基于分數(shù)階阻抗的機器人動態(tài)接觸控制仿真

曹宏利

(太原理工大學 機械與運載工程學院，太原 030024)

隨著機器人技術(shù)高速發(fā)展，其作業(yè)約束正在突破傳統(tǒng)物理圍欄，逐漸融入多樣化的人類社會以及外界物理環(huán)境，如人機合作精密裝配、機器人輔助精密加工、醫(yī)療康復機器人機械臂[1]等都是目前較為活躍的應用領域。因此，如何控制機器人與物理環(huán)境之間的動態(tài)接觸過程問題顯得愈發(fā)重要[2]。機器人與環(huán)境之間動態(tài)接觸過程產(chǎn)生的接觸力常用閾值進行限制[3]，若非如此，可能會在接觸產(chǎn)生的瞬間形成過大接觸力，直接導致任務失敗，造成嚴重的生產(chǎn)事故。這種接觸超調(diào)現(xiàn)象可能是由于測量反饋或通信延遲，機器人建模誤差或環(huán)境動態(tài)變化，不連續(xù)控制輸入等多種因素復合所造成的[4]。為了解決這一棘手難題，國內(nèi)外研究者相繼提出了多種柔順控制方法。

目前機器人常用的柔順控制方法以混合位置力控和阻抗控制為主。MASON[5]提出了將機器人自由度和幾何任務分解的混合位置力控制，該方法將任務空間劃分為位置和力兩個獨立的子空間，在無約束的位置空間采用位置跟蹤控制，在力約束空間采用力閉環(huán)反饋控制。HOGAN[6]定義了運動與力之間的相互關系，即阻抗控制。在多數(shù)與機器人相關的動態(tài)接觸任務中，阻抗控制相比混合位置力控有更好的魯棒性能[7]。然而，混合位置力控直觀且簡潔的理念，常與阻抗控制結(jié)合用于處理更加復雜的動態(tài)接觸任務，如在不確定環(huán)境下機械臂裝配過程中從無約束到約束空間的平穩(wěn)過度控制[8]，患者上肢外骨骼屈伸康復[9-10]，機器人力控打磨應用[11-12]等。

為解決大多數(shù)工業(yè)機器人只開放位置控制模式而無法直接使用阻抗控制的問題，一些學者提出了基于位置的阻抗控制方案[13]。甘亞輝等[14]針對機械臂的打磨作業(yè)，根據(jù)力偏差計算出期望位置軌跡實現(xiàn)機器人接觸力控制。針對基于位置阻抗中動態(tài)更新速率調(diào)節(jié)問題，CAO et al[15]設計出一種實用簡便的調(diào)節(jié)方法。SHENG et al[16]針對機器人在加工大型薄壁零件中由接觸力超調(diào)損壞零件問題，設計了通過模糊控制率調(diào)整動態(tài)更新速率的阻抗控制。

與此同時，一些研究人員還將目光轉(zhuǎn)向了另一種非線性控制，即分數(shù)階阻抗控制，其相比整數(shù)階阻抗具有更加穩(wěn)定的效果[17]。由于分數(shù)階阻抗的固有記憶特性，能夠改善瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)跟蹤從而提高閉環(huán)系統(tǒng)性能[18]，如在提高人機物理交互的穩(wěn)定性[19]和外骨骼穿戴機器人的柔順性[20]方面都有著顯著效果。但分數(shù)階阻抗的階次計算十分復雜，如何實時計算和在實際應用中布置成為問題，OUSTALOUP et al[21]提出了一種利用頻率響應擬合分數(shù)階模型得到近似后的整數(shù)階傳遞函數(shù)，目前較為常用。即便如此，計算度仍然復雜，需要在實用性和復雜度之間找到合理的平衡點。不僅如此，分數(shù)階阻抗與整數(shù)階阻抗之間模型和性能差異研究較少，以及分數(shù)階阻抗在機器人與環(huán)境動態(tài)接觸過程中的作用效果和實施策略需要研究。

針對機器人與環(huán)境動態(tài)接觸過程產(chǎn)生的接觸超調(diào)、響應速度和跟蹤精度等問題，通過設計分數(shù)階阻抗改善接觸行為，提升接觸過程中的穩(wěn)定性。首先，通過分析當前整數(shù)階阻抗對接觸過程控制特性，設計出分數(shù)階阻抗控制。根據(jù)分數(shù)階阻抗的固有屬性設計百分比增益系數(shù)將分數(shù)階阻抗映射為整數(shù)階阻抗便于計算和實際應用，并將提升整數(shù)階的一些特性引入到分數(shù)階阻抗進一步提升性能。最后，開展了多種機器人在動態(tài)環(huán)境下的接觸性能仿真對比研究，驗證本文所提出的分數(shù)階阻抗控制的有效性。

