合情推理：為深度理解數學概念導航*

錢建華 (江蘇省南通市通州區興仁中學 226371)

數學概念是構建數學大廈的基石，深度理解和掌握數學概念是數學學習的基礎.反思我們的數學教學，發現不少數學教師的教學觀念仍然停留在應試教育層面上，課堂上采取趕進度、填鴨式教學，學生學習囫圇吞棗、機械模仿，對數學概念一知半解，有的只是停留在操作性理解層面，有的只是停留在關系性理解層面，很少能達到遷移性理解層面.美國認知教育心理學家奧蘇貝爾指出：所謂理解，就是將新信息納入原有認知結構，新舊知識發生意義同化的過程.他還指出這種意義同化是一種非任意的、實質性的聯系.即這種聯系不是主觀的、牽強附會的，而是合情合理的.《義務教育數學課程課標(2011版)》中指出：發展學生的合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點[1].因此，在數學概念的教學中，要使學生真正深度理解數學概念,最直接的方法莫過于將合情推理引入數學概念的理解之中，充分運用合情推理來促進數學概念的深度理解.那么，在初中數學概念教學中如何發展學生的合情推理能力，促進學生的深度學習呢？

1 在類比數學概念生成方法中發展合情推理能力，促進數學概念的深度理解

習慣上，按照不同的來源，數學概念可以分為兩種：一種是對現實對象或關系直接抽象而成的概念；另一種是純數學抽象物，反映的是數學邏輯構造，無客觀實在與之對應，是抽象邏輯思維的產物.根據兩種數學概念的不同特征，我們需要設計恰當的問題情境，采用相適應的教學方法，學生在經歷概念發生、發展的過程中，認識、理解和掌握數學概念.其中，當數學概念是基于數學邏輯建構形成的純數學抽象物時，我們通常采用合情推理進行教學，即從設計熟悉的問題情境引入，運用已學的知識解決問題，從問題的結果中抽象出它們的共性特征，再類比、歸納出一般特征，從而形成數學概念.

案例1二元一次方程的概念教學片段

在臨床研究中發現,孟魯司特可擴張支氣管平滑肌,并有效降低患者的血管通透性。對于治療哮喘、過敏性鼻炎具有良好的效果。除了哮喘之外,近年的研究中也表明,孟魯司特在其他疾病的治療中,也具有較好的治療效果。如:慢性租塞性肺疾病、特發性肺間質纖維化、囊泡性纖維癥、病毒性細胞支氣管炎、慢性蕁麻疹、特應性皮炎、鼻竇炎、變態反應性真菌性鼻竇炎、中耳炎等疾病的臨床治療中。

(師生在復習了一元一次方程的有關概念后，進行如下教學設計)

師：同學們列出的方程還是我們以前學過的一元一次方程嗎？

生1：2x+2y=24.

師：長方形花圃周長是24 m，設花圃的長為xm，寬為ym.你用什么樣的數學式子來描述它們之間的關系？

生1：不是.

師：仔細觀察，能根據方程的特點給這樣的方程取個名字嗎？

案例2“直線與圓的位置關系”中的概念教學片段

生1：因為它含有兩個未知數，所以是“二元”，每個未知數都是“一次”，所以應該叫做二元一次方程.

師：你怎么想到的？

生1：類比一元一次方程的定義得到的.

師：很好！今天，我們將在一元一次方程的基礎上學習新的一章《二元一次方程組》.(教師板書)

師：什么是二元一次方程？

生2：有兩個未知數，并且未知數的次數是1的方程叫做二元一次方程.

本次62例研究對象均為我院2016年12月-2017年11月接收的食管異物患者,根據不同診治方法將其平均分為兩組,對照組31例患者中,男患與女患的比例是15:16,最大年齡值時79歲,最小年齡值是2歲,均齡值數是(45.26±1.52)歲;研究組31例患者中,男患與女患的比值是14:17,最大年齡值是78歲,最小年齡值是3歲,均齡值數是(44.89±2.03)歲,對比兩組患者基礎資料可知,未見顯著差異,統計學無意義(P<0.05)。

生3：不應該說是未知數的次數，應該說含未知數的項的次數，比如xy=24這個方程，每個未知數的次數都是1，但xy的次數是2，這個方程是二元二次方程.

