合情推理：為深度理解數學概念導航*

錢建華 (江蘇省南通市通州區興仁中學 226371)

數學概念是構建數學大廈的基石，深度理解和掌握數學概念是數學學習的基礎.反思我們的數學教學，發現不少數學教師的教學觀念仍然停留在應試教育層面上，課堂上采取趕進度、填鴨式教學，學生學習囫圇吞棗、機械模仿，對數學概念一知半解，有的只是停留在操作性理解層面，有的只是停留在關系性理解層面，很少能達到遷移性理解層面.美國認知教育心理學家奧蘇貝爾指出：所謂理解，就是將新信息納入原有認知結構，新舊知識發生意義同化的過程.他還指出這種意義同化是一種非任意的、實質性的聯系.即這種聯系不是主觀的、牽強附會的，而是合情合理的.《義務教育數學課程課標(2011版)》中指出：發展學生的合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點[1].因此，在數學概念的教學中，要使學生真正深度理解數學概念,最直接的方法莫過于將合情推理引入數學概念的理解之中，充分運用合情推理來促進數學概念的深度理解.那么，在初中數學概念教學中如何發展學生的合情推理能力，促進學生的深度學習呢？

1 在類比數學概念生成方法中發展合情推理能力，促進數學概念的深度理解

習慣上，按照不同的來源，數學概念可以分為兩種：一種是對現實對象或關系直接抽象而成的概念；另一種是純數學抽象物，反映的是數學邏輯構造，無客觀實在與之對應，是抽象邏輯思維的產物.根據兩種數學概念的不同特征，我們需要設計恰當的問題情境，采用相適應的教學方法，學生在經歷概念發生、發展的過程中，認識、理解和掌握數學概念.其中，當數學概念是基于數學邏輯建構形成的純數學抽象物時，我們通常采用合情推理進行教學，即從設計熟悉的問題情境引入，運用已學的知識解決問題，從問題的結果中抽象出它們的共性特征，再類比、歸納出一般特征，從而形成數學概念.

案例1二元一次方程的概念教學片段

(師生在復習了一元一次方程的有關概念后，進行如下教學設計)

師：長方形花圃周長是24 m，設花圃的長為xm，寬為ym.你用什么樣的數學式子來描述它們之間的關系？

生1：2x+2y=24.

師：同學們列出的方程還是我們以前學過的一元一次方程嗎？

生1：不是.

師：仔細觀察，能根據方程的特點給這樣的方程取個名字嗎？

生1：因為它含有兩個未知數，所以是“二元”，每個未知數都是“一次”，所以應該叫做二元一次方程.

師：你怎么想到的？

生1：類比一元一次方程的定義得到的.

師：很好！今天，我們將在一元一次方程的基礎上學習新的一章《二元一次方程組》.(教師板書)

師：什么是二元一次方程？

生2：有兩個未知數，并且未知數的次數是1的方程叫做二元一次方程.

生3：不應該說是未知數的次數，應該說含未知數的項的次數，比如xy=24這個方程，每個未知數的次數都是1，但xy的次數是2，這個方程是二元二次方程.

師：這位同學思考得很深刻，例子也非常好，對于單項式的相關知識掌握得非常扎實．那么，我們把定義完善一下：方程中含有兩個未知數，并且含有未知數項的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.

(教師板書在黑板的左側，與學生板書的一元一次方程對應)

師：同學們類比一元一次方程的定義，得到了二元一次方程的定義.想一想,一元一次方程說的是未知數的次數為1，而二元一次方程說的是未知項的次數為1，這究竟是為什么呢？

生4：其實是一致的，一元一次方程只含有一個未知數，未知數的次數就是含未知數的項的次數.

師：你理解得太深刻了！

以上通過類比一元一次方程的定義建構二元一次方程的定義，讓學生真正體會到“一元一次方程”和“二元一次方程”的定義的一致性，經歷“二元一次方程”的概念的形成過程，促進了學生的深度學習.

2 在實驗觀察事物本質特征中發展合情推理能力，促進數學概念的深度理解

觀察是人們對周圍世界客觀事物和現象在其自然條件下，按照客觀事物本身存在的實際情況，研究和確定它們的性質和關系，從而獲取經驗材料的一種方法.實驗則是人們根據一定的研究目的，利用工具(儀器)對周圍世界的客觀事物與現象，進行人為的控制、模擬，排除干擾，突出主要因素，在最有利的條件下考察和研究它們的性質和關系，從而獲取經驗材料的一種方法.

案例2“直線與圓的位置關系”中的概念教學片段

(情境導入)

師：同學們在海邊看過日出嗎？下面請同學們欣賞一段視頻.(教師播放視頻)

如果我們把太陽看作一個圓，把地平線看作一條直線，太陽升起的過程中，太陽和地平線會有幾種位置關系？由此能聯想出直線和圓的位置.

