憶阻電路系統事件觸發脈沖穩定性研究

曾 旺，覃宇燕，宓 茜

（1.湖南工業大學 理學院，湖南 株洲 412007；2.湖南工業大學 電氣與信息工程學院，湖南 株洲 412007）

0 引言

1971年，美國加州大學華裔科學家蔡少棠教授首次提出了憶阻器[1]（memristor）的概念，稱其為除了電阻、電感和電容之外的第四種基本電路元件，并在文獻[2]中闡述了元件的特性、原理及應用。直到2008年，惠普公司的研究人員首次宣布了憶阻器的固態實現[3]。憶阻器具有保留電路中通過電荷的能力與特性[4]，在傳統的電路設計、信號處理、自動化控制以及神經網絡等領域擁有廣泛的應用空間和發展潛力，因而受到了學術界的廣泛關注[5-8]。

用憶阻電路中的憶阻器替代原來的二極管是實現憶阻電路系統設計、制造和控制的基本思路。由于涉及系統內多個不同部件的混沌控制，因此這個方法具有較高的挑戰性。文獻[9]研究了憶阻混沌系統的模糊建模和脈沖控制問題，將憶阻混沌系統建模為T-S 模糊系統，解決了其脈沖穩定性問題。基于文獻[9]提出的T-S 模糊模型，文獻[10]研究了在間歇控制下憶阻系統的指數穩定性問題。文獻[11]研究了具有不確定性的憶阻蔡系統的事件觸發滑模控制。

在具體的應用實踐中，來自不同領域的專家學者對脈沖控制的實現做了大量嘗試，并獲得了豐富的成果[12-15]，但事件觸發機制問題是應用實踐的一個技術難題。由于脈沖控制僅在必要時才執行，事件觸發的持續監測和精確快速反應，一直是脈沖控制領域中的熱點問題[16-19]。文獻[16]利用分布式事件觸發脈沖控制方法，研究了多智能體系統的領導-跟隨者一致性問題。文獻[17]在李雅普諾夫方法的框架下，利用事件觸發脈沖控制方法，研究了非線性時滯系統的指數穩定性。文獻[18]利用基于事件的脈沖控制方法，研究了連續時間動態系統的指數穩定問題及其在憶阻神經網路同步中的應用。文獻[19]在基于脈沖微分的李雅普諾夫穩定性理論和有限時間控制方法下，利用分布式事件觸發脈沖控制策略，研究了非線性多智能體系統的有限時間一致性問題。

受上述研究成果的啟發，本文針對憶阻電路系統，提出了一種基于T-S 模糊模型的事件觸發脈沖控制方法，并研究了其穩定性，以期為T-S 模糊模型事件觸發脈沖控制的進一步研究，提供一種新思路。

1 預備知識和模型描述

本節主要介紹了相關的符號和預備知識。In表示n階單位矩陣。對于矩陣A（或向量x），AT（或xT）表示A的轉置（或x的轉置）。Det(M)表示方陣M的行列式，Re(λ)表示復數λ的實部。

2008年，Itoh 和Chua 提出了基于憶阻器的憶阻混沌電路，如圖1所示。

圖1 基于憶阻器的混沌電路系統Fig.1 Memristor-based chaotic circuit system

首先，將Hewlett Packard（HP）憶阻器描述為以下形式：

v=M(q)i，或i=W(φ)v。

式中：v、i分別為電壓和電流；

圖1的電路系統可以描述為以下方程

式中u(t)為控制協議，將在后文詳細介紹。

令x1(t)=V1(t)、x2(t)=V2(t)、x3(t)=i(t)、x4(t)=φ(t)，以及，從而有

系統（2）可寫成如下形式：

利用T-S 模糊模型，可得

2 主要結論

為了研究憶阻電路系統的穩定性問題，本節提出一種事件觸發脈沖控制算法：

式中：λ為一個給定的增益，且-1<λ<0；δ為Dirac脈沖函數；tk（k=0,1,…）為智能體i的事件觸發時間序列，且t0

在控制協議（5）下，系統（4）可寫為

式中：事件觸發時間序列tk定義為

其中事件觸發函數f(t)定義為

定理1在事件觸發條件（7）下，若控制協議（5）中控制增益λ滿足-1<λ<0，則憶阻電路系統（4）可以達到漸進穩定，并排除了Zeno 行為的發生。

證明考慮如下李雅普諾夫函數

首先，證明憶阻電路系統（4）在控制協議（5）下可以達到穩定，即當時，如果

則有

一方面，注意到0<1+λ<σ<1，根據式（10）可知，如果

則有

從而得

根據式（7）和式（8）有

這時必然存在一個正常數β，滿足σ2<β<1，從而有

因此，當t→∞時，k→∞，從而V(t)→0，也就是x(t)→0。

再證明憶阻電路系統Zeno 行為不存在，即兩個觸發時刻之間的間隔是正的。

從而有

根據式（4）和式（5）可得

從而有

這就證明了憶阻電路系統Zeno 行為不存在。

3 數值仿真

本節用數值仿真來說明控制協議（5）的有效性，且在所提控制協議下，憶阻電路系統（4）是可鎮定的。

對于圖1中的憶阻器電路系統，相關參數取值選擇如下：C1=0.15，C2=0.8，R=0.1，G=1.5，L=1；同時選取a=0.3，b=0.1。顯然，A1、A2可表示為

再選取控制增益λ=-0.2，事件觸發函數（8）的參數σ=0.9。仿真結果如圖2和圖3所示。

圖2 仿真所得x(t)的狀態軌跡Fig.2 State track of simulated x(t)

圖3 事件觸發時間Fig.3 Event-triggered time

從圖2中x(t)的狀態軌跡可以看出，在控制協議（5）和事件觸發條件（7）下，憶阻電路系統（4）是漸進穩定的。從圖3中事件觸發時間可以看出，系統排除了Zeno 行為的發生。

4 結語

本文討論了憶阻電路系統事件觸發脈沖穩定性的問題。首先，利用T-S 模糊化方法進行建模，得到相應的線性系統模型。再結合事件觸發控制理論、脈沖控制理論，提出了一種事件觸發脈沖控制協議，再通過Lyapunov 穩定性理論，給出系統達到穩定的條件。最后，通過數值仿真，驗證了所得結果的有效性。