麥克勞林級數(shù)展開的教學思考及若干方法

200233 上海市世界外國語中學 朱靈芝

麥克勞林級數(shù)是泰勒級數(shù)在x=0處的一種特殊形式，它是牛頓的學生麥克勞林在1742年給出的，其用途十分廣泛，主要應(yīng)用于求極限、近似值計算以及證明不等式等方面.多項式函數(shù)是學生最熟悉的函數(shù)之一，其性質(zhì)比較簡單，因此，對于一些比較復(fù)雜的非多項式函數(shù)，通常用多項式函數(shù)去逼近它，從而研究其性質(zhì).鑒于此，DP(Diploma Programme)12年級的數(shù)學教學中詳細介紹了麥克勞林級數(shù)(Maclaurin series).因為麥克勞林級數(shù)理論性強又比較抽象,學生學習這部分內(nèi)容比較困難，很多學生一看到公式就產(chǎn)生畏難情緒，想要放棄，因而在實際教學過程中，學生很難感受到麥克勞林級數(shù)化繁為簡的重要作用.

一、 麥克勞林級數(shù)展開的教學思考

受章建躍博士《如何實現(xiàn)思維的教學》[1]一文的啟發(fā)，筆者發(fā)現(xiàn)從簡單到復(fù)雜、從直觀到抽象是學生學習的基本認知規(guī)律.為了讓學生對麥克勞林級數(shù)的展開有一個直觀、清晰、透徹的認識，筆者在麥克勞林級數(shù)的課堂教學中發(fā)揮了TI-nspire計算器的作用，利用計算器的slider功能，對逼近的過程進行了動畫演示.以數(shù)形結(jié)合的方式讓學生親眼目睹數(shù)學知識產(chǎn)生過程，幫助學生理解，力求教學符合學生的認知規(guī)律，充分發(fā)揮學生的主體意識，加強“數(shù)學思維”教學，從課堂實際教學來看,效果不錯.

二、 麥克勞林級數(shù)展開的若干方法

在課堂實際教學中取得了突破后，筆者分析了學生對麥克勞林級數(shù)的畏難情緒，其源頭主要是公式太長，學生看到公式后產(chǎn)生畏難情緒，所以如何讓麥克勞林級數(shù)的求法具有多樣性，并能變得“友善”、簡單起來，成為下一個突破口.為了使學生不再畏難，使其更好地掌握麥克勞林級數(shù)的展開，并能熟練應(yīng)用，筆者從學生的角度出發(fā)，和學生一起通過例題總結(jié)麥克勞林級數(shù)展開的若干方法.

根據(jù)比式判別法可以求出其收斂區(qū)間為(-1, 1).(過程略)

定義法是揭示麥克勞林級數(shù)概念內(nèi)涵和本質(zhì)的邏輯方法，是對數(shù)學實體的高度抽象.定義法具有普適性，其優(yōu)越性是所有函數(shù)都適用的，但有些函數(shù)的求導(dǎo)非常復(fù)雜，這也是學生對定義法比較排斥的原因.因此，有必要引導(dǎo)學生思考有沒有可代替的方法.在用定義法求出麥克勞林級數(shù)后，引導(dǎo)學生逆向思考，定義法求出的麥克勞林級數(shù)恰好是學生所熟悉的無窮等比遞縮數(shù)列，于是產(chǎn)生了方法2.

相對于方法2，方法3適用的范圍大大拓展，但仍局限于有理函數(shù)的范疇，學生對形如 (a+bx)n,n∈Q的形式產(chǎn)生了疑問.學生在DP 10學習了冪為自然數(shù)的二項式定理，筆者借此機會與學生探討了冪為有理數(shù)的二項式展開，即牛頓二項式定理.1665年，牛頓將二項式定理推廣到有理指數(shù)的情形，于是有了方法4.

方法4適用于所有冪為有理數(shù)的二項式.在和學生共同探討了四種方法后，學生的積極性大增，想要探索出更多的可能性.筆者引導(dǎo)學生思考麥克勞林級數(shù)的實質(zhì)是用多項式去逼近，因此，目標是找到一個多項式，如果假設(shè)這個多項式存在，需要確定的就是多項式的系數(shù)，由此想法產(chǎn)生了方法5.

