合情推理：為深度理解數(shù)學(xué)概念導(dǎo)航*

錢(qián)建華 (江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學(xué) 226371)

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)大廈的基石，深度理解和掌握數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).反思我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，發(fā)現(xiàn)不少數(shù)學(xué)教師的教學(xué)觀念仍然停留在應(yīng)試教育層面上，課堂上采取趕進(jìn)度、填鴨式教學(xué)，學(xué)生學(xué)習(xí)囫圇吞棗、機(jī)械模仿，對(duì)數(shù)學(xué)概念一知半解，有的只是停留在操作性理解層面，有的只是停留在關(guān)系性理解層面，很少能達(dá)到遷移性理解層面.美國(guó)認(rèn)知教育心理學(xué)家?jiàn)W蘇貝爾指出：所謂理解，就是將新信息納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，新舊知識(shí)發(fā)生意義同化的過(guò)程.他還指出這種意義同化是一種非任意的、實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系.即這種聯(lián)系不是主觀的、牽強(qiáng)附會(huì)的，而是合情合理的.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程課標(biāo)(2011版)》中指出：發(fā)展學(xué)生的合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)[1].因此，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，要使學(xué)生真正深度理解數(shù)學(xué)概念,最直接的方法莫過(guò)于將合情推理引入數(shù)學(xué)概念的理解之中，充分運(yùn)用合情推理來(lái)促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的深度理解.那么，在初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中如何發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)呢？

1 在類比數(shù)學(xué)概念生成方法中發(fā)展合情推理能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的深度理解

習(xí)慣上，按照不同的來(lái)源，數(shù)學(xué)概念可以分為兩種：一種是對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象或關(guān)系直接抽象而成的概念；另一種是純數(shù)學(xué)抽象物，反映的是數(shù)學(xué)邏輯構(gòu)造，無(wú)客觀實(shí)在與之對(duì)應(yīng)，是抽象邏輯思維的產(chǎn)物.根據(jù)兩種數(shù)學(xué)概念的不同特征，我們需要設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，采用相適應(yīng)的教學(xué)方法，學(xué)生在經(jīng)歷概念發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)、理解和掌握數(shù)學(xué)概念.其中，當(dāng)數(shù)學(xué)概念是基于數(shù)學(xué)邏輯建構(gòu)形成的純數(shù)學(xué)抽象物時(shí)，我們通常采用合情推理進(jìn)行教學(xué)，即從設(shè)計(jì)熟悉的問(wèn)題情境引入，運(yùn)用已學(xué)的知識(shí)解決問(wèn)題，從問(wèn)題的結(jié)果中抽象出它們的共性特征，再類比、歸納出一般特征，從而形成數(shù)學(xué)概念.

案例1二元一次方程的概念教學(xué)片段

(師生在復(fù)習(xí)了一元一次方程的有關(guān)概念后，進(jìn)行如下教學(xué)設(shè)計(jì))

師：長(zhǎng)方形花圃周長(zhǎng)是24 m，設(shè)花圃的長(zhǎng)為xm，寬為ym.你用什么樣的數(shù)學(xué)式子來(lái)描述它們之間的關(guān)系？

生1：2x+2y=24.

師：同學(xué)們列出的方程還是我們以前學(xué)過(guò)的一元一次方程嗎？

生1：不是.

師：仔細(xì)觀察，能根據(jù)方程的特點(diǎn)給這樣的方程取個(gè)名字嗎？

生1：因?yàn)樗袃蓚€(gè)未知數(shù)，所以是“二元”，每個(gè)未知數(shù)都是“一次”，所以應(yīng)該叫做二元一次方程.

師：你怎么想到的？

生1：類比一元一次方程的定義得到的.

師：很好！今天，我們將在一元一次方程的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新的一章《二元一次方程組》.(教師板書(shū))

師：什么是二元一次方程？

生2：有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程叫做二元一次方程.

生3：不應(yīng)該說(shuō)是未知數(shù)的次數(shù)，應(yīng)該說(shuō)含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)，比如xy=24這個(gè)方程，每個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都是1，但xy的次數(shù)是2，這個(gè)方程是二元二次方程.

師：這位同學(xué)思考得很深刻，例子也非常好，對(duì)于單項(xiàng)式的相關(guān)知識(shí)掌握得非常扎實(shí)．那么，我們把定義完善一下：方程中含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)項(xiàng)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.

