立足學(xué)科本質(zhì) 培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)
——2022年甲卷理科第10題分析與啟示

■黎方平

一、試題呈現(xiàn)

本題設(shè)置學(xué)習(xí)探索情境，以高中數(shù)學(xué)中代數(shù)與幾何板塊中的主干內(nèi)容——解析幾何為內(nèi)容載體，以求橢圓離心率問題作為任務(wù)，考查點的對稱性、直線的斜率及其計算、橢圓的方程及離心率的計算等基礎(chǔ)知識，考查邏輯推理能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程、數(shù)與形結(jié)合、特殊與一般等數(shù)學(xué)思想方法，考查極限思想。試題的解答，要求學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)理性思維，對數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)有一定的要求。

二、解題思路

（一）“本手”①——解析幾何最基本的研究方法

坐標法是解析幾何中最基本的研究方法。對于高中學(xué)生，在面對一個幾何問題時，如果不能快速獲得綜合幾何的解法，則用坐標法求解是最自然的思考。這是數(shù)學(xué)解題思考的“本手”——根據(jù)問題的基本特點，從相關(guān)的知識出發(fā)，結(jié)合條件的基本特征，按基本規(guī)律進行思考、解答。

解法一：

設(shè)點P的坐標為（x1，y1），由點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱，得點Q（－x1，y1），，即

整個解答過程，只需要運用相關(guān)的基礎(chǔ)知識反映條件，應(yīng)用解析幾何的基本方法建立聯(lián)系，便可以順暢解決問題，沒有多大的思維量和運算量，耗時也不多，充分體現(xiàn)了高考對扎實基礎(chǔ)的要求。解答好高考數(shù)學(xué)試題，“本手”是最重要的。

（二）“熟手”——發(fā)揮教材例題的典型作用

1.分析典型探方法

人教A版（2019版）的第108頁例題3是這樣的：

設(shè)A，B兩點的坐標分別為（-5，0），（5，0）。直線AM，BM相交于點M，且它們的斜率之積是-，求點M的軌跡方程。

根據(jù)題意，設(shè)點M的坐標為（x，y），那么直線AM，BM的斜率就可用含x，y的關(guān)系式分別表示。由直線AM，BM的斜率之積，可得出x，y之間的關(guān)系式，進而得到點M的軌跡方程為

在學(xué)生完成上面的探索后，有必要引導(dǎo)學(xué)生從兩個方面進一步探究。

其一，所求方程的軌跡為橢圓，橢圓方程中的a2=25，b2=，從而A（-5，0），B（5，0）為該橢圓的頂點，且

將問題一般化：

教學(xué)中，對典型問題進行深化、拓展，引導(dǎo)學(xué)生將問題一般化，或者變換條件進行思考，能促進學(xué)生更深刻地理解知識、掌握方法，形成具有個體感受和體驗的活動經(jīng)驗。

以此為基礎(chǔ)，可以簡化解法一的求解過程，從另一個角度反映已知條件，進行有效的思考。

解法二：

如圖1，設(shè)點B為橢圓的右頂點，則由A，B關(guān)于y軸對稱得kAQ=－kBP，由，得，從而離心率

圖1

上述解法，與學(xué)生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識、教材例題聯(lián)系緊密。這樣的考查，有利于引導(dǎo)學(xué)生對平時學(xué)習(xí)的基本問題深入思考，從機械刷題訓(xùn)練中走出來；引導(dǎo)教師體會用教材教學(xué)，通過拓展與探索，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，減少不必要的訓(xùn)練，實現(xiàn)教學(xué)的提質(zhì)增效。教學(xué)中，適當?shù)囊话慊幚硎欠浅１匾摹?/p>

2.拓展引申尋本質(zhì)

在教學(xué)中，根據(jù)學(xué)習(xí)實際可以引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)深入探討。將頂點A，B關(guān)于橢圓中心的對稱一般化，通過猜想、證明，發(fā)現(xiàn)更具一般性的結(jié)論。