利用等式兩側(cè)的同次項系數(shù)都要相等，可以得到

a0=1

a1-a0=0

a2-a1=0

?

an-an-1=0

?

∴a0=a1=a2=…=1，

面對同一道例題的五種不同方法，學生有了更多的選擇，逐步消除對麥克勞林級數(shù)的畏懼心理.以這五種方法得到的結(jié)論為基礎(chǔ)，筆者引導(dǎo)學生思考，衍生出更多的麥克勞林級數(shù)，于是有了方法6.

方法6(變量代換法):變量代換的思想是一種重要的數(shù)學思維方法，可以化繁為簡，變未知為已知，大大拓寬了學生的思路，提高了學生學習的積極性.

在使用變量代換法的時候，學生容易犯一個錯誤，下面舉例說明.

方法6可用于所有已知麥克勞林級數(shù)的推廣，將已知麥克勞林級數(shù)中的變量進行代換，就可以得到新的麥克勞林級數(shù).同時，方法6也適用于復(fù)合函數(shù)求麥克勞林級數(shù).筆者抓住時機引導(dǎo)學生觀察未知與已知之間的區(qū)別及聯(lián)系，通過觀察分析得到了方法7和方法8.

方法7適用于所求函數(shù)正好是已知麥克勞林級數(shù)的導(dǎo)數(shù).例如，對sinx的麥克勞林級數(shù)求導(dǎo)可以得到cosx的麥克勞林級數(shù).

微積分是DP 12數(shù)學教學的重點，學生很容易類比逐項求導(dǎo)法聯(lián)想到是不是也有逐項積分法.

例5求f(x)=ln(1-x)的麥克勞林級數(shù).

方法8適用于所求函數(shù)是已知麥克勞林級數(shù)的積分.

在與學生探討了單個函數(shù)的麥克勞林級數(shù)后，很自然地過渡到兩個及以上函數(shù)的加、減、乘、除的麥克勞林級數(shù)，從而產(chǎn)生了方法9.

例6求f(x)=exsinx的麥克勞林級數(shù).

方法9(四則運算法)：利用已知級數(shù)的加、減、乘、除可以得到新的麥克勞林級數(shù).

方法9適用于已知麥克勞林級數(shù)之間的加、減、乘、除.

在DP 11的數(shù)學教學中，復(fù)數(shù)的地位相當重要，復(fù)數(shù)的概念以及分類等內(nèi)容能提升學生數(shù)學抽象以及邏輯推理的核心素養(yǎng)，利用兩個復(fù)數(shù)相等的條件以及棣莫弗公式可以求某些函數(shù)的麥克勞林級數(shù),方法很簡捷.筆者引導(dǎo)學生思考如何用復(fù)數(shù)的方法推導(dǎo)出三角函數(shù)的二倍角公式，采用類比的方法遷移到例6中，于是有了方法10.

方法10(復(fù)數(shù)法)：例6還可以通過復(fù)數(shù)法解答，利用兩個復(fù)數(shù)相等，實部要和實部相等，虛部要和虛部相等.

學生常對復(fù)數(shù)法的絕妙拍案叫絕.DP的復(fù)數(shù)教學相對于國家課程要求更高，例如對于有限項級數(shù)的和acosx+a2cos2x+a3cos3x+…+ancos(nx)，要求學生能構(gòu)造出acisx+a2cis2x+a3cis3x+…+ancis(nx)，逆向運用棣莫弗公式將其轉(zhuǎn)化為acisx+(acisx)2+(acisx)3+…+(acisx)n,然后利用等比數(shù)列的求和公式和復(fù)數(shù)的共軛將其化簡，最后利用實部與實部相等得到有限項級數(shù)的和.整個過程需要學生在已有的基礎(chǔ)知識上，有意識地建立起新舊知識間的聯(lián)系，通過演繹推理得到新舊知識間的邏輯關(guān)系.

