構(gòu)造向量求數(shù)列的和

215600 江蘇省梁豐高級中學(xué)

江蘇省張家港市羅建宇名教師工作室 趙穎穎

向量是溝通幾何與代數(shù)的橋梁，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題的基礎(chǔ)[1].在中學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，向量常作為工具來解決幾何問題，也能解決一些代數(shù)問題，向量的運(yùn)用多見于等式、不等式、函數(shù)等問題(參見文[2]-文[9]).筆者構(gòu)造向量求幾類典型數(shù)列的和，作為向量在解決代數(shù)問題中的補(bǔ)充，用以倡導(dǎo)在高中數(shù)學(xué)知識間進(jìn)行相互論證，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)力.

一、 構(gòu)造向量推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

問題1設(shè)數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

解析：當(dāng)d=0時(shí)，易得.下面推導(dǎo)當(dāng)d≠0時(shí)的求和公式.

評注：從向量的視角看，等差數(shù)列對應(yīng)向量的加減法運(yùn)算，問題1的解決是在構(gòu)造向量的基礎(chǔ)上，結(jié)合向量的模的計(jì)算得以推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.類似地，利用上述對向量的模的計(jì)算方法，可以求數(shù)列{nm}(m∈N*)的前n項(xiàng)和，簡析如下.

二、 構(gòu)造向量推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式

問題2設(shè)數(shù)列{an}是公比為q的等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

解析：當(dāng)q=1時(shí)，易得.下面推導(dǎo)當(dāng)q≠1時(shí)的求和公式.

三、 構(gòu)造向量求“等差×等比”數(shù)列前n項(xiàng)和

問題3設(shè)數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和.

解析：同上，這里只需解析當(dāng)q≠1時(shí)的求和.

評注：問題3的解決常用經(jīng)典的“錯(cuò)位相減法”求和，這里是在構(gòu)造向量的基礎(chǔ)上綜合運(yùn)用有關(guān)向量的線性表示，結(jié)合向量數(shù)量積運(yùn)算求得“等差×等比”數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.