從形變到質變 由學會到會學
——對2021年中考浙江金華卷第23題的賞析與啟示

林勝威 (廣東省化州市新安中學 525133)

陳興海 (廣東省茂名市新世紀學校 525400)

2019年11月22日教育部發布的《關于加強初中學業水平考試命題工作的意見》(下簡稱《意見》)指出：初中學業水平考試命題要發揮引導教育教學作用，引導教師積極探索基于情境、問題導向、深度思維、高度參與的教育教學模式，引導學生自主、合作、探究學習．以素養為導向、提升試題科學化水平已成為各地中考試題命制的方向與共識．本文對浙江省2021年初中學業水平考試(金華卷)第23題進行評析，從中獲得了一些有益的啟示．

1 原題

圖1 圖2

探究：通過改變點A的位置，小李發現點D，A的橫坐標之間存在函數關系．請幫助小李解決下列問題．

(1)求k的值．

(2)設點A，D的橫坐標分別為x,z，將z關于x的函數稱為“Z函數”．如圖2，小李畫出了x>0時“Z函數”的圖象．

①求這個“Z函數”的表達式；

②補畫x<0時“Z函數”的圖象，并寫出這個函數的性質(兩條即可)；

③過點(3,2)作一直線，與這個“Z函數”圖象僅有一個交點，求該交點的橫坐標．

2 評析

2.1 回歸本源——考查對函數概念的理解

函數是中學數學的核心內容，也是歷年中考的重點和熱點．根據廣東省教育考試院發布的2020年廣東省初中學業水平考試數學試題評析的統計分析，三大函數是近五年廣東省初中學業水平考試數學的高頻考點[1]．在各地的初中學業水平考試數學試題中，對函數考查的主要方向是函數的圖象與性質、函數與幾何的綜合、函數的實際應用．這些考題是運用“已知”的圖形性質、“已有”的函數模型去解決問題，是對舊知的記憶與運用，在一定程度上考查了學生的運算能力、推理能力、分類討論思想和應用意識等．本題要求學生探索未知函數求表達式、性質與圖象等，是基于函數概念的理解對新知進行探索，考查了學生對函數概念的理解．義務教育階段函數的學習，要在學習“三大函數”基礎上，形成利用函數的觀點認識現實世界的意識[2]，讓學生會用函數的眼光觀察世界、會用函數的思維思考世界、會用函數的語言表達世界．

2.2 累積經驗——考查研究函數一般方法的掌握

第(2)題第②小問，要補畫x<0時“Z函數”的圖象，并至少寫出這個函數的兩條性質．學生沒有現成的知識可憑借，需要利用“經驗”對新函數進行研究．根據一次函數、反比例函數和二次函數的學習研究經驗，研究函數的一般方法和步驟是：畫函數圖象、觀察歸納特征、用數學語言描述性質．由“Z函數”表達式，易畫它的圖象；而對函數圖象的研究可從圖象的形狀、位置、增減性(單調性)、對稱性等角度進行觀察，最后用數學語言概括與描述如下：

a.此函數的圖象是由兩個分支組成的曲線(形狀)．

b.此函數的圖象關于直角坐標系的原點成中心對稱(對稱性)．

c.當x>0時，函數值z隨自變量x的增大而增大；當x<0時，函數值z隨自變量x的增大而增大(增減性)．

基礎知識、基本技能主要表現為結論性知識、事實性知識，基本思想、基本活動經驗主要表現為在數學活動中形成和積累的過程性知識、策略性知識．從學生的數學素養培養來看，它并非單純地通過接受數學事實性知識來實現，它更多地需要通過對數學思想的領悟、對數學活動經驗的積累和條理化，以及對數學知識的自我組織等活動來實現[3]．數學教學要克服“雙基”教學中過于表層、追求熟練、缺乏對數學本質理解的弱點，讓數學的思維方法、研究方法銘刻在頭腦中，并內化成為讓學生受益終生的必備品格和能力，就要引導學生對“所學知識”“所經歷的活動”進行概括與歸納，上升為更一般的思想方法、原理觀念．