師：這位同學思考得很深刻，例子也非常好，對于單項式的相關知識掌握得非常扎實．那么，我們把定義完善一下：方程中含有兩個未知數，并且含有未知數項的次數都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.

(教師板書在黑板的左側，與學生板書的一元一次方程對應)

師：通過剛才的觀察與實驗，你認為直線和圓的位置關系可分為幾種類型？分類的標準各是什么？

魯迅生平展覽廳中，陳列了很多魯迅的名言。比如：“當我沉默著的時候，我覺得充實；我將開口，同時感到空虛?！姨谷?，欣然。我將大笑，我將歌唱?！痹偃纾骸拔矣纸涷灹艘换赝粦痍囍械幕锇檫€是會這么變化，并且落得一個作家的頭銜，依然在沙漠中走來走去?！灰驗槌闪擞斡拢疾怀申嚵?，所以技術雖然比先前好一些，思路也似乎較無拘束，而戰斗的意氣卻冷得不少。新的戰友在哪里呢？我想，這是很不好的?！?/p>

生4：其實是一致的，一元一次方程只含有一個未知數，未知數的次數就是含未知數的項的次數.

引企入校是學校將企業引入校園，企業將生產車間建立到學校，企業和學校共同創建以生產實際產品為主的一體化實訓基地，此實訓基地具有濃厚的企業文化，在生產的基礎上能夠進行教學實訓等。這種共享性實習基地的建立，需要雙方投入、風險共享、效益共享，是一種比較合理的長效合作機制，加深了學校與行業企業的合作，推動了學徒制人才培養模式。但限于學校用地及實訓室的規模等狀況，很難有大型企業注入學校，解決不了所有專業學生的實習和就業等情況。

師：你理解得太深刻了！

以上通過類比一元一次方程的定義建構二元一次方程的定義，讓學生真正體會到“一元一次方程”和“二元一次方程”的定義的一致性，經歷“二元一次方程”的概念的形成過程，促進了學生的深度學習.

2 在實驗觀察事物本質特征中發展合情推理能力，促進數學概念的深度理解

觀察是人們對周圍世界客觀事物和現象在其自然條件下，按照客觀事物本身存在的實際情況，研究和確定它們的性質和關系，從而獲取經驗材料的一種方法.實驗則是人們根據一定的研究目的，利用工具(儀器)對周圍世界的客觀事物與現象，進行人為的控制、模擬，排除干擾，突出主要因素，在最有利的條件下考察和研究它們的性質和關系，從而獲取經驗材料的一種方法.

由于河道多為通衢要道，沿河聚落內人員流動頻繁，經濟、文化活動豐富。功能上的需求使得聚落內產生眾多建筑類型，包括住宅、廟宇、商鋪及水利建筑等。其中廟宇種類眾多，有祈雨祭天的龍王廟、求子祈福的觀音廟、求取功名的文昌閣，也有家廟祠堂。廟宇一般位于村子的中心或入口，限定了村子的邊界，增加了生活在聚落內人們的歸屬感，為其構筑了一道心理防線。村中的街道密度高，高差小，呈網狀分布，地面多鋪石材。聚落內的民居多為合院，分布集中，主要用木、土、石等三種材料修建，其中墻體多用石頭和土坯，內包木柱，少量經濟條件寬裕的人家民居會全部或部分使用青磚；屋頂則多用青瓦；院墻多用石頭和土坯。

(情境導入)

師：同學們在海邊看過日出嗎？下面請同學們欣賞一段視頻.(教師播放視頻)

如果我們把太陽看作一個圓，把地平線看作一條直線，太陽升起的過程中，太陽和地平線會有幾種位置關系？由此能聯想出直線和圓的位置.

