正則性方法的內涵與理解

曹志杰

(三峽大學理學院 湖北宜昌 443002)

微分方程解的正則性在數學研究中非常重要，此外還有其他對象的正則性。研究發現，不同的數學對象，有不同的正則化過程和正則性要求。這給數學研究者，尤其是初級研究者帶來很大的理解障礙?；谶@種狀況，考察一般正則性與正則化的基本內涵，給一些不同的正則性和正則化的理解提供一種“范式”是必要的。該文正是基于這種考慮，試圖為較為容易地理解和把握種類繁多的正則性和正則化現象，介紹一種思路。

1 正則性概述

研究解的正則性是微分方程求解分析中非常重要的一個方面。文獻[1]的第四章第六節詳細說明了數學家對微分方程求解的正則性分析過程：從古典導數到廣義導數，且引出廣義函數從而將方程的求解范圍逐步擴大以得到解的表達式，接著分析傅里葉變換的逆對應的空間變化等內容，為將由廣義導數表達的解回到古典導數上打下基礎。其實整個過程，就是先用某種方式將解表達出來，然后分析這樣做時出現的問題并加入條件將問題解決。微分方程解的正則性討論在碩、博士畢業論文中也屢見不鮮，比如：文獻[2]詳細討論了Landau-Lifshitz 方程與Maxwell 方程在自旋累積效應下耦合系統解的部分正則性等性質及三維A帶自旋擴散的Landau-Lifshitz-Maxwell系統的部分正則性；文獻[3]利用解析半群理論、分數冪理論、不動點定理研究了兩類具有非局部條件的中立型發展方程解的存在性與正則性問題。文獻[4]證明在一定條件下不可壓三維Navier-Stokes 方程的弱解u是正則的；文獻[5-7]分別研究了三維廣義的MHD系統和Hall-MHD系統的正則性規則，Navier-Stokes方程的局部正則性條件，和三維MHD-α型模型全局吸引子的正則性。

數學文獻中遇到的正則，涵義往往有很大差異，如函數正則化方法、某測度是正則的、偏微分方程解的正則性估計等表達，還有，如正則性公理（也叫基礎公理，是Zermelo-Fraenhel 集合論中的公理之一）、正則表達式（這是一種可以用于模式匹配和替換的工具，可以讓用戶通過使用一系列的特殊字符構建匹配模式，然后把匹配模式與待比較字符串或文件進行比較，根據比較對象中是否包含匹配模式，執行相應的程序）等。語義上，以上出現的“正則”各對應正則（regular），或正則性（regularity），或正則化（regularize）中的某一種或幾種。在不同的數學學科背景中，這些“正則”的意義相差甚遠，初學者對這些差異會感到極大的困惑。這個困惑的程度，比另一個常見的數學名詞——齊次性，引起的要嚴重一些。畢竟，諸如（非）齊次線性方程組、齊次微分方程、齊次多項式（函數）等，這些“齊次”的含義雖然不同，但其定義很清晰，理解起來一般不會有難度。

由此可知，正則現象（指某對象的正則性和正則化）與某種規則相連。正則化，顧名思義，就是根據某規則，按照（某種）方式行事，這個過程中要求的對象的性質，就稱為正則性。粗略來講，正則就是在實際應用中向某個規則靠攏，以此解決僅靠規則解決不了的“棘手”問題以及由此而產生的一系列相關問題：譬如函數正則化方法，是用光滑函數逼近一般函數（其光滑程度不滿足實際需要）的方法，就是函數向光滑函數靠攏之意，二者達到一定的接近程度，就可用光滑函數的方法來解決一般函數的問題；某測度是正則的，按照定義指的是對集族中的任一集合（對測度而言，是非?！半y測”的），都可找到一個“可測”的集合，使后者包含前者，并且二者的“測度”是相等的，這可理解為集族中任一集合的某度量都向某一測度靠攏，因而得到集族的一個測度。

