“兩圖”相輝映 “四招”定乾坤

215616 江蘇省張家港市妙橋中學(xué) 陳 冬

中考數(shù)學(xué)卷里常常會出現(xiàn)這樣一類題，幾何圖形和函數(shù)圖形同時出現(xiàn)在一道題里，相得益彰.筆者擷取此類以選擇題或填空題形式出現(xiàn)的題，具體剖析其難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)及破解方法.

一、 由幾何圖形的特征來確定函數(shù)圖像的特性

例1(2021內(nèi)蒙古通遼中考) 如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，動點(diǎn)P，Q同時從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P沿A→B→C的路徑運(yùn)動，點(diǎn)Q沿A→D→C的路徑運(yùn)動，點(diǎn)P，Q的運(yùn)動速度相同，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動，聯(lián)結(jié)PQ.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動路程為x，PQ2為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖像大致是( )

評析：本例考查了由兩動點(diǎn)所引發(fā)的PQ2的不同計算方式，由此得出PQ2即y隨x變化的不同函數(shù)關(guān)系式，于是可畫出不同的函數(shù)圖像.解這道題的關(guān)鍵是牢牢抓住點(diǎn)P只可能在矩形ABCD的兩條邊AB，BC上運(yùn)動，點(diǎn)Q只可能在矩形ABCD的兩條邊AD，DC上運(yùn)動.由于矩形ABCD中AB=DC=4，AD=BC=3，而動點(diǎn)P，Q都同時從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P的運(yùn)動路徑為A→B→C，點(diǎn)Q的運(yùn)動路徑為A→D→C，又點(diǎn)P，Q的運(yùn)動速度相同.為此，必須從三個角度來分析出點(diǎn)P，Q的準(zhǔn)確位置，即0≤x≤3時，如圖1，點(diǎn)P在邊AB上，點(diǎn)Q在邊AD上；3≤x≤4時，如圖2，點(diǎn)P在邊AB上，點(diǎn)Q在邊DC上；4≤x≤7時，如圖3，點(diǎn)P在邊BC上，點(diǎn)Q在邊DC上.由此根據(jù)勾股定理分別計算出PQ2即y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式判斷出相應(yīng)的圖像.

圖2圖3

解答：在Rt△APQ中，∠QAP=90°.當(dāng)0≤x≤3時，AP=AQ=x(如圖1所示),由勾股定理可得y=PQ2=AP2+AQ2=x2+x2=2x2；當(dāng)3≤x≤4時，DQ=x-3，AP=x(如圖2所示),過點(diǎn)Q作QE⊥AB于E，則AE=DQ=x-3，QE=EP=3，由勾股定理可得y=PQ2=QE2+EP2=32+32=18；當(dāng)4≤x≤7時，CP=7-x，CQ=7-x(如圖3所示),由勾股定理可得y=PQ2=CP2+CQ2=(7-x)2+(7-x)2=49-14x+x2+49-14x+x2=2x2-28x+98.

綜上可知，0≤x≤3時，此函數(shù)為二次函數(shù)且開口向上；3≤x≤4時，此函數(shù)為常數(shù)函數(shù)；4≤x≤7時，此函數(shù)為二次函數(shù)且開口向上.所以本題應(yīng)選C.

例2(2021山東聊城中考) 如圖4，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB與CD之間的距離為4，AD=5，CD=3，∠ABC=45°，點(diǎn)P，Q同時由A點(diǎn)出發(fā)，分別沿邊AB，折線ADCB向終點(diǎn)B方向移動，在移動過程中始終保持PQ⊥AB，已知點(diǎn)P的移動速度為每秒1個單位長度，設(shè)點(diǎn)P的移動時間為x秒，△APQ的面積為y，則能反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖像是( )

評析：本例同樣考查了由兩動點(diǎn)所引發(fā)的△APQ面積的不同計算方式，由此得出△APQ的面積y隨x變化的不同函數(shù)關(guān)系式，依據(jù)不同函數(shù)關(guān)系式可畫出不同的函數(shù)圖像.從本例來看，解決問題的關(guān)鍵還是要牢牢抓住點(diǎn)P只在梯形ABCD的邊AB上運(yùn)動，點(diǎn)Q則可能在梯形ABCD的三條邊AD，DC，CB上運(yùn)動.為此，可依據(jù)點(diǎn)Q可能出現(xiàn)的位置分別從三個角度求△APQ的面積，于是便得出△APQ的面積y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式即可判斷出相應(yīng)的圖像.

