“一題一課”視角下的初中數學習題課初探
——基于圓綜合復習題的教學實踐

陳 琦

(海曙區儲能學校,浙江 寧波 315010)

1 現狀與思考

1.1 現狀審視

習題課是初中數學復習課的重要課型.在傳統的數學習題講評課中，大多數教師是以復習概念、講解習題為主;選擇的例題多而散，針對性不強，缺乏層次感;學生課堂參與度不高，無法真正化為自己的知識.應試教育缺失研究與實踐，缺乏探究與創新，從而直接導致學生出現機械記憶、套用公式等淺層次學習的現象.

1.2 背景簡述

“一題一課”逐漸成為一種新型的習題課，它以切口小、內容精、方法多的特點頻繁出現在課堂教學評比和平時的復習課教學中，吸引了廣大數學教師.“一題一課”，本質上是利用“一題”串聯多內容、系統化的復習課教學形式，彰顯數學學習內容的整體性和關聯性.

筆者所在區連續幾屆教壇新秀評比都采用“一題一課”的課堂教學評價模式，2022年的課題是以提供的試題為基本素材進行專題復習教學.

1.2.1 素材

圖1

1)求證：AD∥OC；

2)求y關于x的函數關系式；

3)求四邊形ABCD周長的最大值．

1.2.2 要求

1)充分挖掘素材的知識點，思考問題，理清思路，設計課堂教學互動.

2)本次評價授課對象為初三(九年級)學生.授課時間40分鐘.

1.3 改進與思考

針對目前習題課的現狀，我們需要解決當下數學課堂中普遍存在的知識碎片化、認識表層化及方法單一化等問題.把淺層學習轉變為學生的系統化思維活動，讓學生積極參與、深度思考，達到激活知識、自我建構數學知識體系的目的.

高品質習題課重在優化數學任務的設計.本文通過教師A設計的這節比賽課，對以上背景材料進行分析，抓住圓的綜合知識的核心，呈現出有梯度的教學環節，努力培養學生的發散性思維.教師A設計的流程圖如下：

2 基于活動化的教學流程設計

2.1 基本教學流程

活動1識圖.

預設1CD=BC(等弧所對的弦相等).

預設2∠A=∠COB(圓周角定理).

預設3AD∥OC(同位角相等，兩直線平行).

預設4∠B+∠D=180°，或∠A+∠BCD=180°(圓內接四邊形定理).

設計意圖低起點入課，人人都能積極參與課堂，復習圓中基本定理，如圓周角定理、圓內接四邊形定理等.既用實例復習圓中的核心定理，又為后續的證明提供依據.

活動2探圖.

在初始圖形的基礎上，如圖2，再聯結圖形中的一條線段，你能得到哪些新的結論?

圖2

預設1聯結BD,得到∠ADB=90°，OC垂直平分BD(垂徑定理).

預設2聯結AC,得到∠ACB=90°，∠DAC=∠CAB=∠ACO,從而得到AD∥OC(圓周角定理).

預設3聯結OD,得到∠COD=∠COB,也可以推導出AD∥OC(圓心角定理).

設計意圖學生通過添加不同的輔助線，進一步鞏固圓中的核心定理，如垂徑定理、圓心角定理等，不斷完善圓定理的復習內容.課堂因學生的活動而精彩.

活動3品圖.

在初始圖形的基礎上，如圖3，延長AD,BC交于點E，你能得到哪些新的結論？聯結AC，你還能得到哪些新的結論？

圖3

預設1CE=CB(中位線的逆定理).

預設2△EDC∽△EAB，△COB∽△EAB,△EDC∽△COB.

預設3聯結AC，得AC是∠DAB的平分線，也是邊BE上的高線，易證△ACE≌△ABC(ASA)，得CE=CB，AE=AB，△ABE是等腰三角形.

預設4再聯結BD，則

設計意圖在圖形外作輔助線，學生較難想到，教師示范添線，再現“新大陸”.發現圖形中蘊涵著線段相等、角相等、面積相等，還有相似三角形、全等三角形等，這些都為后續求四邊形ABCD周長的最大值提供了不同的方法和思路.

