從“中點的聯想”入手 培養學生問題解決能力
——初中數學課堂中解構復雜圖形的嘗試

201100 上海市莘松中學 楊玲慧

一、 背景分析

問題是數學的心臟.初中數學教育的本質，從某方面而言，是為了培養和提高學生問題解決的能力.國際學生評估項目PISA自開展以來一直注重測評數學核心素養中的學生問題解決能力.PISA評價委員會認為，數學問題解決能力的培養，不只是看學生掌握的數學知識水平的高低，還要關注學生的思維能力和邏輯推理能力，更應該關注學生數學問題解決的過程.也就是說，問題解決能力是一種思維習慣或者思維范式，它是一種能夠科學地解決問題的有效方法，這種能力應當成為現代人的一種必備的科學素養和基礎能力，是學生能力培養的核心，為學生的可持續發展服務.筆者所在的學校是一所公辦初中，學生的數學基礎參差不齊，差異性較大.究其原因，主要有以下幾個方面.

第一，部分學生的學習習慣較差，不會及時梳理學過的知識.

第二，部分學生對數學學習的興趣不大，課堂上不能認真、積極地思考.

第三，部分學生遇到問題時不會積極尋找解決路徑，而是經常選擇放棄.

這些原因實際體現了學生問題解決能力的匱乏.因為沒有找到行之有效的問題解決的一系列思維方式，學生才會沒有學習的內驅力，不得不選擇放棄.數學課堂是數學教學的主陣地，在平時的課堂教學中，筆者一直致力于研究如何通過解構復雜的幾何圖形，提高學生的問題解決能力.筆者以“線段的中點”為抓手，闡述如何引導學生從“中點的聯想”切入，恰當地利用中點和處理與中點有關的問題.

二、 中點的聯想

(一)建立中點模型

中點是將一條線段等分成兩部分的特殊點，要想利用好中點解決有關幾何圖形問題，首先必須掌握中點的性質及與中點相關的幾個常用模型.

1.八字全等模型

當已知條件中出現三角形的中線時，常常將此中線倍長構造全等三角形解決問題.

模型解讀：如圖1，在△ABC中，D為BC中點，延長AD到E使AD=DE，聯結BE，則有△ADC≌△EDB.

圖1

作用：可以利用全等三角形的性質轉化相等的線段和相等的角.

2.“三線合一”模型

當圖形中出現等腰三角形時，常隱含有底邊中點，將其與頂角的頂點聯結，可構成等腰三角形的三線合一.

模型解讀：如圖2，在△ABC中，①AB=AC；②AD平分∠BAC；③BD=CD，④AD⊥BC.

圖2

“知二得二”：例如由①②作為條件可得結論③④，又如將②③作為條件，就可利用構造“八字全等模型”證明得出結論①④.也就是說，以上四條語句中，任意選擇兩條作為條件，就可以推出其余兩條結論.

作用：可以利用“三線合一”模型證明相等的線段或相等的角、半角倍角以及兩條直線的垂直關系.

3.斜邊中線模型

當中點出現在直角三角形的斜邊上時，就可以利用直角三角形斜邊中線定理(直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊的一半).

圖3

此定理的證明也是利用了倍長中線構造“八字全等模型”完成的.

作用：可以利用“斜邊中線模型”證明相等的線段或求解線段的長，還可以構建等角關系，實現等角轉換.

4.中位線定理模型

當已知條件中同時出現兩個及以上中點時，?？紤]構造中位線；或當出現一個中點，要求證明平行線段或線段倍分關系時，也常考慮構造中位線.

圖4

此定理也是利用了中點構造“八字全等模型”后構建了平行四邊形完成證明.

作用：可以利用“中位線定理模型”證明平行線段或線段倍分關系，還可以構建相似三角形獲得相關線段長的比例關系.

(二)學生問題梳理

單有這些數學模型并不能達到真正問題解決的目的.由于每一位學生都有各不相同的知識體驗和生活積累，在解決問題的過程中，他們會有自己對問題的理解，所以學生在思考問題時所遇到的困難并不是單一的，而會出現各種不同的情況.

1.目標指向單一

學生學習幾何的現狀是能做幾何單一圖形題(例如已知線段AB的中點為C，求證AC=BC；當AB=5時，求AC；已知中位線求其第三邊等)，在圖形給出、線條單一的情況下，基本能夠獨立解決問題.但是隨著幾何學習的不斷深入，圖形的復雜度也會不斷增加，這使學生的問題解決更顯困難.即使題設中有中點的條件，但不同的中點模型可以解決不同類型的問題，幾種模型之間又可以相互關聯應用.事實上，“三線合一”模型、“斜邊中點”模型、“中位線定理”模型都是由“八字全等”模型轉化證明而得，但是很多學生卻只會單一知識點的應用，不會靈活合理地關聯知識點，無法將相關知識點運用到當前的問題情境中，這體現出學生知識結構的缺失或者雜亂無章.