1 經(jīng)典阻抗控制

基于位置的阻抗控制是將機器人的位置跟蹤與阻抗策略分層，測量接觸信息，通過阻抗控制計算位置偏差來調(diào)整期望軌跡，由機器人運動控制區(qū)進行運動跟蹤進而實現(xiàn)柔順接觸的方法[22]，如圖1所示。

圖1 機器人與環(huán)境交互簡化模型

阻抗函數(shù)常選擇型如G(s)=1/(mds2+bds+kd)的線性二階模型，其穩(wěn)態(tài)時接觸力跟蹤誤差如下[16]：

(1)

從式(1)可知，阻抗控制若要減小穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差，一是精確反饋測量環(huán)境的位置和剛度以此設計阻抗參數(shù)，然而實際中這是十分困難的。二是去掉阻抗模型的彈性項，并增加對動態(tài)環(huán)境進行補償，形成自適應阻抗控制如下[12]：

G(s)=1/(mds2+bd(s+ρ(s)).

(2)

自適應阻抗控制由于去掉彈性項，讓機器人與環(huán)境接觸瞬間產(chǎn)生能量無法緩慢釋放，因此會導致一定的超調(diào)現(xiàn)象。進一步，自適應阻抗控制的補償項，取較大的更新速率雖能提高穩(wěn)態(tài)跟蹤精度，但會使系統(tǒng)在接觸瞬間呈現(xiàn)振蕩超調(diào)行為[16]。因此需要對更新速率進行動態(tài)調(diào)節(jié)，能夠同時兼顧瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)行為的動態(tài)自適應阻抗控制被提了出來[15-16]。

因此，在機器人與環(huán)境動態(tài)接觸過程中，經(jīng)典阻抗實施策略可總結(jié)如下：在碰撞或接觸初始階段，可增大阻抗的彈性項或減小更新速率來抑制超調(diào)或不穩(wěn)定行為；在穩(wěn)態(tài)跟蹤或工作階段，去掉彈性項或增大更新速率來提高跟蹤精度。

2 基于分數(shù)階的阻抗控制

2.1 自適應分數(shù)階阻抗控制

由整數(shù)階自適應阻抗控制設計思路啟發(fā)，分數(shù)階阻抗中的二階微分因子由整數(shù)變成分數(shù)[19]，如下：

(3)

因此，分數(shù)階阻抗相比整數(shù)階阻抗多引入了階次參數(shù)α(1<α<2)，能夠調(diào)整機器人與環(huán)境之間的動態(tài)交互行為，使控制策略設計更加靈活。當階次取下極值，變成一階阻尼控制，取上極值時，變成了二階整數(shù)階阻抗控制。由此表現(xiàn)的固有自然屬性是隨著階次減小，慣性儲能特性逐漸衰減，而能量耗散特性將占據(jù)主導地位，變換到頻域表達如下：

(4)

由式(4)可知，分數(shù)階阻抗的有效質(zhì)量和有效阻尼分別為mdωαsin(απ/2)和mdωαcos(απ/2)+bd(jω+ρ(jω))，而一般整數(shù)階阻抗為md和bd，是固定常數(shù)。因此，分數(shù)階的有效阻尼和質(zhì)量與頻率相關，這一特性對動態(tài)接觸過程控制具有重要意義，減小分數(shù)階阻抗的階次，可以顯著提高機器人與環(huán)境接觸的穩(wěn)定性和魯棒性。

2.2 分數(shù)階阻抗近似計算

常用的間接逼近算法有連分式、Chareff、Oustaloup等，其中Oustaloup具有良好的近似效果[15]，但僅適用于特定情況，且計算分數(shù)階微積分仍舊復雜。

從分數(shù)階阻抗的固有自然屬性可知，有效質(zhì)量和阻尼由階次決定。由此，本文用百分比系數(shù)β=α-1(0<β<1)連接在取極限值下的兩個整數(shù)階控制器實現(xiàn)近似，由占空比進行調(diào)節(jié)，如下：

(5)

由式(5)可知，系數(shù)β決定了分數(shù)階阻抗近似后的有效質(zhì)量和阻尼，與階次α具有同樣調(diào)節(jié)作用。

2.3 響應速度

在阻抗方程前引入前置PID，通過調(diào)整PID參數(shù)可以同時改變阻抗方程的慣性和阻尼參數(shù)，從而改善阻抗控制的響應速度[23]。如圖2所示，當PID參數(shù)選擇使期望阻抗參數(shù)增大時，系統(tǒng)響應加快。

圖2 阻抗慣性和阻尼參數(shù)Bode分析

2.4 自適應邊界

分數(shù)階阻抗控制的穩(wěn)定性和響應速度不僅與近似系數(shù)β、PID參數(shù)有關，還與補償率ρ有關。經(jīng)由上述小節(jié)2.2分數(shù)階阻抗近似和小節(jié)2.3添加前置PID，自適應分數(shù)階阻抗在時域完整表達如下：

(6)

(7)

(8)

設置彈性接觸環(huán)境fe=-kee，并將其微分形式代入(8)可得：

(9)

(10)

(11)

對式(11)拉式變換得：

(12)

(1-β)mdTs3+bdTs2+keT(γβ(1-β)-σ)s+σke=0 .

