的.