2.不會關聯條件

中點的條件常常隱含在一定的情境中，需要學生自行挖掘后表征出來，才能轉化為合理的模型進行應用.

例如，如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3,AC=4,點D為邊AB上一點.將△BCD沿直線CD翻折，點B落在點E處，聯結AE.如果AE∥CD，那么BE=________.

圖5

此題的關鍵就是要利用翻折的性質發現線段BE被CD垂直平分，即BE與CD的交點是線段BE的中點，根據平行線得到點D是邊AB的中點(中位線模型)，再由直角三角形斜邊中線模型完成等角的轉化，進而實現銳角三角比的轉化來求解.然而在實際操作中，學生不會將翻折得到的中點與已知的平行線關聯，也就無法利用中位線定理模型表征出點D是斜邊AB的中點，解決問題的關鍵戛然而止.

3.不會還原模型

有些情況下，需要添加一條或幾條輔助線才能還原幾何圖形中蘊含的基本模型，進而解決問題，而模型只是給出了幾何圖形的基本框架，這就需要學生對自己的數學問題解決過程有一定的反思和調控.根據現有的條件，這樣添加輔助線行不行？那樣連線又會得到哪些結論？對目標問題解決有沒有幫助？如果學生平時數學元認知水平低下，就不會根據條件分析問題，從而聯想出問題解決所需的幾何模型.

三、 以學生視角入手，培養問題解決能力

(一)完善認知結構

所謂認知結構是指人關于現實世界的內在的編碼系統，是一系列相互關聯的、非具體性的類目，它是人用以感知、加工外界信息以及進行推理活動的參照框架.學生的認知結構，簡單來說就是學生頭腦中已有的知識結構.德國拓撲心理學家K.勒溫指出：學習是認知結構的變化，這個變化表現為分化、概括化與再組織三種方式.學生掌握的知識點單一，不會靈活應用數學模型，不會關聯知識點，其重要的原因就是缺乏對知識點的深刻理解，沒有把幾何模型與問題關聯起來進行重新組織，也就找不到問題的突破口.怎樣才能讓學生深刻理解知識點？可以從不斷完善學生的認知結構做起.要讓學生經歷知識框架的形成過程.例如，對于中點模型的構建，可以通過設置問題情境的形式，以中點條件為起點引導學生不斷累加其他條件進行適切的聯想.而學生也會根據原有的認知結構中不同類別的幾何圖形進行聯想，由中點加等腰聯想到“等腰三角形的三線合一”，由中點加直角三角形聯想到“直角三角形斜邊上的中線定理”，由中點加中點聯想到“三角形或梯形的中位線定理”，由中點加平行四邊形聯想到“中心對稱的全等三角形”.整個學習活動是一個“順應”的過程，它不是知識的簡單積累，而是學生在聯想的過程中通過對原先頭腦中的點狀知識進行分化、概括、梳理、重新組織構建的過程，是認知結構在不斷發生變化的過程.《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出：“數學教學活動中，學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者，引導者.”只有讓學生在課堂中主動經歷了新舊知識變化和關聯的形成過程，才能讓學生完善自己的認知結構，真正理解數學知識點不是單一的，而是可以指向不同路徑，不同的路徑也是可以關聯的，學生才愿意由單點指向多點地發展自己的思維過程，多角度尋求問題解決的突破口.

(二)引導問題表征

問題表征是指問題狀態在問題解決者的頭腦中是如何呈現的.它反映了學生對問題的理解程度，涉及在問題情境中如何提取有關信息，包括目標是什么，目標和當前狀態的關系等.問題表征方式不同，就會產生不同的解決方案.如果不能恰當地進行問題表征，在一個錯誤的問題空間搜索，就無法解決問題.上述例子中，學生不能很好地關聯問題中的條件，不能把圖形中隱藏的中點D挖掘出來，就是因為學生在問題表征時沒有沿著合理的表征方式進行說明，導致問題無法繼續進行.所以，課堂上引導學生正確問題表征是問題解決的關鍵.教師可以通過小組討論交流、設問解惑的過程循序漸進地達到問題解決的目的.針對上述例子，筆者在課堂上給予學生足夠的時間讀題和思考后，拋出了以下問題鏈.

問題1你目前讀題讀到了怎樣的信息？

問題2這些信息讓你聯想到了什么？

問題3你對這個發現如何處理？

問題4這樣處理能解決問題嗎？

帶著這些問題，讓學生在小組內交流自己的想法，逐步讓問題表征走向明朗化、合理化，具體如下.

表征方式1(如圖6所示)

圖6

問題1你目前讀題讀到了怎樣的信息？→我讀到了“△BCD沿直線CD翻折，點B和點E是對稱點”.

問題2這些信息讓你聯想到了什么？→聯想到了“線段BE被CD垂直平分，即BE與CD的交點H是線段BE的中點”.

