數(shù)學(xué)競(jìng)賽、強(qiáng)基計(jì)劃中不定方程解法探究

徐小花 李麗榮 楊 平 (北京市日壇中學(xué) 100020)

1 因式分解法

例2(2021清華大學(xué)領(lǐng)軍計(jì)劃第1題)已知a,b,c,d都是正整數(shù)，且a3=b2，c5=d4，c-a=77，求d-b．

例3(2021北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生寒假學(xué)堂第4題)若m3+n3+99mn=333，且m,n∈N*，則(m,n)有組．

點(diǎn)評(píng)通過例2和例3可以看出，運(yùn)用因式分解法求解不定方程的最大困難點(diǎn)就是對(duì)所給條件進(jìn)行因式分解，而且是通過利用整數(shù)分解的有限性和唯一性來解決的，不是徹底分解，也就是常常將因式分解法與整除結(jié)合起來．下面給出的幾道小題供讀者練習(xí)因式分解法．

練習(xí)1 (2020北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃第7題)方程19x+93y=4xy的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為( )．

A．4 B．8 C．16 D．前三個(gè)答案都不對(duì)

提示 19x+93y=4xy?(4x-93)(4y-19)=19×93=3×19×31．(參考答案：B)

練習(xí)2 (2020中國(guó)科技大學(xué)創(chuàng)新班初試第5題)x2-y2=4p2，x,y為正整數(shù)，p為素?cái)?shù)，則x3-y3=．

提示x2-y2=4p2?(x-y)(x+y)=4p2=22·p2．(參考答案：6p4+2)

練習(xí)3 (2020上海交通大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃第14題)方程x(x+1)-1=y2的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為．

2 取模同余法

例4(2020復(fù)旦大學(xué)自主招生第21題)方程3x+4y+12z=2 020的非負(fù)整數(shù)解的組數(shù)為．

例5(2021北京大學(xué)語言類保送試題第11題)設(shè)a,b是正整數(shù)n的正因素，使得(a-1)(b+2)=n-2，則n可以等于( )．

A．2 0202 020B．2×2 0202 020

C．3×2 0202 020D．前三個(gè)答案都不對(duì)

點(diǎn)評(píng)充分利用條件“a,b是正整數(shù)n的正因素”，等價(jià)轉(zhuǎn)換為n≡0(moda)，n≡0(modb)，再利用同余定理可以進(jìn)一步獲得a與b之間的數(shù)量關(guān)系，在問題的解決過程中也用到了因式分解法．同樣我們給出兩道小題供讀者練習(xí)取模同余法．

練習(xí)4 (2016清華大學(xué)領(lǐng)軍計(jì)劃第13題)關(guān)于x,y的不定方程x2+615=2y的正整數(shù)解的組數(shù)為．

練習(xí)5 (2020北京大學(xué)優(yōu)秀中學(xué)生暑假體驗(yàn)營(yíng)第1題)已知正整數(shù)a,b,n滿足a!+b!=5n，求(a,b,n)．

提示 由奇偶性原則可以判斷出a=1，b為偶或b=1，a為偶.不妨設(shè)a=1，再由5n≡0(mod 5)，可知當(dāng)b≥5時(shí)，a!+b!≡1(mod 5)不符合題意，對(duì)b=1,2,3,4逐一檢驗(yàn)．(參考答案：(1,4,2)或(4,1,2))

3 分類討論法

例6(2021全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試題第10題)若整數(shù)a,b,c滿足0≤a≤10，0≤b≤10，0≤c≤10，10≤a+b+c≤20，則滿足條件的有序數(shù)組(a,b,c)共有組．

方法1 設(shè)a+b=t，則0≤t≤20．

當(dāng)11≤t≤20時(shí)，滿足條件的(a,b)有(21-t)對(duì)，此時(shí)0≤c≤20-t，c的取值有[(20-t)-0]+1種，即(21-t)種．此時(shí)滿足條件的有序數(shù)組(a,b,c)共有(21-t)2組．

本文僅列舉了求不定方程整數(shù)解的三種常用策略，其實(shí)在求解不定方程問題時(shí)常常還會(huì)用到格點(diǎn)法、枚舉法、奇偶分析法等更加基本的方法．很多問題往往需要先用本文介紹的因式分解法、取模同余法和分類討論法這三種方法轉(zhuǎn)化構(gòu)造后再借助基本方法得到最后結(jié)果．