對方程解的正則性進行估計是求解偏微分方程時的一個重要問題。事實上，假設解是存在的，只需要再證明某種先驗估計，解的存在性就得到證明。具體地，對于一個方程Lu=f，其中L是一個古典導數算子，如，物理上要求方程的解在最低二次可導函數空間X中，但要在這個空間X中求得方程的解，是困難的。這個空間上的算子欠缺“好”的性質，如自反性、嚴格凸及列緊性等。為此，數學家引入了“弱導數”及“廣義函數的導數”等概念，將古典微分算子L“弱化”為弱算子LC。這個弱算子是哪怕對于基本的可測函數，也可以對它求導（弱導數），而且這個弱導數算子對應一個較好的空間（Sobolev 空間等），數學上這些空間中的算子具有非常豐富的性質。由此人們就易于得到方程LCu=f的解，但這是“弱解”——弱算子LC對應的解。回到原方程，我們發現，弱解所在的空間不具有相應的物理意義，為解決實際問題，我們還得回到古典導數意義下的函數空間，就是要再回到前述空間X上。這個弱解是否能與如何“回到”古典導數空間X中，就是原方程解的正則性估計問題?？偨Y整個過程，就是為了在X中求得方程的解，我們退而求其次，選擇一個更大（條件更寬松，以致原本不可以求導的函數都有導數）的函數空間，自然在其中較易得到原方程的解（是弱解），然后在對其“正則化”，即尋找條件，使得弱解能“回到”原空間X中。循著這個模式，我們就可以大體把握偏微分方程理論對具體某方程求解的過程了。

其余部分安排如下：第2 部分從正則性（化）的角度分析黎曼積分定義，給這個過程一個正則化的理解；第3部分結合卷積的性質，利用磨光技術，考察將一般函數磨光為光滑函數的過程，這也是一種正則化。最后給出該文的結論。

2 黎曼積分過程

積分就是為解決面積問題而提出的。求平面圖形的面積，我們自然求助于規則圖形的面積公式，那么，對不規則圖形，如何求面積？

黎曼積分（就是一般微積分教材中的定積分）給出了基于正則性（化）思想的處理辦法——在平面圖形的曲邊逐點連續時用求規則圖形面積的公式得到任意不規則圖形面積的一種方法。

回顧定積分概念的引入。任給一個平面圖形，如何得到它的精確面積？

這里該文考慮用已有的面積公式，即希望能使用某已知求面積公式。用哪一個公式？如何用那個公式求出這種圖形的精確面積？這兩個問題都很關鍵。應當注意到，整塊平面的面積等于將它分割成各部分后各部分面積相加的結果。因此，下面該文的考慮思路是，首先將這一平面圖形規則的分割成幾大塊，針對其中的某一塊，在某個坐標系下將其再分割成與某坐標軸平行的、僅有一邊是曲線的圖形；下一步是繼續分割，讓每一個這樣的圖形越來越窄，及每一個的曲線邊的長度越來越小。這樣的操作一直下去，直到這些不規則的窄長的圖形幾乎可視為規則的矩形，就可以用公式計算出這樣的每一個圖形的面積，然后再把這些部分的面積加起來，就可以求得整個不規則圖形的面積。

該過程中就使用了正則性方法，即求解時確定用某一目標公式，然后就向這個公式靠攏，考慮在何種情況下可以正當合理地使用這個公式。這個過程也能使研究者更深刻地理解函數在某一點連續定義的深度。下文是具體過程。

可先粗略地將任意平面劃分為I、II、III、IV四部分（見圖1），每個部分就相對規整一些。一般而言，我們考慮形如V 的圖形（見圖2）（稱為曲邊梯形，假設其中的曲邊所在曲線的方程已知，記為y=f(x)；而該曲邊梯形若除去其下方一個同底的矩形，就可對應前述四部分中的某一個）的面積。對平面圖形來說，面積等于劃分后它的全部各部分面積之和，因此，前述任意圖形的面積就等于劃分后的四部分面積之和?；诖?，對曲邊梯形V 有規律地劃分，使得到的每一小部分都是一個窄的曲邊梯形。小曲邊梯形越來越像矩形，但畢竟不是，因此還不能用矩形的面積公式。