方法10非常巧妙，可以一舉兩得，讓學生體會到數(shù)學的和諧簡單之美.復(fù)數(shù)與三角函數(shù)以及向量的聯(lián)系十分緊密，復(fù)數(shù)法主要適用于求解三角函數(shù)的麥克勞林級數(shù)，也適用于求解三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)共同構(gòu)成函數(shù)的麥克勞林級數(shù).

積分的章節(jié)介紹了對有理函數(shù)進行裂項后再積分，筆者引導(dǎo)學生思考有理函數(shù)的麥克勞林級數(shù)是否也可以采用裂項法，下面介紹方法11.

方法11適用于所有可裂項的有理函數(shù).裂項后通常還要用到變量代換法，即方法11通常要和方法6聯(lián)合起來使用.

在對數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)教學中，總結(jié)出的準則是先利用性質(zhì)化簡，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進行求導(dǎo).筆者引導(dǎo)學生思考對數(shù)函數(shù)的麥克勞林級數(shù)是否也遵循先化簡的原則，由此想法引出方法12.

然后利用變量代換法就可以求出麥克勞林級數(shù)，這里不再展開.

由此可見，根據(jù)函數(shù)的特點以及性質(zhì)進行變形，選擇恰當?shù)男问剑`活選取公式可以大大簡化計算過程.方法12主要適用于求解對數(shù)函數(shù)的麥克勞林級數(shù)，以及求解三角函數(shù)中能利用三角恒等式轉(zhuǎn)化為已知麥克勞林級數(shù)的類型.

在介紹分部積分時，有一類函數(shù)(例如exsinx)在多次分部積分后具有規(guī)律性，積分之后產(chǎn)生的一部分和原式一樣，筆者引導(dǎo)學生思考求導(dǎo)之后的函數(shù)是否也有循環(huán)，于是產(chǎn)生了方法13.

例9求f(x)=esinx的麥克勞林級數(shù).

方法13(鏈式法則):利用鏈式法則對f(x)=esinx兩邊關(guān)于x求導(dǎo)可以得到f′(x)=esinx·cosx=f(x)·cosx.對上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)可以得到f″(x)=f′(x)·cosx+f(x)(-sinx)=f′(x)·cosx-f(x)·sinx，對上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)可以得到f?(x)=f″(x)·cosx-f′(x)·sinx-[f′(x)·sinx+f(x)·cosx]，化簡得f?(x)=f″(x)·cosx-2f′(x)·sinx-f(x)·cosx.對上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)可以得到f(4)(x)=f?(x)·cosx-f″(x)·sinx-2[f″(x)·sinx+f′(x)·cosx]-[f′(x)·cosx-f(x)·sinx].

化簡得f(4)(x)=f?(x)·cosx-3f″(x)·sinx-3f′(x)·cosx+f(x)·sinx,

…

如此一直下去，可以得到

f(0)=1，f′(0)=1，f″(0)=1，f?(0)=0，f(4)(0)=-3，…

方法13適用于求導(dǎo)后具有規(guī)律性的函數(shù)，求導(dǎo)之后產(chǎn)生的一部分和原式一樣，這樣可以用原式替代這一部分，然后在替代后的微分方程兩邊求導(dǎo)，如此一直下去，最后結(jié)合定義法就能得到麥克勞林級數(shù).

三、 結(jié)語

為了讓學生能更加深刻地理解麥克勞林級數(shù)，消除畏懼心理，切實體會到麥克勞林級數(shù)的美，筆者在麥克勞林級數(shù)的教學中以數(shù)學概念的抽象過程為載體，借助數(shù)形結(jié)合讓學生親身經(jīng)歷研究一個數(shù)學對象的基本過程，使學生在探究問題的過程中從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質(zhì)變，親身體驗數(shù)學概念形成的過程.同時，總結(jié)出的13種方法之間充滿關(guān)聯(lián)，前后呼應(yīng).整個過程中，學生在教師的指導(dǎo)下積極思維，貫通思路，加強理解，最終達到運用自如的目的.