分式方程的尋“根”之旅

文／唐榮喜

斐波那契是最早應用分式方程的歐洲數學家，早在13 世紀就提出了分式方程的概念。斐波那契的著作《計算之書》中給出了大量分式方程的應用問題，典型的有“分10 問題”和“分錢問題”。但《計算之書》中的所有分式方程在化整后，都沒有出現增根現象，因此，斐波那契也就沒有意識到分式方程增根的存在。

1850 年之后，西方許多數學著作中也出現了分式方程，但作者們往往對分式方程和分數系數方程不加區別，對增根仍視而不見。

“0 能否作除數”是分式方程是否產生增根的一個重要原因。1880 年左右，分析學的嚴密化促使數學家們重新討論這個問題。德國數學家利普希茨、奧地利數學家斯托爾茨等相繼指出：0 不能作除數。這次大討論在一定程度上促進了分式方程增根問題的解決。

1882 年，美國康奈爾大學三位數學教授奧里佛、威特和瓊斯在他們合著的《代數》中討論了分式方程的解法，證明了下面的定理：方程兩邊乘同一個數，若這個數既不是未知數的函數，也不是0或無窮大，則方程的根不變。三位數學家對分式方程增根和失根問題已經有了比較清晰的認識，他們指出，在方程轉化過程中，每一步都必須是正確的，并且是可逆的，否則必須將所得結果代入原方程進行檢驗，若有任何一步不正確或不可逆，就有可能會出現增根或失根。方程兩邊同時乘最簡公分母顯然不可逆，因此必須將所得結果代入原方程進行檢驗。結果若滿足原方程，即為方程的根，否則就是增根。

1899 年，美國賓夕法尼亞大學教授費舍和施瓦特在他們編寫的《代數基礎》中給出了分式方程的一般解法：先移項，使得分式方程的一邊化為0，然后進行通分、化簡，再令分式的分子等于0 且分母不等于0 來求解，用這種方法解分式方程避免了增根的產生。

分式方程的增根問題，從發現到解決經歷了漫長而曲折的歷程，增根問題的完美解決是數學家們前赴后繼、不懈追求的結果。數學家們鍥而不舍、追求真理的執著精神值得我們學習。