圖1 任意平面圖形的分割

圖2 曲邊梯形的細分

小差距總是存在，總是不能實至名歸的用矩形面積公式來求陰影圖形的面積，怎么才能實現這個目標呢？根據函數在一點x0處連續的概念，有

其中Δx=x-x0，Δy=f(x)-f(x0)，考慮到Δx→0 并不表示Δx=0，于是就有一個寬為Δx，長為f(x0)的確定的矩形，它的面積當然就是f(x0)Δx。當函數y=f(x)在研究區間內每一點處都連續時，就可以給出這樣的結論：所謂曲邊梯形的面積實際上等于若干矩形面積之和，這正是黎曼和。這個過程，就是在矩形面積公式的指引下，逐步將不規則圖形的面積用這個公式處理的過程，實際是一個正則化的過程：將不規則的圖形的面積用規則圖形面積的計算公式求得，過程中涉及到平面面積的整體等于部分和屬性，及對曲線（曲邊梯形之曲邊）在研究范圍內每一點的連續性等性質，這些也可以理解為曲邊梯形面積求解過程中涉及的“正則性”。以上是一維空間的情況，推廣開來，多維也有類似結論，而且，隨著空間維度的增加，涉及的正則性的研究會越來越復雜。

為了能用矩形的面積公式，要求這個小部分是一個精確的矩形。這個過程如何向矩形靠攏呢？對曲邊提一個要求，即其上每一點處曲線都是連續的，這就能做到當兩長邊的距離趨于零時兩長邊的差距也趨于零，從而每個窄的曲邊梯形就做成一個矩形，這就是一個正則化的過程。

黎曼積分的這個過程中要求的曲邊上每一點都是連續的在物理場景中是一個非?？量痰臈l件，這也是后來勒貝格積分（另外一種源于正則化思想求不規則圖形面積的處理方式）得以替代并在用途上遠遠超越黎曼積分的一個原因。

3 一般函數的磨光

在函數的使用過程中，一定的光滑性是必需的。但在實際問題中，函數的光滑性往往達不到使用的要求，因而要增加函數光滑性。對應的操作，就是對函數的磨光。

函數的光滑性也稱為函數的正則性。光滑性在函數的使用過程中至為重要，因而對一般的函數會盡量使其具有光滑性。這個方法稱為對函數磨光。這也是一個正則化的過程，將一般函數“磨成”光滑函數。

考慮到卷積的性質：“若f與g中之一是可微的，則其卷積也是可微的，且其階相同”，那么對于一般的研究對象，只要找一個光滑函數，二者一做卷積，一般函數就磨成光滑的了。隨后用磨成的光滑函數代替原初的研究對象，最后用卷積的逆過程回歸到原研究對象，這里面的問題可歸結為正則化的問題。

4 結論

微分的逆運算是積分，那么微分方程的解就是積分的結果或是一種積分形式。而微分方程，無論常微分方程還是偏微分方程，涉及的微分一般都是古典導數意義下的。在古典導數意義下，即使初等函數，求積分問題也沒有完全解決，那么研究者是如何研究一般由古典導數意義給出的微分方程的呢？為此，人們引入了廣義導數，它是建立在積分過程之中：利用一般分部積分過程，定義弱導數；又根據函數序列在可積空間中的收斂，可得強導數的概念。這兩個定義是可以互相推出的，也就是等價的。有了廣義導數，對微分方程的研究就轉移到了可積空間，如Sobolev空間、Besov空間等，利用這些空間的性質，可分析對應微分方程的解的各種形態。鑒于一般微分方程的復雜性，一般是將空間范圍擴大，以找到它的解，然后在回到方程所在的恰當的空間。這個回到恰當空間的過程，就是一個研究正則性的過程。什么是正則性？為什么可直接求解的微分方程無正則性研究？就是因為對可求解的方程而言，無需再回到原空間中的緣故。這里正則性要研究的內容就是由廣義導數進行的微分方程解的分析與方程真正的解之間有何關聯、差別在哪里、還有哪些未考慮到的內容等。

通過考察黎曼積分過程和一般函數的磨光經歷及微分方程的求解策略，闡釋數學問題處理過程中常用的正則性（化）思想。具體地講，就是在規則嚴格不允許使用時，如何使研究對象巧妙地運用該規則，并處理隨之而來的一系列問題，最終回到原問題上去的過程。讀者朋友見到正則現象時，若能夠分辨具體問題中要適用的規則，和規則的要求不被滿足的情況，積極地聯系上下文，確定“正則化”過程，初步理解涉及的正則概念，該文的目標就實現了。

另外，正則也作為奇異的反義出現，如由局部可積函數構成的所謂正則廣義函數和不是由局部可積函數構成的奇異廣義函數。類似的情況很多，這里就不一一詳舉，這樣的例子往往含義是清晰的。對如解的正則性這類正則性方法的使用，讀者可依據文中提到的正則內涵，結合正則出現的具體環境去考慮其涵義。