(教師板書(shū)在黑板的左側(cè)，與學(xué)生板書(shū)的一元一次方程對(duì)應(yīng))

師：同學(xué)們類比一元一次方程的定義，得到了二元一次方程的定義.想一想,一元一次方程說(shuō)的是未知數(shù)的次數(shù)為1，而二元一次方程說(shuō)的是未知項(xiàng)的次數(shù)為1，這究竟是為什么呢？

生4：其實(shí)是一致的，一元一次方程只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)就是含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù).

師：你理解得太深刻了！

以上通過(guò)類比一元一次方程的定義建構(gòu)二元一次方程的定義，讓學(xué)生真正體會(huì)到“一元一次方程”和“二元一次方程”的定義的一致性，經(jīng)歷“二元一次方程”的概念的形成過(guò)程，促進(jìn)了學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

2 在實(shí)驗(yàn)觀察事物本質(zhì)特征中發(fā)展合情推理能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的深度理解

觀察是人們對(duì)周圍世界客觀事物和現(xiàn)象在其自然條件下，按照客觀事物本身存在的實(shí)際情況，研究和確定它們的性質(zhì)和關(guān)系，從而獲取經(jīng)驗(yàn)材料的一種方法.實(shí)驗(yàn)則是人們根據(jù)一定的研究目的，利用工具(儀器)對(duì)周圍世界的客觀事物與現(xiàn)象，進(jìn)行人為的控制、模擬，排除干擾，突出主要因素，在最有利的條件下考察和研究它們的性質(zhì)和關(guān)系，從而獲取經(jīng)驗(yàn)材料的一種方法.

案例2“直線與圓的位置關(guān)系”中的概念教學(xué)片段

(情境導(dǎo)入)

師：同學(xué)們?cè)诤＿吙催^(guò)日出嗎？下面請(qǐng)同學(xué)們欣賞一段視頻.(教師播放視頻)

如果我們把太陽(yáng)看作一個(gè)圓，把地平線看作一條直線，太陽(yáng)升起的過(guò)程中，太陽(yáng)和地平線會(huì)有幾種位置關(guān)系？由此能聯(lián)想出直線和圓的位置.

生：有三種……

師：(黑板上演示)畫(huà)一條直線l，把一個(gè)鐵絲圓環(huán)看作一個(gè)圓.在黑板上移動(dòng)鐵絲圓環(huán)，你能發(fā)現(xiàn)在移動(dòng)鐵絲圓環(huán)的過(guò)程中，它與直線l的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化情況嗎？

師：通過(guò)剛才的觀察與實(shí)驗(yàn)，你認(rèn)為直線和圓的位置關(guān)系可分為幾種類型？分類的標(biāo)準(zhǔn)各是什么？

生：直線和圓有如下三種位置關(guān)系：第一種，直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)；第二種，直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；第三種，直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn).

師：講得很好！為了學(xué)習(xí)研究的方便，我們希望給直線和圓的三種位置關(guān)系分別取一個(gè)名字，對(duì)于第一種，怎樣取名呢?

生:第一種情況,直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相交.

師：(補(bǔ)充)這條直線叫做圓的割線.那么，對(duì)于其他兩種情況呢？

師生：(共同討論交流得到)第二種情況,直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn).第三種情況,直線和圓沒(méi)有公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)這條直線和圓相離.

以上在直線與圓的位置關(guān)系的概念建構(gòu)中，依賴于對(duì)直線l與鐵絲圓環(huán)位置關(guān)系的觀察，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)，得到直線與圓的位置關(guān)系的三種本質(zhì)特征，進(jìn)而形成直線與圓相交、相切、相離的概念.

3 在教學(xué)數(shù)學(xué)概念補(bǔ)充規(guī)定中發(fā)展合情推理能力，促進(jìn)數(shù)學(xué)概念的深度理解

數(shù)學(xué)中的“規(guī)定”，是指數(shù)學(xué)中那些約定俗成的、不便于向?qū)W生解釋“為什么”的那部分知識(shí).如數(shù)學(xué)中的基本概念、定義、數(shù)學(xué)符號(hào)、書(shū)寫(xiě)格式等.中小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的規(guī)定比比皆是,對(duì)于為何要單獨(dú)作這些規(guī)定,教師不僅要做到心知肚明，而且還要幫助學(xué)生深度理解和掌握，要讓學(xué)生感受規(guī)定的合理性，并學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)理性精神，不要讓學(xué)生在突兀的規(guī)定下產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的不良情感．教師要通過(guò)藝術(shù)處理，讓學(xué)生盡可能多地感知數(shù)學(xué)規(guī)定背后的故事、隱含的智慧，使學(xué)生更加理解數(shù)學(xué)、親近數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)老師.