(13)

由式(13)計算勞斯向量如下：

(14)

為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，系數(shù)必須為正，更新速率的邊界計算如下：

(15)

3 仿真實驗

為了驗證本文所提出的分數(shù)階阻抗在機器人動態(tài)接觸過程控制的有效性，本節(jié)設計了一系列機器人接觸的仿真試驗。

3.1 1-DOF機器人接觸仿真

采用固定步長求解器進行仿真計算，設定采樣周期T=4 ms(當前一般機器人的力控制周期)，輸入階躍函數(shù)形式的期望力，數(shù)值為Fd=30 N.機器人位置PD控制的參數(shù)設置為較高的正增益kp=1e6，kd=1 400.設置剛度環(huán)境為ke=4 000+800sin(π/2t).

圖3(b)展示了經(jīng)典柔順控制方法(整數(shù)階阻抗控制[6](integral order impedance control，IO-IC)、自適應整數(shù)階阻抗控制[12](integral order adaptive impedance control，IO-AIC))、基于模糊動態(tài)更新速率的自適應整數(shù)階阻抗控制[16](fuzzy integral order adaptive impedance control，F(xiàn)uzzy-IO-AIC)、分數(shù)階阻抗控制[19](fractional order impedance control，F(xiàn)O-IC)、自適應分數(shù)階阻抗控制[20](fractional order adaptive impedance control，F(xiàn)O-AIC)和本文Fuzzy-FO-AIC在同等阻抗參數(shù)基準下的接觸階段性能對比。

圖3 經(jīng)典阻抗與分數(shù)階阻抗性能對比

可以看出，IO-AIC在接觸階段時表現(xiàn)出較強的振動和超調(diào)行為，超調(diào)量約30 N，超調(diào)程度由高到低排列依次是Fuzzy-IO-AIC(15 N)，IO-IC(15 N)，F(xiàn)O-AIC(10 N)，F(xiàn)uzzy-FO-AIC (2 N)和FO-IC(2 N).這表明，F(xiàn)O-IC和Fuzzy-FO-AIC都具有較好的超調(diào)抑制能力。橫向結(jié)果對比表明，分數(shù)階阻抗由于其固有的阻尼作用，比整數(shù)階有更好的超調(diào)抑制能力。縱向結(jié)果對比表明，較小的更新速率會產(chǎn)生較小的超調(diào)。綜合來看，F(xiàn)uzzy-FO-AIC和FO-IC實際上是具有雙重阻尼效果，即分數(shù)階固有屬性抑制和較小更新速率雙重抑制因子。

圖3(c)展示了穩(wěn)態(tài)接觸力跟蹤性能對比。IO-IC和FO-IC的跟蹤效果較差，跟蹤誤差Fe為0.2～0.3 N.IO-AIC，F(xiàn)O-AIC，F(xiàn)uzzy-IO-AIC，F(xiàn)uzzy-FO-AIC均有較好的跟蹤效果，其跟蹤誤差約0.04 N.這表明無論分數(shù)階或整數(shù)階阻抗控制器，其穩(wěn)態(tài)接觸力跟蹤精度僅取決于更新速率的上邊界值，更新速率越大，精度越高。

為進一步驗證分數(shù)階阻抗對振動行為的抑制能力，對比整數(shù)階阻抗(IO-IC、Fuzzy-IO-AIC)和分數(shù)階阻抗(FO-IC、Fuzzy-FO-AIC)在突變、高剛度環(huán)境下的動態(tài)接觸過程性能，結(jié)果如圖4所示。

