明晰算理，掌握算法，發展數學運算核心素養

王禎玥 (江蘇省蘇州高新區第一中學 215011)

1 問題背景

《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出：數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.數學運算主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果.數學運算貫穿解析幾何學習的全過程，是處理解析幾何問題時避不開的核心問題.

當前解析幾何問題的主要特點體現在變量多、綜合性強、討論繁雜等，導致運算量加大，影響了解題速度.然而在解析幾何的教學過程中，教師往往強調解題思路的分析，不重視運算過程的展示，輕視多種運算過程的對比與總結，忽視運算推理在解題中的作用，這就造成學生在處理解幾問題時不關注研究對象的分析，省略算理剖析，往往僅憑感覺或慣性思維解題，導致在解題中選擇了運算量較大而不易處理的算法，最后因運算錯誤或時間不足不得不放棄.所以，解讀問題的本質，剖析算理的意義，總結多種算法的優劣，形成穩定的解題經驗，達成數學運算素養的培養，是落實解幾問題處理的重要任務.本文以一道高三期末試題為例，談談對上述思考的理解.

2 問題呈現

解讀 本題的目的是要建立一個等量關系，求得方程的根.在解幾問題中，點和直線是重要的研究對象，因而對研究對象的位置關系及幾何特征解讀到位，是建立等量關系的關鍵所在.在研究過程中，問題的突破點往往是選擇設點坐標還是設直線方程.此時就要斟酌設點的前后順序，明晰直線方程的設置方式，將幾何關系代數化，思考如何展開運算.

思路1孤點深入，易思難算

構建目標導向，直接設點A坐標，建立點A與點M,N的坐標關系，再根據點M,N關于y軸對稱(兩點橫坐標值相反)構建等式，從而得到點A橫坐標的方程，求解方程可得結論.

反思1：明晰運算對象是構建運算程序的首要環節.解法1以研究對象為主導，用兩個有關的未知量來表示解題步驟中的所有處理對象，思路清晰，建構簡潔，充分體現“設點—示點—求解”的運算程序.但復雜的表達式以及較大的運算量會導致學生望而卻步，在有限時間內往往半途而廢，正確率偏低.由于解法1只使用了兩個參數，導致其他對象的表示較為繁雜，特別是直線方程與曲線方程的聯立運算，無疑是求解過程中的難點.如果能簡化直線方程的表示，則會精簡方程組求解的過程.

思路2斜參引入，側重聯系

根據點M,N的對稱性，可判斷直線AF,AB必存在斜率，且不為0,所以兩直線方程以x=my+t方式引入.這表明點A是兩直線的交點，在處理過程中強調一次方程組求解，優化算法.

反思2：引入含斜參的直線方程能精簡直線表達，改進算法，但也引進了更多的未知量.在解法2中核心未知量共有4個，即x0,y0,m,t，因而需要形成4個方程.此時如何進行消元運算，就成為問題解決的關鍵.方程①②的兩側是關于字母m,t的非齊次式，而x0則是關于m,t的齊次式，所以在結合方程①②的過程中，考慮將常數消掉，留下字母間的齊次式，能避開消元過程中的難點.雖然解法2已減少了運算量，但運算技巧過強，學生難以聯想操作.如何在不增加未知量的基礎上化拙為巧、改進運算方法，值得我們進一步思考.

思路3工具引領，強化關聯

平面向量集幾何與代數于一體，是連接幾何與代數的紐帶.向量工具的使用能表明圖形中點之間的聯系，特別是直線上的不同點可在向量的幫助下建立運算關系，避免因直線方程的引入而導致的討論，既加強了關聯又減少了運算.

反思3：向量的融入增強了處理解幾問題的靈活性，意味著知識間的融合能促進相關信息的結合，可以構建對象間的關系通道，體現了研究對象的綜合化處理在問題解決中的重要作用.解法3在引入向量的同時也引入了參數，這表明需要構建三個關于未知量的方程.那么是否可以既不增加未知量個數，又能將共線想法引入到解題過程中呢？

思路4再識交點，避曲就直

從本質上講，向量的使用是強調了點在直線上的身份，回避了直線與曲線相交的關系，講究在運算中側重一次方程的聯立從而弱化對二次方程的處理.重新審視運算對象，把點A理解為直線AF和直線AB的交點，強調點M和點N間的對稱性，把握從點M(或點N)到點A的推理方向，可打造新的運算思路.