2.3 學以致用——考查問題解決能力

通過關系分析得出函數表達式，再結合圖象觀察歸納函數性質，最后應用此函數去解決相關的問題，這是研究函數的“基本套路”．在①②小問的基礎上，第③小問要求利用“新知識”解決“舊問題”：求直線與函數圖象的交點．由幾何直觀知，當直線與“Z函數”圖象僅有一個交點時，存在“相交”與“相切”兩種情況：

a.第一種情況(相交)：“Z函數”圖象不與y軸相交，故平行于y軸的直線與“Z函數”圖象僅有一個交點，且直線過點(3,2)，可得交點的橫坐標為3．

初中學業水平考試主要衡量學生達到國家規定學習要求的程度，既要注重考查基礎知識、基本技能，還要注重考查思維過程、創新意識以及分析問題與解決問題的能力．“舊知識”應用于“新問題情境”，注重的是問題解決中的知識遷移與運用；本題是“新知識”應用于“舊問題情境”，讓學生不囿于原有知識藩籬或固有的思維模式，使得學生更關注于問題解決的數學策略、思路、方法等．德國2012年頒布的高中數學標準中，將“數學地解決問題能力”界定為學生“擁有恰當的數學策略去發現解決問題的思路或方法，并加以反思”[4]．

3 啟示

3.1 考查內容由“形變”向“質變”的遞進

在《意見》頒布之前，《考試大綱》和歷年中考試題是復習備考的兩大必備資料，認真研究《考試大綱》和歷年中考試題是復習備考的成功經驗和基本要求．《考試大綱》指明了考試內容與范圍，即明確了“考什么”；歷年中考試題則蘊含了考查的形式與方法，即提供了“怎么考”的示范樣例．相同的知識點，不同年份的試題只是在考查形式上變化(形變)，而考查的內容實質沒有變化(質變)．例如，廣東省2017—2019年中考試題的解答題部分對“方程與不等式”的考查，見表1.

表1

通過對比發現，三年試題考查的是“根據具體問題中的數量關系列出方程(組)、不等式(組)”的建模能力和“解方程(組)、解不等式(組)”的運算技能．不同年度的考題只是問題情境和數據的

不同，對考生的能力要求沒有實質性的改變．這在一定程度上導致在復習備考中出現“為考試而考試”的短視行為：只關注“能列會算”等基本技能的操練，忽略對方程、方程的解等概念的理解與思考．而在廣東省2020年的中考試題中，除了基礎知識、基本技能的考查外，還加強了對概念本質理解的考查：

(1)求a,b的值；

面對此問題，學生沒有固定的解題模式可模仿．因此，在復習備考中也就不能只是“死摳”題型，而要注重對數學概念本質的理解，以不變應萬變！中考考查的內容與形式由“形變”到“質變”的遞進，是“在新課標與高考評價體系的指引下，以高考為代表的大規模中學數學考試命題正在發生從能力立意到素養導向的重要轉變”．[5]

3.2 考查要求由“學會”向“會學”演進

學習是人類的生存本能，也是人類需要不斷學習提高的能力，以適應不斷發展變化的環境．2016年發布的《中國學生發展核心素養》總體框架指出，學會學習是自主發展素養的基本要點．課堂教學除了讓學生“學會”具體知識、掌握特定技能，還要在知識技能的基礎上培養關鍵能力，形成能夠適應終身發展和社會發展需要的素養．用什么方式引導學生的數學思維活動，使學生在掌握知識的過程中學習數學思考方法，從學會思考逐步走向學會學習，是教材編寫中需要認真思考和落實的主要任務[6]．作為“指揮棒”的中考試題，除了考查學生是否“學會”了基礎知識與基本技能，更要引導學生在學習中“學會學習”，即“會學”．例如，2020年貴州省遵義市中考數學第10題：

圖3

學生要解決本題，除了掌握含根式的分式化簡外，關鍵是通過題目給出的示例，學習領會其構造的方法，然后應用于所求的問題．此題考查的不是學生對具體知識技能的理解與掌握，而是對新知識的理解、遷移、運用的能力．學習能力在學習過程中培養，但不能僅停留于基礎知識的記憶、基本技能的操練，還要對學習過程進行審視與反思，習得符合自已的科學的學習方法與策略，提升自我評估與調控的元認知水平，養成注重學習的學習習慣與品格意識，實現由“學會”向“會學”的演進．