生：有三種……

師：(黑板上演示)畫一條直線l，把一個鐵絲圓環看作一個圓.在黑板上移動鐵絲圓環，你能發現在移動鐵絲圓環的過程中，它與直線l的公共點的個數的變化情況嗎？

師：同學們類比一元一次方程的定義，得到了二元一次方程的定義.想一想,一元一次方程說的是未知數的次數為1，而二元一次方程說的是未知項的次數為1，這究竟是為什么呢？

圖6為DDR2控制器的框圖,圖中的4個模塊均為ddr2_top模塊的子模塊?？刂破鹘邮苡脩裘?將其解碼,然后生成對DDR2 SDRAM存儲器的讀取、寫入和刷新命令。數據通路模塊負責向存儲器發送數據并接收其發出的數據?；A架構模塊會生成時鐘和復位信號,通過數字時鐘管理器(DCM)生成時鐘及其反相時鐘。所有DDR2存儲器接口的輸入輸出信號皆由輸入輸出緩沖系統產生。

生：直線和圓有如下三種位置關系：第一種，直線和圓有兩個公共點；第二種，直線和圓只有一個公共點；第三種，直線和圓沒有公共點.

正解：鋁能將NaOH中的+1價的H還原嗎?當然不能,因為即使是還原性極強的金屬鈉也不能和氫氧化鈉反應放出氫氣,氫氧化鈉作氧化劑很顯然是錯誤的。鋁和氫氧化鈉溶液反應的實質是:2Al+6H2O==2Al(OH)3↓+3H2↑,2Al(OH)3+2NaOH==2NaAlO2+4H2O。

報告認為，服務業對中國經濟的貢獻有望進一步加大，由投資拉動型增長轉向消費驅動型增長，這將加大中國產品的內銷力度。報告特別指出，中國醫療行業的機遇尤為誘人。到2020年，中國將有逾1億人超過70歲，基本保險接近全覆蓋，不斷增加的可支配收入將加大“自費”開支。

師：課前，同學通過預學，知道了“單獨一個字母或一個數也叫做單項式”.這是一種規定.你知道為什么要做這樣的規定嗎？

師：(補充)這條直線叫做圓的割線.那么，對于其他兩種情況呢？

師生：(共同討論交流得到)第二種情況,直線和圓只有一個公共點，這時我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點.第三種情況,直線和圓沒有公共點，這時我們說這條直線和圓相離.

以上在直線與圓的位置關系的概念建構中，依賴于對直線l與鐵絲圓環位置關系的觀察，并通過實驗，得到直線與圓的位置關系的三種本質特征，進而形成直線與圓相交、相切、相離的概念.

3 在教學數學概念補充規定中發展合情推理能力，促進數學概念的深度理解

數學中的“規定”，是指數學中那些約定俗成的、不便于向學生解釋“為什么”的那部分知識.如數學中的基本概念、定義、數學符號、書寫格式等.中小學數學課本中的規定比比皆是,對于為何要單獨作這些規定,教師不僅要做到心知肚明，而且還要幫助學生深度理解和掌握，要讓學生感受規定的合理性，并學會數學思維，培養理性精神，不要讓學生在突兀的規定下產生學習數學的不良情感．教師要通過藝術處理，讓學生盡可能多地感知數學規定背后的故事、隱含的智慧，使學生更加理解數學、親近數學和數學老師.

弱冠:古代男子二十歲行冠禮,表示已經成人,因為還沒達到壯年,所以叫作弱冠,后來泛指男子二十歲左右的年紀。

案例3單項式的補充規定的教學片斷

師：講得很好！為了學習研究的方便，我們希望給直線和圓的三種位置關系分別取一個名字，對于第一種，怎樣取名呢?

生:第一種情況,直線和圓有兩個公共點，這時我們說這條直線和圓相交.

生1：……(支支吾吾，說不清)

師：(啟發)1×a是不是單項式？為什么？

回顧性分析行血液透析治療的35例DN者，所有患者經檢查確診為DN，醫院倫理委員會審核通過，患者符合血液透析指征，未合并高血壓性腎病、原發性腎病、藥物性腎損害等，患者簽署知情同意書。年齡區間41～79 歲，平均（58.2±4.3）歲，糖尿病病程 6～19 年，平均（12.0±1.8）年，DN 病程 2～10 年，平均（7.0±1.3）年，男16例，女19例。

生2：是.因為表示數或字母的積的式子叫作單項式．1×a是表示數或字母的積的式子，所以1×a是單項式.