案例3單項(xiàng)式的補(bǔ)充規(guī)定的教學(xué)片斷

師：課前，同學(xué)通過(guò)預(yù)學(xué)，知道了“單獨(dú)一個(gè)字母或一個(gè)數(shù)也叫做單項(xiàng)式”.這是一種規(guī)定.你知道為什么要做這樣的規(guī)定嗎？

生1：……(支支吾吾，說(shuō)不清)

師：(啟發(fā))1×a是不是單項(xiàng)式？為什么？

生2：是.因?yàn)楸硎緮?shù)或字母的積的式子叫作單項(xiàng)式．1×a是表示數(shù)或字母的積的式子，所以1×a是單項(xiàng)式.

師：現(xiàn)在再來(lái)看a，它是不是單項(xiàng)式呢？

生3：根據(jù)單項(xiàng)式的定義，它不是單項(xiàng)式，因?yàn)閍不是表示數(shù)或字母的積的式子.

師：大家想想看，生3說(shuō)得到底對(duì)不對(duì)？

(學(xué)生熱烈地討論)

師：現(xiàn)在大家想到了嗎，生3說(shuō)得到底對(duì)不對(duì)？

生4：生3說(shuō)得既對(duì)又不對(duì)．從形式上看，a不是表示數(shù)或字母的積的式子，所以a不是單項(xiàng)式.但是，由于1×a=a，a可以看成1×a的簡(jiǎn)寫(xiě)，1×a是單項(xiàng)式，那么a也就是單項(xiàng)式．

師：這么說(shuō)來(lái)，兩種答案都有道理.那么，不就產(chǎn)生矛盾了嗎？

生5：為了消除這一矛盾，我們就必須對(duì)單項(xiàng)式做一個(gè)補(bǔ)充規(guī)定，規(guī)定單獨(dú)的一個(gè)字母或單獨(dú)的一個(gè)數(shù)也是單項(xiàng)式．

師：生5的想法非常合情合理，有了這個(gè)補(bǔ)充定義以后，在識(shí)別單項(xiàng)式時(shí)就不會(huì)產(chǎn)生歧義了. 這里，對(duì)于單項(xiàng)式的特征，引導(dǎo)學(xué)生從無(wú)意識(shí)的觀察變?yōu)橛幸庾R(shí)的探討，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)單項(xiàng)式的定義就變得水到渠成．

在概念學(xué)習(xí)中通過(guò)合情推理，學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生、發(fā)現(xiàn)、形成甚至命名過(guò)程，學(xué)習(xí)者充分感受數(shù)學(xué)概念形成得合情合理，從而促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)概念的深度理解．

4 結(jié)語(yǔ)

教育家陶行知說(shuō):“教育不能創(chuàng)造什么，但他能啟發(fā)解放兒童創(chuàng)造力以從事于創(chuàng)造之工作.”[2]數(shù)學(xué)課堂教學(xué)合情推理，就是創(chuàng)設(shè)這樣一種培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)環(huán)境．波利亞的“怎樣解題表”為我們進(jìn)行合情推理提供了一個(gè)非常好的樣本，他在《數(shù)學(xué)與猜想》一書(shū)中說(shuō)：“只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過(guò)程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測(cè)、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢茫盵3]在日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生掌握合情推理的思想和方法能夠使學(xué)生原有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到充分的整合和優(yōu)化，數(shù)學(xué)思維能力得到提升，并把學(xué)習(xí)者引入到一個(gè)更廣闊的領(lǐng)域，去體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究與發(fā)展的樂(lè)趣，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念大有裨益.合情推理不僅可以應(yīng)用于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)中，而且還可以更多地應(yīng)用到數(shù)學(xué)定理(公式、法則)，數(shù)學(xué)解題的學(xué)習(xí)中．?dāng)?shù)學(xué)教師要充分、合理地利用合情推理，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、合理推測(cè),培養(yǎng)其歸納、類比能力，使合情推理成為學(xué)生自覺(jué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式，成為激勵(lì)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)新知的金鑰匙．