綜上可知，0≤x≤3時，此函數(shù)為二次函數(shù)且開口向上；3

圖6圖7

招式1：兩道例題均為動點(diǎn)問題，涉及的幾何圖形一般為圓、四邊形(如正方形、矩形、菱形、平行四邊形、梯形等)、三角形(等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，動點(diǎn)往往沿著這些幾何圖形的邊、對角線或某一條線運(yùn)動，問題的關(guān)鍵在于動點(diǎn)可能會出現(xiàn)在多個位置上.因此，必須學(xué)會采用分類討論思想，對于動點(diǎn)可能出現(xiàn)的所有情況畫出相應(yīng)的幾何圖形，找出對應(yīng)的取值范圍，利用幾何圖形的性質(zhì)計算出不同的函數(shù)關(guān)系式，這樣就可以自然地畫出不同函數(shù)關(guān)系式所對應(yīng)的函數(shù)圖像了.

二、 由函數(shù)圖像的特征來確定幾何圖形的特性

例3(2021甘肅定西中考) 如圖8，在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于點(diǎn)D(AD>BD).動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，沿折線AB→BC方向運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)C停止.設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動路程為x，△AMD的面積為y，y與x的函數(shù)圖像如圖9所示，則AC的長為( )

A．3 B．6 C．8 D．9

圖8圖9

①+2×2得AD2+BD2+2AD×BD=13+2×6=25，∴(AD+BD)2=25，∴AD+BD=5(負(fù)值舍去) ③.

①-2×2得AD2+BD2-2AD×BD=13-2×6=1，∴(AD-BD)2=1，∴AD-BD=1(AD>BD，負(fù)值舍去) ④.

③+④解得AD=3，∴AC=2AD=6.因此,本題正確答案應(yīng)為B.

例4(2021河南中考) 如圖10，矩形ABCD中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿BC從點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)C，設(shè)B，P兩點(diǎn)間的距離為x，PA-PE=y，圖11是點(diǎn)P運(yùn)動時y隨x變化的關(guān)系圖像，則BC的長為( )

圖10圖11

A．4 B．5 C．6 D．7

評析：從本例中的圖11來看，第一個關(guān)鍵點(diǎn)是當(dāng)x=0時，y=1，其實結(jié)合圖10來看，就是動點(diǎn)P在點(diǎn)B位置，此時PA-PE=y，即為BA-BE=1 ①.再看圖11中的第二個關(guān)鍵點(diǎn)，圖像顯示是最高點(diǎn)，即此時PA-PE=y取得最大值為5，結(jié)合圖10及三角形三邊關(guān)系知，只有當(dāng)動點(diǎn)P與中點(diǎn)E重合時，即PA-PE=AE=y=5.根據(jù)已知矩形ABCD易知∠B=90°，由勾股定理得AB2+BE2=AE2=25 ②.將①②聯(lián)立成一個二元二次方程組，解這個方程組可求出BE的值，由點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)知BC=2BE，即可得出BC的長度.

解答：由圖10和圖11知當(dāng)x=0時，即點(diǎn)P在點(diǎn)B的位置，BA-BE=1 ①.

在△PAE中，有PA-PE

由①得BA=BE+1 ③.

將③代入②得(BE+1)2+BE2=25,即BE2+BE-12=0，(BE+4)(BE-3)=0，BE+4=0或BE-3=0,BE=-4(舍去)或BE=3.∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BC=2BE=2×3=6.

因此，本題正確答案應(yīng)為C.

招式2：兩例均有一幅幾何圖形(三角形、四邊形等)和一幅由幾何圖形上點(diǎn)的運(yùn)動而繪制出的函數(shù)圖像.函數(shù)圖像一般簡單明了，但面對并不復(fù)雜的函數(shù)圖像，學(xué)生往往不知所云，無從著手，問題的關(guān)鍵在于函數(shù)圖像上的點(diǎn)和數(shù)據(jù)預(yù)示著什么.因此，必須學(xué)會讀懂關(guān)鍵點(diǎn)和數(shù)據(jù)，將關(guān)鍵數(shù)據(jù)“放入”幾何圖形中去，利用某些幾何圖形(等腰三角形、直角三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形等)的性質(zhì)研究和計算出邊、角間存在的某些關(guān)系，有時再借助方程、方程組等可以更順利地解決此類問題.

三、 兩圖相得益彰，“全局”來把控

例5(2021廣西玉林中考) 如圖12，在Rt△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿三角形的邊以1厘米/秒的速度逆時針運(yùn)動一周，如圖13所示是點(diǎn)P運(yùn)動時，線段AP的長度y(cm)隨運(yùn)動時間x(秒)變化的關(guān)系圖像，則圖13中點(diǎn)P的坐標(biāo)是( )

圖12圖13

A．(13，4.5) B．(13，4.8)

C．(13，5) D.(13，5.5)

評析：觀察圖13的函數(shù)圖像，可以發(fā)現(xiàn)其由三段組成.根據(jù)題意“點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿三角形的邊逆時針運(yùn)動一周”知，點(diǎn)P的運(yùn)動路徑為A→B→C→A，即點(diǎn)P分別在線段AB，BC，CA上運(yùn)動.將兩圖結(jié)合起來看，圖13中的三段恰好對應(yīng)圖12中的三條線段AB，BC，AC，于是由題意和圖13可得AB=8，BC=10.與此同時，從圖13中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為13可知，點(diǎn)P正好為線段BC的中點(diǎn)，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，可求得此時線段AP的長度，即y的值，則圖13中點(diǎn)P的坐標(biāo)便可求得.