反思4：關注直線與直線的結合是解決“多線匯點”圖形類問題的重要突破口.轉變觀念，打破以往“直線與曲線相交，韋達定理占天下”的慣性思維，探究新的運算思路.在觀念上講究以形為本，突出圖形中的關鍵對象；在方法上落實輕巧奪冠，強調操作簡單的運算過程；在表達上推崇關系簡潔，降低解幾運算中的繁雜程度；在思維上把握簡明扼要，凸顯數學運算素養的精華.

思路5凸顯“特”點，化曲為直

一般情形常規處理，特殊直線特別認識.由于直線AM過左焦點F，故線段AF和MF均為橢圓的左焦半徑.根據圓錐曲線的統一定義，可將線段AF和MF的長度轉換為點A和點M到左準線距離的相關值，進而在焦半徑的表達中體現橢圓二次方程的功能，將直線與曲線的問題完全轉變為直線間的問題.

圖1

反思5：進一步深入分析運算對象，指明直線AF不僅是與橢圓交于兩點的直線，更是過焦點的直線，抓住特殊直線特殊處理的解題經驗，將直線與橢圓的相交弦長問題轉變為點到特殊直線的距離問題，把點的位置關系轉變為線段長度間的數量關系，認識新的運算思路.

3 總結反思

(1)準確剖析對象特征，一題多解領會算法

運算對象是數學運算的基礎，既是運算目標也是運算途徑.要引導學生從多方面審視對象特征，如：已知條件是什么？所給條件與目標對象有怎樣的關系？從幾何角度看，這些對象是由哪些基本圖形元素構成的，對象之間是否存在位置關系和數量聯系？從代數角度看，對象所要表示的代數式、方程、不等式等是怎樣的？運算對象的準確分析在一定程度上影響了運算路徑，最終影響了運算的長度及繁簡程度.

羅增儒教授指出：一個數學問題，只有在得出多個解法之后，才會對問題的實質有真正的了解，才能體會不同的思維所引起的不同運算方式，學生的運算能力在不同的思維中得以比較,得以提升[1].好的問題蘊含多種審視視角，能幫助學生鞏固基礎知識，訓練基本技能，明了在問題處理過程中會遇到的困惑、障礙及易錯處，熟知各類方法的長處及短板，進而領會各種算法的針對性和思想性，有助于提升數學運算能力.

(2)雙層素養互相影響，強化關系明晰算理

算理即運算的原理，是運算的基礎，是算法背后蘊含的數學知識[2].本題的算理為如何構建并求解關于點A橫坐標的方程,而方程的構建方式具有多樣性，既能直接表示(解法1、解法3),也能間接表達(解法2、解法4)，還能共同引入、相互作用，由此形成靈活多樣的解題策略.

算理不僅與數學運算有關，也與其他素養要求有著密切的聯系.事實表明，邏輯推理與數學運算有著很強的相關性，且數學運算對邏輯推理的影響比邏輯推理對數學運算的影響更大[3].數學解題本質上是邏輯推理，是數學命題推演的基本過程.在分析解幾問題時，要善于用推理的方式解讀幾何語言，把握圖形與數量的有效結合，將圖形的信息(即幾何對象的位置關系和特征)命題化，加強命題間的轉換聯系，形成核心命題集，準確表達到位，明確運算方法，打造運算求解路徑，展現合理算法.

(3)積累數學運算經驗，優化算法建構理解

不同的數學知識之間具有廣泛的聯系性與相通性，問題解決過程中的第一個解法往往是后續解法的重要基礎.因而倡導在教學中揭示問題中數學運算的實質內容，加強對運算材料的多角度算法設計，充分利用已有的數學運算經驗，逐步更新、理解、同化新的運算過程，挖掘算法的多樣性，培養數學思維的靈活性與發散性.

數學運算經驗是數學思維的沃土.教師要主動引導學生對不同算法進行分析比較，指明其區別與聯系，并適當進行優化.強調深度理解而非簡單接受，重點引導學生通過觀察體驗、前后對比、歸納總結、合理表達等環節達成對問題本質特征、方法及思想的領悟，打造“會做、做好、學透”的教學效果，把提升學生的思維品質和運算素養落到實處.