比對試題悟真知 追尋結構“道”歸來

510800 廣州市花都區第二中學 楊偉達

511316 廣州市增城區荔城中學 林樹宏

在解題教學中，如何提高學生的解題效率？相關問題一直困擾著數學教育工作者.筆者舉例進行探究.

一、 試題呈現

例1(2019屆廣州市高三調研測試理-17) 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cos2B-cos2C=sin2A+sinAsinB.

(1)求角C的大小.

圖1

(1)當PB是⊙O的切線時，求證：∠PBD=∠DAB.

(2)求證：BC2-CE2=CE·DE.

(3)已知OA=4，E是半徑的中點，求線段DE的長．

二、 比對求同，架接聯系，構建知識網絡

比對上述兩道題，例1是一道高中數學試題，主要考查了有關解三角形的綜合內容；例2是一道初中數學試題，主要考查了有關圓的綜合知識，觀察兩題，筆者發現了一個關聯結構，例1為□2-△2=○2+△○，例2為□2-△2=△○．觀察、比對結構式，發現等式左右兩邊形式相似，分析思路類似，只是選取的角度不同(一道題作為已知條件，以角的形式出現；而另一道題作為證明結論，以線段的形式出現).需要對試題的這種結構進一步逐層分析，直到滿足已知條件為止，這樣問題即可完美解決．

三、 比對求異，拓寬視野，尋找最優解法

(一)對于例1

對于例1已知部分的□2-△2=○2-△○這一結構，即cos2B-cos2C=sin2A+sinAsinB.

分析1：移項后得□2=△2+○2-△○，比對這一結構，發現與一個公式類似，不妨先將角變為邊，再用余弦定理解答即可.這也體現出命題專家考查學生的初衷.

分析2：左邊是□2-△2，化簡為(□+△)(□-△)，觀察發現，許多學生將其變成□+△或□-△時不能再繼續化簡，而個別學生發現消元后化簡(消去∠A)即可，但涉及積化和差、和差化積、倍角公式及三角形內角和公式等，化簡運算比較繁雜，需要較高的運算技巧.

分析3：先用降冪公式，把2次式降為1次式，即為■1-▲1=●1+▲●，再用和差化積、三角形內角和公式，消元后(消去∠A)化簡，對技巧要求較高，不少學生對此感到膽怯，不能再繼續化簡.

(二)對于例2

對于例2求證部分的□2-△2=△○這一結構，即BC2-CE2=CE·DE.

思考1直接用平方差公式化簡為(□+△)·(□-△)，觀察圖1，發現找不到合適的線段替換□+△或□-△，所以這種情況不可能.

思考2將△○換成☆2，變成勾股定理□2-△2=☆2，在三角形中找直角，觀察發現，圖1中找不到直角，所以這種情況也不可能.

思考3移項后變成□2=△2+△○，最后得□2=△(△+○)．觀察圖1，可以找到一條線段☆替代△+○，即變為□2=△☆，變形后線段成比例，即可轉化為由兩個三角形相似，問題得到解決．

例2(1)(3)解答略．

四、 比對釋悟，追尋“道”法

比對上述兩道試題，筆者得到如下教學感悟．

(一)加強對公式結構的再認識

一直以來，數學問題公式化是數學知識的考查重點，也是命題專家希望看到的初心．它要求學生熟練掌握，靈活應用，強調數學方法和技巧，令不少學生有畏懼心理．盡管當前教學改革的方向已經發生改變，考試命題的專注點也已經改變，但可以肯定的一點是，數學始終離不開公式．因此，加強對公式結構的再認識是學生學好數學的重要法寶．一個數學問題可以從不同的角度審視，往往需要用到不同的數學公式．因此，首先要做好公式的選取；其次審視公式的結構，做好公式的正用、逆用；最后對一些公式進行變形及轉化(這里需要學生有更高的解題技巧)．例如人教版高中教材必修4的三角公式，必修5的正、余弦定理等公式都是高考的命題熱點，公式多而繁雜，學生要記得準、記得快、記得牢，就必須厘清公式的來龍去脈，關注公式結構，多做公式推導.當前，不少高中學生運用公式時丟三落四、虎頭蛇尾，要確保原式不變、答案準確，常常需要培養“缺什么補什么”“缺什么找什么”“缺什么改什么”“涂什么改什么”“問什么設什么”“乘什么除什么”“加什么減什么”等常見的思維習慣．

(二)加強對問題審題的訓練

審題是解題教學的必備環節，是提升學生數學素養、養成嚴謹思維的最好載體．選取一道好題，選好一個角度，做好例題的導向功能，能極大提高學生的數學興趣．對于典型的數學例題，可以從不同的角度思考、分析，逐層推進，層層分解，最終找到解決問題的方法．這些需要教師在平時的教學中重點剖析，這樣學生才能養成良好的審題習慣．誠然，不少學生能夠熟練記住公式，可一到考試就無從下手，不知道選用哪一個公式，有時公式雖然寫了，但常常錯誤百出，搭不上題，缺少目標和條件，缺少具體聯系，缺少審題環節和理解題意．更有甚者，一些學生還沒有看清楚已知條件和結論就匆匆下筆做題，缺少分析思路，長此以往會形成一個惡性循環．俗話說“好題讀三遍”，教師一定要讓學生理解題目的意思后再下筆做題．

五、 比根尋源，鏈接高考

比對教材，筆者發現人教版普通高中課程標準實驗教科書必修5第20頁的第14題有相似的關聯結構；比對高考，2019年全國Ⅰ卷第17題中也可以找到類似的影子．

教材原題(人教版必修5 P20-14) 在△ABC中，求證：c(acosB-bcosA)=a2-b2.

點評：本題考查了三角形的綜合問題，主要涉及正弦、余弦定理等．對于□2-△2結構，有幾種思路進行發散．

高考題(2019全國Ⅰ卷理-17) △ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．設(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC．

點評：對于(□-△)2=○2-□△這一結構，先用完全平方公式，化簡后變為□2+△2=○2+□△，再用余弦定理解決．

(1)求cosB的值；

點評：對于(□-△)2=○2-□△這種結構，比對2019年全國Ⅰ卷理科數學第17題，發現它們的結構有異曲同工之妙．