有這樣的分析和探索之后，學(xué)生也可能會得到如下解法。

解法三：

如圖2，設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為P1，則點P1與點Q關(guān)于原點O中心對稱（也可以直接作Q關(guān)于O的對稱點P1，說明點P，P1關(guān)于x軸對稱），而點A在橢圓上，故kAP1kAQ=（－kAP）kAQ=－，即，所以離心率

體育教師的工作比較繁忙，課堂教學(xué)、早操、課外活動、業(yè)余訓(xùn)練，器材室管理，學(xué)校的雜活等都離不開體育教師，事務(wù)多，任務(wù)重，很難有更多的時間靜下心來進行閱讀積累，體育教師可以有選擇性地進行閱讀，如教師進行教學(xué)案例方面的撰寫，就可以參照最近三年的《中國學(xué)校體育》雜志社舉辦的案例評比，以及發(fā)表在學(xué)體雜志上的獲獎案例，按照上面的格式再結(jié)合自己的經(jīng)歷，加以修改、潤色就能寫出很好的案例。

圖2

從解題過程看，解法二、三直接應(yīng)用探索獲得的“二級結(jié)論”，更為便捷地獲得了

需要指出，如果學(xué)生不清楚二手結(jié)論的本質(zhì)，而是單純記憶結(jié)論，遇題盲目套用，“熟手”也就容易變成“俗手”，是教學(xué)中應(yīng)該避免的。

（三）“妙手”——以數(shù)學(xué)思想為指導(dǎo)的解題

在復(fù)習(xí)階段，還要從更高的思維層次來看待這一問題。題中的P，Q是橢圓上關(guān)于y軸對稱的任意兩點，解決的是具有普遍性的結(jié)論，自然對極端情形也成立。因此，引導(dǎo)學(xué)生運用“特殊與一般”的關(guān)系，從而會有如下簡練的思考。

解法四：

設(shè)橢圓的一個短軸端點為C，由題意，對任意關(guān)于y軸對稱的點P，Q，總有kAPkAQ=成立。當點P，Q均無限接近點C時，直線AP與AQ無限接近AC，從而，即，則離心率

這里以理解特殊與一般的關(guān)系為核心，運用極限思想完成轉(zhuǎn)化，充分體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下去解決問題，就可能出“妙手”。這樣的思考，正是學(xué)生思維品質(zhì)的體現(xiàn)，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的反映，更展現(xiàn)了高考試題對學(xué)生數(shù)學(xué)能力的有效區(qū)分。

三、培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的啟示

（一）逐級思考是培育素養(yǎng)的有效途徑

學(xué)生在面對具體問題時，會依據(jù)自身的知識和經(jīng)驗儲備進行思考。通過教學(xué)，希望學(xué)生能形成有序、多級的思考方式，進行有層次的思考。通過本題的分析，可以把解題思考分為以下三個層次：

第一，自然的思考。根據(jù)條件、結(jié)論的特征和解題需要，直接反映基礎(chǔ)知識，聯(lián)系基本方法，嘗試解決問題（如解法一）。

第二，有效的思考。注意問題背景、解題目標，考慮不同表達，排除運算與思考障礙，使解題過程更為簡捷，提升解題效益（如解法二、三）。

第三，簡練的思考。注意知識、方法的核心應(yīng)用背景，深入挖掘問題情境的本質(zhì)特征，更綜合地運用內(nèi)在關(guān)系，運用數(shù)學(xué)思想，簡練地表達條件和結(jié)論，用思維的力量解決問題，優(yōu)化思維層次（如解法四）。

在解決具體問題時，自然的思考可能得到的是最費時費力的方案，要引導(dǎo)學(xué)生思維不斷向有效思考、簡練思考發(fā)展，這在解題教學(xué)中尤其重要。

（二）因時應(yīng)勢是有效教學(xué)的必然要求

學(xué)生的認知能力是在學(xué)習(xí)過程中逐漸發(fā)展的，因此教學(xué)目標的設(shè)定要依賴于學(xué)生學(xué)習(xí)的實際情況，做到任務(wù)分層，難度逐級提升。