例6(2021山東菏澤中考) 如圖14，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x軸，直線y=2x+1沿x軸正方向平移，在平移過程中，直線被矩形ABCD截得的線段長為a，直線在x軸上平移的距離為b，a，b間的函數(shù)關(guān)系圖像如圖15所示，那么矩形ABCD的面積為( )

招式3：這兩道例題風(fēng)格稍有不同，但有共同之處，其綜合性均較強(qiáng).尤其是例6對學(xué)生而言更具挑戰(zhàn)性，如何畫出與函數(shù)圖像相對應(yīng)的圖形，是解決此類問題的關(guān)鍵所在和難點(diǎn).因此，必須學(xué)會把握問題的整體與局部，看清幾何圖形中動點(diǎn)運(yùn)動的整個路徑和某些特殊位置，讀懂函數(shù)圖像所描述的動點(diǎn)運(yùn)動軌跡及每個數(shù)據(jù)的真實內(nèi)涵，真正理解幾何圖形和函數(shù)圖像的相得益彰、相互闡述，用全面、準(zhǔn)確的辯證唯物主義觀點(diǎn)來思考問題、研究問題、解決問題.

四、 兩圖不離不棄，“最值”細(xì)思量

例7(2021湖南衡陽中考) 如圖17，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，P，Q兩點(diǎn)同時從O點(diǎn)出發(fā)，以1厘米/秒的速度在菱形的對角線及邊上運(yùn)動．點(diǎn)P的運(yùn)動路線為O-A-D-O，點(diǎn)Q的運(yùn)動路線為O-C-B-O．設(shè)運(yùn)動的時間為x秒，P、Q間的距離為y厘米，y與x的函數(shù)關(guān)系的圖像大致如圖18所示，當(dāng)點(diǎn)P在A-D段上運(yùn)動且P、Q兩點(diǎn)間的距離最短時，P、Q兩點(diǎn)的運(yùn)動路程之和為________厘米．

解答：由圖17和圖18可知，當(dāng)點(diǎn)P從O向A運(yùn)動時，點(diǎn)Q從O向C運(yùn)動時，y的值不斷增大.

如圖19，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，反向延長OF交AD于E，此時易得OE⊥AD.

當(dāng)點(diǎn)P在A-D段上運(yùn)動，點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)E處，點(diǎn)Q在C-B段上運(yùn)動，點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)F處時，P、Q兩點(diǎn)的距離最短.

例8(2021湖北武漢中考) 如圖20，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，邊AB上的點(diǎn)D從頂點(diǎn)A出發(fā)，向頂點(diǎn)B運(yùn)動，同時，邊BC上的點(diǎn)E從頂點(diǎn)B出發(fā)，向頂點(diǎn)C運(yùn)動，D，E兩點(diǎn)運(yùn)動速度的大小相等，設(shè)x=AD，y=AE+CD，y關(guān)于x的函數(shù)圖像如圖21所示，圖像過點(diǎn)(0，2)，則圖像最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是________．

評析：觀察如圖21所示的函數(shù)圖像，根據(jù)題意y=AE+CD及圖像經(jīng)過點(diǎn)(0，2)，可知y=AB+AC=2，由AB=AC即可得出AB=AC=1.因為D，E兩點(diǎn)運(yùn)動速度的大小相等，可以通過構(gòu)造△NBE≌△CAD(如圖22所示)將線段CD移到線段NE處，則y=AE+CD變成y=AE+NE，由題意“圖像最低點(diǎn)”，即y取得最小值知，只有A，E，N三點(diǎn)共線，然后可以利用構(gòu)造△NBE∽△AFE(如圖22所示)，求出圖像最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的值.

招式4：這兩道例題以雙動點(diǎn)為載體，嵌入“最值”，使問題的難度陡增，是典型的填空式壓軸題.從這兩例的解答來看，主要還是利用特殊四邊形(如菱形等)、全等三角形和相似三角形等的性質(zhì)，但問題的關(guān)鍵是如何找出這個“最值”.遇到這種情況，需要對“最值”作一梳理，線段的最值問題主要有定點(diǎn)到定點(diǎn)(聯(lián)結(jié)線段，理由是兩點(diǎn)之間線段最短)，定點(diǎn)到定線(作垂線段，理由是垂線段最短).解決這類幾何最值問題的主要方法是轉(zhuǎn)化，通過分析變化過程中的不變特征，利用幾何變換、圖形性質(zhì)等手段對所求量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造出符合幾何最值問題理論依據(jù)的基本結(jié)構(gòu)，進(jìn)而解決問題.