“兩圖”相輝映 “四招”定乾坤

215616 江蘇省張家港市妙橋中學 陳 冬

中考數學卷里常常會出現這樣一類題，幾何圖形和函數圖形同時出現在一道題里，相得益彰.筆者擷取此類以選擇題或填空題形式出現的題，具體剖析其難點、關鍵點及破解方法.

一、 由幾何圖形的特征來確定函數圖像的特性

例1(2021內蒙古通遼中考) 如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，動點P，Q同時從點A出發，點P沿A→B→C的路徑運動，點Q沿A→D→C的路徑運動，點P，Q的運動速度相同，當點P到達點C時，點Q也隨之停止運動，聯結PQ.設點P的運動路程為x，PQ2為y，則y關于x的函數圖像大致是( )

圖1

評析：本例考查了由兩動點所引發的PQ2的不同計算方式，由此得出PQ2即y隨x變化的不同函數關系式，于是可畫出不同的函數圖像.解這道題的關鍵是牢牢抓住點P只可能在矩形ABCD的兩條邊AB，BC上運動，點Q只可能在矩形ABCD的兩條邊AD，DC上運動.由于矩形ABCD中AB=DC=4，AD=BC=3，而動點P，Q都同時從點A出發，點P的運動路徑為A→B→C，點Q的運動路徑為A→D→C，又點P，Q的運動速度相同.為此，必須從三個角度來分析出點P，Q的準確位置，即0≤x≤3時，如圖1，點P在邊AB上，點Q在邊AD上；3≤x≤4時，如圖2，點P在邊AB上，點Q在邊DC上；4≤x≤7時，如圖3，點P在邊BC上，點Q在邊DC上.由此根據勾股定理分別計算出PQ2即y關于x的函數表達式，然后根據函數表達式判斷出相應的圖像.

圖2圖3

解答：在Rt△APQ中，∠QAP=90°.當0≤x≤3時，AP=AQ=x(如圖1所示),由勾股定理可得y=PQ2=AP2+AQ2=x2+x2=2x2；當3≤x≤4時，DQ=x-3，AP=x(如圖2所示),過點Q作QE⊥AB于E，則AE=DQ=x-3，QE=EP=3，由勾股定理可得y=PQ2=QE2+EP2=32+32=18；當4≤x≤7時，CP=7-x，CQ=7-x(如圖3所示),由勾股定理可得y=PQ2=CP2+CQ2=(7-x)2+(7-x)2=49-14x+x2+49-14x+x2=2x2-28x+98.

綜上可知，0≤x≤3時，此函數為二次函數且開口向上；3≤x≤4時，此函數為常數函數；4≤x≤7時，此函數為二次函數且開口向上.所以本題應選C.

例2(2021山東聊城中考) 如圖4，四邊形ABCD中，已知AB∥CD，AB與CD之間的距離為4，AD=5，CD=3，∠ABC=45°，點P，Q同時由A點出發，分別沿邊AB，折線ADCB向終點B方向移動，在移動過程中始終保持PQ⊥AB，已知點P的移動速度為每秒1個單位長度，設點P的移動時間為x秒，△APQ的面積為y，則能反映y與x之間函數關系的圖像是( )

圖4

評析：本例同樣考查了由兩動點所引發的△APQ面積的不同計算方式，由此得出△APQ的面積y隨x變化的不同函數關系式，依據不同函數關系式可畫出不同的函數圖像.從本例來看，解決問題的關鍵還是要牢牢抓住點P只在梯形ABCD的邊AB上運動，點Q則可能在梯形ABCD的三條邊AD，DC，CB上運動.為此，可依據點Q可能出現的位置分別從三個角度求△APQ的面積，于是便得出△APQ的面積y關于x的函數表達式，然后根據函數表達式即可判斷出相應的圖像.