活動4讀圖.

圖4

1)當AD變化時，CD是否變化？你能確定y與x的取值范圍嗎？

2)請你添加一個y的值，并求出此時x的取值.

3)請用盡可能多的方法求y關于x的函數表達式.

預設當AD變化時，CD也隨之變化，且

OC⊥BD，DF=BF.

又OA=OB,從而

在Rt△CFB中,

BC2-CF2=BF2.

在Rt△OFB中,

OB2-OF2=BF2，

于是

OB2-OF2=BC2-CF2，

即

亦即

設計意圖賦予變量，引導學生發現AD與CD之間的關系，從特殊到一般，為后續求四邊形ABCD周長的最大值做鋪墊，同時利用不同的構造，積極引導學生探究一題多解，使圓的復習層層深入，與所學的幾何知識多方位聯系，真正拓展了學生的思維.

活動5用圖.

如圖1，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB是直徑，點C為BD的中點.已知AB=10，CD=x,AD=y，請求出四邊形ABCD周長的最大值.

周長=AB+AD+CD+BC=10+y+2x

設計意圖建立函數模型，求解幾何最值問題，有了前面的探究過程，這一環節顯得順理成章，發展了學生數學建模的核心素養，體現了函數的應用價值.

2.2 圓綜合題解題拓展教學流程

在幾何學的教學實踐中，往往一題會存在多種不同的解題思路，但殊途同歸，能得到相同的結果.在本節圓的“一題一課”教學中，為拓展解題思路，開闊學生的解題視野，教師設計了如下拓展題教學.

拓展思路通常可利用平行線的判定證明平行,如尋求同位角和內錯角的等量關系等.

方法1利用垂徑定理證明OC⊥BD.由于AB為直徑，因此可證明∠ADB=90°.

方法2聯結AC，利用弧相等、圓周角相等證明∠DAC=∠CAB.再根據OA=OC,得

∠CAB=∠ACO=∠DAC,

得

AD∥OC.

方法3利用圓心角和圓周角與弧的關系.由

從而

AD∥OC.

拓展問題2如圖5，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，AB是直徑，點C為BD的中點.已知AB=10，CD=x,AD=y，請求出四邊形ABCD周長的最大值.

圖5

拓展思路1)本題目標是建立相關的數學模型，通過模型討論周長的最大值問題；

2)通過以前學習的知識，知道這個數學模型是二次函數最值問題；

3)圍繞周長關系式C=10+2x+y，將式中多個變量轉化成單變量；

4)在數學建模過程中，關鍵是要找到x與y的關聯和解決這些關聯的途徑和方法；

5)方法：通過作輔助線，根據已知條件構思角、邊、幾何圖形，結合幾何圖形的性質、定理進行推導.

方法1如圖5，延長CO交圓于點E，聯結BE.易證

△CMB∽△CBE,

得

CB2=CM·CE，

即

方法2如圖6，延長BC,AD交于點E.易證

圖6 圖7

△ECD∽△EAB,

得

EC·EB=ED·EA.

因為CD=CB=x，∠EDB=90°，易證

CD=CB=CE=x,

∠EDC=∠E=∠ABE,AE=AB=10,

所以

x·2x=10(10-y).

方法3利用面積相等(如圖7).

從而

方法4如圖8，將△ADC繞點C逆時針旋轉，使CD旋轉到CB.利用射影定理，得

圖8 圖9

CB2=MB·AB,

從而得出結論.

方法5如圖9，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E,CF⊥AB.由△EDC≌△CFB,△ACE≌△ACF，可設DE=BF=a,a+y=10-a,再由射影定理得CB2=BF·AB,從而得出結論.

3 教學思考

3.1 “一題一課”設計要以題干為依據，挖掘題目本身的知識點

“一題”即指問題的題干不變，依托同一個問題背景或情境，從某些重要的知識、方法或模型運用等為切入點，將平時學習中割裂的、碎片化的知識有效聯結起來，系統架構，整體設計“一課”，使學生由此及彼，達到知識與方法的融會貫通[1].