問題3你對這個發現如何處理？→我準備將這個中點與另一個條件“AE∥CD”相結合，利用比例線段得到點D是斜邊AB的中點.

問題4這樣處理能解決問題嗎？→這樣可以利用“斜邊中線模型”實現等角轉化，即∠DBC=∠DCB,再利用銳角三角比可求出BE長的一半.

表征方式2(如圖7所示)

圖7

問題1你目前讀題讀到了怎樣的信息？→我讀到了“△BCD沿直線CD翻折，點B和點E是對稱點”.

問題2這些信息讓你聯想到了什么？→聯想到了“△BCD≌△ECD”.

問題3你對這個發現如何處理？→我準備根據全等三角形性質得到DE=DB,∠EDC=∠BDC,再由另一個條件“AE∥CD”得內錯角相等，同位角相等，實現等角轉化，即∠AED=∠EAD,再得DE=DA,于是可轉化為DB=DA,也就是說點D是斜邊AB的中點.

問題4這樣處理能解決問題嗎？→這樣可以利用“斜邊中線模型”實現等角轉化，即∠DBC=∠DCB,再利用銳角三角比可求出BE長的一半.

愛因斯坦說，“提出一個問題往往比解決一個問題更重要”；“只有善于發現問題和提出問題的人，才能產生創新的沖動”.在一個個引導進一步思維的問題的指引下，學生利用頭腦中的數學認知結構，把分散的條件逐漸關聯起來，逐步走向正確的問題表征，為問題的成功解決打好了基礎.如果學生長期經歷這樣以問題鏈促問題表征的訓練，自然而然會構建一個良好的問題結構，不僅可以減少問題解決的盲目性，而且有助于培養克服困難的品質，發展探索精神，形成數學思維方式，提高問題解決能力.

(三)提升元認知力

什么是元認知？元認知就是認知主體對其認知活動的自我意識、自我監控和自我調節.傳統的教學模式提倡“題海戰術”“熟能生巧”，導致學生在嘗試一種解決策略進入死胡同時，不能及時反思、及時自我調控而陷入不知所措的局面，于是也無法再對問題進行重新表征，無法解決問題.復雜的幾何圖形往往需要添加一條甚至幾條輔助線，才能從中解構出圖形中蘊含的基本的幾何模型.這些問題難就難在要添加怎樣的輔助線.眾所周知，輔助線添加得巧妙與否，直接決定了問題解決的可能性、時效性、便捷性.添加不當的輔助線有可能使問題解決的策略復雜化，甚至陷入僵局而無法自拔.所以，需要提升學生的元認知能力，做到邊思考方法，邊反思調整.

以如下題目為例進行闡釋.

如圖8，已知在△ABC中，AB=AC，CM平分∠ACB交AB于M，AD⊥BC于D,ME⊥BC于E，MF⊥CM于M且交BC于F.CF=10，求DE的長.

圖8

顯然，此問題的題干中條件比較多，需要關聯條件去溝通DE與CF的關系，依照問題鏈的思維方式鼓勵學生列出問題表征.

表征1AB=AC，AD⊥BC?BD=CD，AD平分∠BAC.

表征2AD⊥BC，ME⊥BC?ME∥AD.

表征3MF⊥CM，CM平分∠ACB?.

……

學生邊自問“這樣關聯條件可行嗎？”“這樣做的目的是什么？”“還有其他方式考慮嗎？”邊進行問題表征，一連串的反思自問實際上就是開發元認知的過程.通過反思與監控發現，表征1與表征2是單一的知識點，很容易得到，但是還無法溝通DE與CF的關系，表征3有一條角平分線CM，且CM還是垂線，根據學生的認知結構立刻能聯想到“三線合一模型”，于是延長FM和CA交于點G(如圖9所示)，等腰△CFG就誕生了，點M是FG的中點.繼續聯想，反思，發現再取CG的中點N構建“中位線模型”(如圖10所示)，就可以在DE與CF之間搭建一座溝通的橋梁，DE的長度也就不難求得了.問題的思維過程是一個有機整體，在對復雜問題進行表征的同時，必須要對整個思維過程反復監控，不斷反思，才能讓問題表征更加合理化，讓問題解決過程從模糊變得清晰.讓反思成為學生的一種學習習慣，有助于培養學生的自主意識和反思能力，提升元認知水平.

圖9

圖10

四、 反思與感悟

“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”.讓學生親歷和完善自己的數學認知結構，培養以問題鏈促問題表征的思維方式，養成在問題解決過程中不斷自我監控和反思的習慣，在問題解決過程中形成一些基本的策略和路徑，學生解構復雜圖形的能力提高了，成功體驗到了通過自己主動研究學習后解決問題的快樂，學習數學的興趣自然就提高了，數學課堂教學會變得更加輕松.當然，數學活動的主體是學生，教師必須從學生的視角入手，分析學生問題解決困難背后的各種原因，才能“對癥下藥”，找到能夠有效幫助學生解決問題的不同策略.