圖5

綜上可知，0≤x≤3時，此函數為二次函數且開口向上；3

圖6圖7

招式1：兩道例題均為動點問題，涉及的幾何圖形一般為圓、四邊形(如正方形、矩形、菱形、平行四邊形、梯形等)、三角形(等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，動點往往沿著這些幾何圖形的邊、對角線或某一條線運動，問題的關鍵在于動點可能會出現在多個位置上.因此，必須學會采用分類討論思想，對于動點可能出現的所有情況畫出相應的幾何圖形，找出對應的取值范圍，利用幾何圖形的性質計算出不同的函數關系式，這樣就可以自然地畫出不同函數關系式所對應的函數圖像了.

二、 由函數圖像的特征來確定幾何圖形的特性

例3(2021甘肅定西中考) 如圖8，在△ABC中，AB=BC，BD⊥AC于點D(AD>BD).動點M從A點出發，沿折線AB→BC方向運動，運動到點C停止.設點M的運動路程為x，△AMD的面積為y，y與x的函數圖像如圖9所示，則AC的長為( )

A．3 B．6 C．8 D．9

圖8圖9

①+2×2得AD2+BD2+2AD×BD=13+2×6=25，∴(AD+BD)2=25，∴AD+BD=5(負值舍去) ③.

①-2×2得AD2+BD2-2AD×BD=13-2×6=1，∴(AD-BD)2=1，∴AD-BD=1(AD>BD，負值舍去) ④.

③+④解得AD=3，∴AC=2AD=6.因此,本題正確答案應為B.

例4(2021河南中考) 如圖10，矩形ABCD中，點E為BC的中點，點P沿BC從點B運動到點C，設B，P兩點間的距離為x，PA-PE=y，圖11是點P運動時y隨x變化的關系圖像，則BC的長為( )

圖10圖11

A．4 B．5 C．6 D．7

評析：從本例中的圖11來看，第一個關鍵點是當x=0時，y=1，其實結合圖10來看，就是動點P在點B位置，此時PA-PE=y，即為BA-BE=1 ①.再看圖11中的第二個關鍵點，圖像顯示是最高點，即此時PA-PE=y取得最大值為5，結合圖10及三角形三邊關系知，只有當動點P與中點E重合時，即PA-PE=AE=y=5.根據已知矩形ABCD易知∠B=90°，由勾股定理得AB2+BE2=AE2=25 ②.將①②聯立成一個二元二次方程組，解這個方程組可求出BE的值，由點E為BC的中點知BC=2BE，即可得出BC的長度.

解答：由圖10和圖11知當x=0時，即點P在點B的位置，BA-BE=1 ①.

在△PAE中，有PA-PE

由①得BA=BE+1 ③.

將③代入②得(BE+1)2+BE2=25,即BE2+BE-12=0，(BE+4)(BE-3)=0，BE+4=0或BE-3=0,BE=-4(舍去)或BE=3.∵點E為BC的中點，∴BC=2BE=2×3=6.

因此，本題正確答案應為C.

招式2：兩例均有一幅幾何圖形(三角形、四邊形等)和一幅由幾何圖形上點的運動而繪制出的函數圖像.函數圖像一般簡單明了，但面對并不復雜的函數圖像，學生往往不知所云，無從著手，問題的關鍵在于函數圖像上的點和數據預示著什么.因此，必須學會讀懂關鍵點和數據，將關鍵數據“放入”幾何圖形中去，利用某些幾何圖形(等腰三角形、直角三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形等)的性質研究和計算出邊、角間存在的某些關系，有時再借助方程、方程組等可以更順利地解決此類問題.

三、 兩圖相得益彰，“全局”來把控

例5(2021廣西玉林中考) 如圖12，在Rt△ABC中，∠A=90°，點P從點A出發，沿三角形的邊以1厘米/秒的速度逆時針運動一周，如圖13所示是點P運動時，線段AP的長度y(cm)隨運動時間x(秒)變化的關系圖像，則圖13中點P的坐標是( )

圖12圖13

A．(13，4.5) B．(13，4.8)

C．(13，5) D.(13，5.5)

評析：觀察圖13的函數圖像，可以發現其由三段組成.根據題意“點P從點A出發，沿三角形的邊逆時針運動一周”知，點P的運動路徑為A→B→C→A，即點P分別在線段AB，BC，CA上運動.將兩圖結合起來看，圖13中的三段恰好對應圖12中的三條線段AB，BC，AC，于是由題意和圖13可得AB=8，BC=10.與此同時，從圖13中點P的橫坐標為13可知，點P正好為線段BC的中點，根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，可求得此時線段AP的長度，即y的值，則圖13中點P的坐標便可求得.