生：有三種……

師：(黑板上演示)畫一條直線l，把一個鐵絲圓環看作一個圓.在黑板上移動鐵絲圓環，你能發現在移動鐵絲圓環的過程中，它與直線l的公共點的個數的變化情況嗎？

師：通過剛才的觀察與實驗，你認為直線和圓的位置關系可分為幾種類型？分類的標準各是什么？

生：直線和圓有如下三種位置關系：第一種，直線和圓有兩個公共點；第二種，直線和圓只有一個公共點；第三種，直線和圓沒有公共點.

師：講得很好！為了學習研究的方便，我們希望給直線和圓的三種位置關系分別取一個名字，對于第一種，怎樣取名呢?

生:第一種情況,直線和圓有兩個公共點，這時我們說這條直線和圓相交.

師：(補充)這條直線叫做圓的割線.那么，對于其他兩種情況呢？

師生：(共同討論交流得到)第二種情況,直線和圓只有一個公共點，這時我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點.第三種情況,直線和圓沒有公共點，這時我們說這條直線和圓相離.

以上在直線與圓的位置關系的概念建構中，依賴于對直線l與鐵絲圓環位置關系的觀察，并通過實驗，得到直線與圓的位置關系的三種本質特征，進而形成直線與圓相交、相切、相離的概念.

3 在教學數學概念補充規定中發展合情推理能力，促進數學概念的深度理解

數學中的“規定”，是指數學中那些約定俗成的、不便于向學生解釋“為什么”的那部分知識.如數學中的基本概念、定義、數學符號、書寫格式等.中小學數學課本中的規定比比皆是,對于為何要單獨作這些規定,教師不僅要做到心知肚明，而且還要幫助學生深度理解和掌握，要讓學生感受規定的合理性，并學會數學思維，培養理性精神，不要讓學生在突兀的規定下產生學習數學的不良情感．教師要通過藝術處理，讓學生盡可能多地感知數學規定背后的故事、隱含的智慧，使學生更加理解數學、親近數學和數學老師.

案例3單項式的補充規定的教學片斷

師：課前，同學通過預學，知道了“單獨一個字母或一個數也叫做單項式”.這是一種規定.你知道為什么要做這樣的規定嗎？

生1：……(支支吾吾，說不清)

師：(啟發)1×a是不是單項式？為什么？

生2：是.因為表示數或字母的積的式子叫作單項式．1×a是表示數或字母的積的式子，所以1×a是單項式.

師：現在再來看a，它是不是單項式呢？

生3：根據單項式的定義，它不是單項式，因為a不是表示數或字母的積的式子.

師：大家想想看，生3說得到底對不對？

(學生熱烈地討論)

師：現在大家想到了嗎，生3說得到底對不對？

生4：生3說得既對又不對．從形式上看，a不是表示數或字母的積的式子，所以a不是單項式.但是，由于1×a=a，a可以看成1×a的簡寫，1×a是單項式，那么a也就是單項式．

師：這么說來，兩種答案都有道理.那么，不就產生矛盾了嗎？

生5：為了消除這一矛盾，我們就必須對單項式做一個補充規定，規定單獨的一個字母或單獨的一個數也是單項式．

師：生5的想法非常合情合理，有了這個補充定義以后，在識別單項式時就不會產生歧義了. 這里，對于單項式的特征，引導學生從無意識的觀察變為有意識的探討，在此基礎上引導學生發現單項式的定義就變得水到渠成．

在概念學習中通過合情推理，學生親身經歷數學概念的產生、發現、形成甚至命名過程，學習者充分感受數學概念形成得合情合理，從而促進對數學概念的深度理解．

4 結語

教育家陶行知說:“教育不能創造什么，但他能啟發解放兒童創造力以從事于創造之工作.”[2]數學課堂教學合情推理，就是創設這樣一種培養學生創造力的數學課堂學習環境．波利亞的“怎樣解題表”為我們進行合情推理提供了一個非常好的樣本，他在《數學與猜想》一書中說：“只要數學的學習過程稍能反映出數學的發明過程的話，那么就應當讓猜測、合情推理占有適當的位置．”[3]在日常的數學學習中，學生掌握合情推理的思想和方法能夠使學生原有數學認知結構得到充分的整合和優化，數學思維能力得到提升，并把學習者引入到一個更廣闊的領域，去體驗數學探究與發展的樂趣，對于學生學習數學概念大有裨益.合情推理不僅可以應用于數學概念的學習中，而且還可以更多地應用到數學定理(公式、法則)，數學解題的學習中．數學教師要充分、合理地利用合情推理，鼓勵學生大膽猜想、合理推測,培養其歸納、類比能力，使合情推理成為學生自覺學習數學的方式，成為激勵學生探索、發現數學新知的金鑰匙．