本課的設計側重點是圓等幾何知識的復習，素材提供了這道幾何題本身所蘊涵的豐富的幾何知識點及其應用.我們要以題干為依據，從一個基本圖形出發,激活學生已有的知識積累,然后逐漸添線，變換圖形，賦予圖形不同的情境,讓學生理解變式圖形的基本要素之間的關系,從而找到解決問題的核心知識點與方法.通過學習，學生在課堂中對圓、三角形等幾何核心知識進行了梳理，同時又體會到其在函數領域的應用價值.

3.2 “一題一課”設計要從學生的認知規律出發，為學生搭建合適的臺階

波利亞曾說過：“一個專心、認真備課的教師能夠拿出一道有意義但不太復雜的題目，幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域.”[2]“一題一課”設計的探究互動應符合學生的認知規律，遵循思維的最近發展區.教師要善于為學生搭建合適的臺階，引導學生學會審題和分析，把題目中的各個知識點串成知識線，進而融成知識面.設計圍繞素材圖形，每個問題的提出由淺入深，前后呼應.本案例通過添加輔助線、復習圓中的基本知識，強化對知識的深度理解.開放性問題引導學生發現y和x之間存在的關系，為得出y關于x的函數關系式提供方法，從特殊到一般，很好地突破了本課的難點，最后順理成章地解決四邊形ABCD周長的最大值問題.這樣的設計，一氣呵成.

堅持以學生為主體，通過設計有階梯式的問題，啟迪學生積極思考，主動去透視課堂，提煉解題策略，滲透數學思想，挖掘數學本質，讓學生真正成為課堂的主人，彰顯“一題一課”的價值.

3.3 “一題一課”教學中教師要善于“借題發揮”，引導學生“一題多解”

“一題多解”是數學習題課教學的重要形式，是培養學生思維品質的有效途徑．教師在解題教學中注重“一題多解”，有利于學生深度認識數學知識的本質，探尋知識之間的區別與聯系，掌握解決問題的一般規律，克服思維定勢，培養創造性思維能力[3].

在“一題多解”的教學過程中，學生的方法很多，本案例中如果教師沒有耐著性子傾聽學生的各種解法，就看不到多種解法的思維火花，也就不會有隨后對各種解法的探究與比較，這就造成教育價值的流失.教師不但要學會傾聽，更要善于總結歸類，要幫助學生分清是不是一類方法，如在證明平行中，拓展方法1和拓展方法3都用到了同位角的關系，可以總結為一種思路；又如求y關于x的函數關系中,拓展方法1和拓展方法2都利用相似建立邊之間的關系，但是證明相似的思路不一樣，拓展方法1使用的是垂徑定理，拓展方法2使用的是直角三角形的性質和圓內接四邊形的性質；拓展方法3利用面積相等；拓展方法4和拓展方法5都是通過構造全等三角形，利用射影定理找出x,y之間的等量關系.所有的方法都可以歸結為求y關于x的函數關系式，這就是方程的數學思想.加強學生數學學科核心素養的培養，就需要教師適時地總結、提煉數學思想方法，讓學生“會一題，得一法，通一類”.

3.4 “一題一課”的教學要重視問題化和互動化，引導學生深度參與課堂教學

托爾斯泰曾說：“成功的教學所需要的不是強制，而是激發學生的興趣.”濃厚的學習興趣，可以使學生產生強烈的求知欲、敏銳的思維力、豐富的想象力以及迫切探求新知識和新問題的推動力.基于此，對于習題課的教學，教師需要適時后退，促使學生主動地深度參與課堂教學.

在本案例中，教師在設計教學內容時充分考慮了問題化和互動化，通過問題串聯知識點，在活動1～活動5中活用素材.學生先通過添加輔助線改變問題的情境，然后以問題為導線由淺入深，各個層次的學生都能經歷數學觀察、操作、歸納、驗證、問題解決等數學學習過程，獲得了研究數學問題的經驗，凸顯了以全體學生為主體的數學課堂.