例6(2021山東菏澤中考) 如圖14，在平面直角坐標系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x軸，直線y=2x+1沿x軸正方向平移，在平移過程中，直線被矩形ABCD截得的線段長為a，直線在x軸上平移的距離為b，a，b間的函數關系圖像如圖15所示，那么矩形ABCD的面積為( )

圖14

圖15

圖16

招式3：這兩道例題風格稍有不同，但有共同之處，其綜合性均較強.尤其是例6對學生而言更具挑戰性，如何畫出與函數圖像相對應的圖形，是解決此類問題的關鍵所在和難點.因此，必須學會把握問題的整體與局部，看清幾何圖形中動點運動的整個路徑和某些特殊位置，讀懂函數圖像所描述的動點運動軌跡及每個數據的真實內涵，真正理解幾何圖形和函數圖像的相得益彰、相互闡述，用全面、準確的辯證唯物主義觀點來思考問題、研究問題、解決問題.

四、 兩圖不離不棄，“最值”細思量

例7(2021湖南衡陽中考) 如圖17，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，P，Q兩點同時從O點出發，以1厘米/秒的速度在菱形的對角線及邊上運動．點P的運動路線為O-A-D-O，點Q的運動路線為O-C-B-O．設運動的時間為x秒，P、Q間的距離為y厘米，y與x的函數關系的圖像大致如圖18所示，當點P在A-D段上運動且P、Q兩點間的距離最短時，P、Q兩點的運動路程之和為________厘米．

圖17

圖18

圖19

解答：由圖17和圖18可知，當點P從O向A運動時，點Q從O向C運動時，y的值不斷增大.

如圖19，過點O作OF⊥BC于F，反向延長OF交AD于E，此時易得OE⊥AD.

當點P在A-D段上運動，點P運動到點E處，點Q在C-B段上運動，點Q運動到點F處時，P、Q兩點的距離最短.

例8(2021湖北武漢中考) 如圖20，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，邊AB上的點D從頂點A出發，向頂點B運動，同時，邊BC上的點E從頂點B出發，向頂點C運動，D，E兩點運動速度的大小相等，設x=AD，y=AE+CD，y關于x的函數圖像如圖21所示，圖像過點(0，2)，則圖像最低點的橫坐標是________．

圖20

圖21

評析：觀察如圖21所示的函數圖像，根據題意y=AE+CD及圖像經過點(0，2)，可知y=AB+AC=2，由AB=AC即可得出AB=AC=1.因為D，E兩點運動速度的大小相等，可以通過構造△NBE≌△CAD(如圖22所示)將線段CD移到線段NE處，則y=AE+CD變成y=AE+NE，由題意“圖像最低點”，即y取得最小值知，只有A，E，N三點共線，然后可以利用構造△NBE∽△AFE(如圖22所示)，求出圖像最低點的橫坐標x的值.

圖22

招式4：這兩道例題以雙動點為載體，嵌入“最值”，使問題的難度陡增，是典型的填空式壓軸題.從這兩例的解答來看，主要還是利用特殊四邊形(如菱形等)、全等三角形和相似三角形等的性質，但問題的關鍵是如何找出這個“最值”.遇到這種情況，需要對“最值”作一梳理，線段的最值問題主要有定點到定點(聯結線段，理由是兩點之間線段最短)，定點到定線(作垂線段，理由是垂線段最短).解決這類幾何最值問題的主要方法是轉化，通過分析變化過程中的不變特征，利用幾何變換、圖形性質等手段對所求量進行轉化，構造出符合幾何最值問題理論依據的基本結構，進而解決問題.