新課教學(xué)中，要注重基礎(chǔ)性。在學(xué)習(xí)了離心率的概念后就可以用這個試題作為當節(jié)課的思考題，學(xué)生能運用解析幾何的基本研究方法給出第一種解答，也可能給出第二種解答。教師在充分注意“基礎(chǔ)性”的前提下，可引導(dǎo)學(xué)生分享自己的思考和解法，既能起到復(fù)習(xí)鞏固基本知識和基本方法的作用，也能引導(dǎo)學(xué)生綜合應(yīng)用前面所學(xué)來深入思考，培養(yǎng)探索的習(xí)慣，提升對數(shù)學(xué)問題的探究能力。

復(fù)習(xí)教學(xué)中，要注重綜合性。復(fù)習(xí)教學(xué)的目的在于“溫故知新”，知新的關(guān)鍵在于對教材的再創(chuàng)造，促進學(xué)生優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，深化數(shù)學(xué)認識，提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在復(fù)習(xí)教學(xué)階段，如解法三的分析，可以按照特殊到一般的路徑，引導(dǎo)學(xué)生認識本題的“幾何本質(zhì)”，加深學(xué)生對橢圓定義的認識，并進一步認識橢圓的對稱性及斜率乘積的不變性。在具體求解時，又可以利用特殊與一般的關(guān)系，創(chuàng)新性地獲得解法四，實現(xiàn)思維的高階發(fā)展。

學(xué)習(xí)過程中，要注重延伸性。本題的研究，從特殊的橢圓出發(fā)，推廣到橢圓具有的一般性質(zhì)，最后又結(jié)合“一般與特殊”的關(guān)系，利用極端情況獲得了解答。新課學(xué)習(xí)伊始，從坐標角度認識斜率乘積為－，促進學(xué)生從方程的角度理解本題，達成理解基礎(chǔ)知識、掌握基本方法的目標。隨著學(xué)習(xí)的推進，將教材典型例題一般化，獲得了這個結(jié)論，實現(xiàn)特殊到一般的深化。進入復(fù)習(xí)階段，還要從類比推理的角度加以引導(dǎo)，類比“圓上一點與直徑兩端點連線垂直”可以更加深刻認識橢圓直徑具有的kMPkMQ=－這一性質(zhì)，實現(xiàn)對橢圓直徑認識的深化。教學(xué)中，適時地進行拓展，讓學(xué)生真正理解這個性質(zhì)，獲得“如何逐步深入問題本質(zhì)，如何對問題進行拓展和探索”的經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

（三）理解本質(zhì)是學(xué)習(xí)知識的永恒追求

本題突出了內(nèi)容主線和反映數(shù)學(xué)本質(zhì)的核心概念、主要結(jié)論、通性通法，特別關(guān)注了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中探究與發(fā)現(xiàn)等思維品質(zhì)的形成，關(guān)注學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)的能力。

教學(xué)中，教師始終應(yīng)把促進學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)放在首位，以提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為目標，培養(yǎng)學(xué)生在面對問題時能從自然的思考向有效的思考過渡，最終實現(xiàn)簡練思考的能力。

教無定法，關(guān)鍵在得法。我們教學(xué)追求的是提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。表現(xiàn)在解決數(shù)學(xué)問題時，形成了具有思維價值的思考程序、思維模式，能把握一個數(shù)學(xué)關(guān)系產(chǎn)生和發(fā)展的過程，深入問題本質(zhì)，養(yǎng)成探索的習(xí)慣，在面對復(fù)雜情境、新穎的問題時，能創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、探索提出問題并最終解決問題。

注釋：

①“本手、妙手、俗手”是圍棋的三個術(shù)語。本手是指合乎棋理的正規(guī)下法；妙手是指出人意料的精妙下法；俗手是指貌似合理，而從全局看通常會受損的下法。對于初學(xué)者而言，應(yīng)該從本手開始，本手的功夫扎實了，棋力才會提高。一些初學(xué)者熱衷于追求妙手，而忽視更為常用的本手。本手是基礎(chǔ)，妙手是創(chuàng)造。一般來說，對本手理解深刻，才可能出現(xiàn)妙手；否則，難免下出俗手，水平也不易提升。

——摘自全國新課程Ⅰ卷語文作文題