圖4 整數(shù)階與分數(shù)階阻抗在高剛度環(huán)境下變力跟蹤性能對比

在t=4 s時，環(huán)境剛度突然增大，整數(shù)階阻抗和分數(shù)階阻抗均表現(xiàn)出較高的接觸超調(diào)現(xiàn)象，而分數(shù)階阻抗收斂到穩(wěn)定狀態(tài)的速度明顯快于整數(shù)階阻抗，說明此刻的振蕩行為很快被抑制住。在t=6～8 s時間段，環(huán)境剛度增大，基于位置的阻抗控制在高剛度環(huán)境接觸中極易產(chǎn)生不穩(wěn)定接觸的行為[24]，該行為在Fuzzy-IO-AIC中表現(xiàn)最為劇烈，而IO-IC也表現(xiàn)出較小波動，但并沒有消失，說明減小更新速率一定程度上有利于抑制該行為，但抑制能力有限。相比之下，分數(shù)階阻抗對不穩(wěn)定的振動行為具有較好的抑制能力，由此更加突顯分數(shù)階阻抗的穩(wěn)定性和魯棒性，這種能力是其他控制器所不具備的。

3.2 6-DOF機器人力控打磨仿真

將分數(shù)階阻抗布置到PUMA560 6-DOF機器人上進行力控打磨仿真研究，在運動約束的x方向上進行力控制，其余方向進行運動控制。設定笛卡爾阻抗參數(shù)md=30 (N·s2)/m和bd=120 (N·s)/m，分數(shù)階阻抗的近似系數(shù)β=0.7.機器人采用逆動力學(PUMA560動力學參數(shù))加關節(jié)伺服進行運動跟蹤控制，PD參數(shù)kp=1e3，kd=35.采樣周期同上。

圖5(b)展示了IO-IC、IO-AIC、整數(shù)階動態(tài)自適應阻抗(integral order dynamic adaptive impedance control，IO-DAHI)[15]和分數(shù)階動態(tài)自適應阻抗(fractional order dynamic adaptive impedance control，F(xiàn)O-DAHI)在接觸階段性能對比。可以看出，IO-AIC同樣表現(xiàn)出較大的超調(diào)行為，隨著更新速率減小，振動超調(diào)在IO-IC和IO-DAHI有極大的減小，但并沒有完全消失。相比之下，F(xiàn)O-DAHI幾乎沒有超調(diào)。從圖6(c)穩(wěn)態(tài)跟蹤階段可以看出，IO-IC跟蹤精度較差，約為10.5%；而AHI，IO-DAHI和FO-AHI跟蹤精度提高，約為7%.因此，6-DOF機器人力控仿真與仿真3.1結(jié)果趨勢相同。

圖5 6-DOF機器人接觸過程仿真

綜合來看，基于分數(shù)階的自適應阻抗具有更好的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)控制性能，遠優(yōu)于當前常用的阻抗控制策略。本質(zhì)上分數(shù)階阻抗由于具有較好的穩(wěn)定性，可以適當增大更新速率，在一定程度上進一步提高跟蹤精度。

3.3 四足機器人行走過程仿真

圖6展示了四足機器人在行走過程中與環(huán)境的動態(tài)接觸過程，對比了純PD和分數(shù)階阻抗控制的性能。PD控制的參數(shù)kp=1e3，kd=1e2.四足機器人主要動力學參數(shù)mbody=2 kg，muleg=0.5 kg，mlleg=0.5 kg.分數(shù)階阻抗參數(shù)md=1 (N·s2)/m，bd=50 (N·s)/m和kd=1 000 (N·s)/m，階次取1.7.采樣周期同上。

圖6 四足機器人行走過程仿真

仿真結(jié)果表明，四足機器人從一定高度落下，兩種控制方式都不能抑制機器人與地面產(chǎn)生的振蕩超調(diào)接觸力，因此在實際中主動柔順常常要結(jié)合被動柔順控制才能實現(xiàn)更好的效果。然而，在落地穩(wěn)定之后，機器人行走過程中，純PD控制會使得四足機器人的四條腿在與環(huán)境接觸時都產(chǎn)生比較大的接觸超調(diào)，超調(diào)峰值力約為70 N，而分數(shù)階阻抗直接削減了接觸力超調(diào)峰值，峰值力均低于50 N.由此，分數(shù)階阻抗使得四足機器人在行走時關節(jié)驅(qū)動輸出更加平順，這能夠有效保護關節(jié)不受反復的過載和沖擊。

4 結(jié)論

本文針對機器人在動態(tài)不確定環(huán)境下的接觸過程控制問題，提出了分數(shù)階阻抗提升接觸過程的穩(wěn)定性。針對分數(shù)階阻抗復雜計算問題，基于其固有屬性提出了百分系數(shù)轉(zhuǎn)化，并給出了自適應調(diào)整邊界條件。分數(shù)階阻抗能夠直接削減接觸過程中產(chǎn)生的接觸力超調(diào)峰值，對系統(tǒng)產(chǎn)生的不穩(wěn)定的振蕩行為有一定的抑制作用。由此表明，所提控制策略適合機器人與動態(tài)未知環(huán)境接觸交互的控制任務。