師：現在再來看a，它是不是單項式呢？

生3：根據單項式的定義，它不是單項式，因為a不是表示數或字母的積的式子.

師：大家想想看，生3說得到底對不對？

(5)應急預案模糊，針對性、可操作性、銜接性不強，質量不高、應急反應較為混亂。未針對暴露問題“修”預案等現象較為明顯，地震應急預案系統性較強、內容全面，但缺乏具體的落實措施，多為規定各個部門的權利職責范圍，需要進一步細化。

(學生熱烈地討論)

社會發展進步給醫療事業發展帶來了較大的改變,現今,傳統的基礎護理已經無法滿足社會發展的要求,我國各大醫療機構在不斷提高整體護理水平,結腸造口護理質量也隨之提高。在發達國家和地區,造口治療醫師對造口護理的質量與效果有著極為重要的影響,時至今日,造口護理已經不是簡單地為患者清理糞便,而是需要通過生理護理、心理疏導以及社會支持等方面對其進行全方位的干預,從而改善患者的護理滿意度,并提高其生活質量,由此可見,社會對護理工作者的護理要求與護理內容在不斷提高。

師：現在大家想到了嗎，生3說得到底對不對？

生4：生3說得既對又不對．從形式上看，a不是表示數或字母的積的式子，所以a不是單項式.但是，由于1×a=a，a可以看成1×a的簡寫，1×a是單項式，那么a也就是單項式．

師：這么說來，兩種答案都有道理.那么，不就產生矛盾了嗎？

生5：為了消除這一矛盾，我們就必須對單項式做一個補充規定，規定單獨的一個字母或單獨的一個數也是單項式．

師：生5的想法非常合情合理，有了這個補充定義以后，在識別單項式時就不會產生歧義了. 這里，對于單項式的特征，引導學生從無意識的觀察變為有意識的探討，在此基礎上引導學生發現單項式的定義就變得水到渠成．

使用全站儀導線測量時，平面控制點的等級不應低于三級；使用GPS網絡RTK測量時，應按CJJ/T 73—2010《衛星定位城市測量技術規范》相關要求滿足GNSS RTK平面精度二級要求，高程中誤差不得超過±0.05m。直接采用已有平面控制點，控制點的校核限差應滿足GNSS RTK平面二級精度要求（實測邊長與條件邊長較差的相對誤差≤1/10 000），高程較差應小于±0.05m。三角高程測量時，改正后的高程值與RTK測量值較差應小于±0.05m。

在概念學習中通過合情推理，學生親身經歷數學概念的產生、發現、形成甚至命名過程，學習者充分感受數學概念形成得合情合理，從而促進對數學概念的深度理解．

4 結語

教育家陶行知說:“教育不能創造什么，但他能啟發解放兒童創造力以從事于創造之工作.”[2]數學課堂教學合情推理，就是創設這樣一種培養學生創造力的數學課堂學習環境．波利亞的“怎樣解題表”為我們進行合情推理提供了一個非常好的樣本，他在《數學與猜想》一書中說：“只要數學的學習過程稍能反映出數學的發明過程的話，那么就應當讓猜測、合情推理占有適當的位置．”[3]在日常的數學學習中，學生掌握合情推理的思想和方法能夠使學生原有數學認知結構得到充分的整合和優化，數學思維能力得到提升，并把學習者引入到一個更廣闊的領域，去體驗數學探究與發展的樂趣，對于學生學習數學概念大有裨益.合情推理不僅可以應用于數學概念的學習中，而且還可以更多地應用到數學定理(公式、法則)，數學解題的學習中．數學教師要充分、合理地利用合情推理，鼓勵學生大膽猜想、合理推測,培養其歸納、類比能力，使合情推理成為學生自覺學習數學的方式，成為激勵學生探索、發現數學新知的金鑰匙．