注重方法滲透 落實素養提升
——以《二次函數》章起始課為例*

魏玉華 (江蘇省蘇州高新區實驗初級中學 215011)

章起始課是章節的第一課,作為一章之首，需要執教者在系統思維和整體觀念的引領下，對整章內容做一個提綱挈領的設計，使學生對后續一章的學習有一個全局認識．2021年5月，筆者有幸參加了蘇州市數學優質課評比活動，比賽課題為蘇科版數學九年級下冊《5．1二次函數》章起始課．筆者經歷了認真研讀教材、精心設計教學、專家聽課修改、正式參加比賽、賽后及時反思等過程，對章起始課，尤其是《二次函數》章起始課，有了更清晰、深入的認識和理解．

1 章起始課的研究現狀

在實際教學中，章起始課的實際開展情況和研究現狀并不樂觀．2017年江蘇省數學優質課評比中有過《分式》的章起始課，在平時的示范課、隨堂課中則很少涉及章起始課．筆者在各類視頻網站搜索《二次函數》視頻課，很少涉及包含章頭圖內容的章起始課視頻．在中國知網、萬方數據庫等網站上搜索“章起始課”“章頭圖”“章引言”等關鍵詞，僅找到30余篇與章起始課相關的文章，其中有9篇為高中數學章起始課的研究，11篇與初中數學章起始課相關，涉及到的課題較少，主要為一元二次方程、分式、反比例函數、平面直角坐標系等．其余研究重在章起始課的教學功能、教育屬性、心理學意義等．

2 章起始課的研究價值

章起始課與傳統第一課的區別在于對章頭圖和章引言的運用以及對一章的引領和示范．章頭圖和引言有以下教學功能[1]：了解學習背景，增強學習興趣；優化學生認知結構，布局知識網絡；理解學習方法，養成學習思路與學習能力；應用知識解答實際問題，學有所用；對學生進行德育教育，提升個人修養和民族榮譽感；認識世界和發展之窗，與世界接軌．可見章起始課對學生的知識理解、情感態度、能力培養、思維提升等方面都有重要作用．而教師在研讀教材章頭圖和章引言的過程中，對教材編者的意圖產生全面的理解和認識，這種蘊含在章頭圖和章引言中的編者意圖無形中指引著教學設計的方向和思路．

3 章起始課的課例分析

《5．1二次函數》是在學生已經有了函數、一次函數、反比例函數相關知識和研究經驗的基礎上展開的．通過類比展開對二次函數相關知識的研究能加深學生對函數研究方法的認識，為后續研究二次函數的圖象、性質和應用奠定基礎，也為后續研究其他函數提供范式．

3.1 情境創設，導入新知

展示從蘇州高新區實驗初級中學到常熟外國語初級中學的百度地圖搜索結果，提出問題：

問題1從蘇州高新區實驗初級中學前往常熟市外國語初級中學，在西環路某一段上，汽車以80 km/h 的速度勻速行駛．隨著時間t(h)的變化，汽車行駛的路程s(km)怎樣變化？

問題2在蘇虞張公路的某一段上，汽車以速度v(km/h)行駛了3 km．隨著速度v(km/h)的變化，汽車在該段所用時間t(h)怎樣變化？

問題3途中有一段下坡路，汽車在下坡時速度為v(km/h)，在坡面上行駛的路程為s(km)，隨著時間t(h)的變化，汽車的速度v(km/h)怎樣變化？

追問1 汽車在下坡時行駛的路程s(km)隨著時間t(h)的變化會怎樣變化？

數學實驗 播放小車沿斜面下滑的視頻．

追問2 觀察表格，汽車在下坡時行駛的路程s(km)與時間t(h)的關系是之前學習的一次函數或者反比例函數嗎？畫出圖象，觀察有什么特征．

時間t/s0.10.20.30.40.5…路程s/cm0.20.81.83.25.0…

追問3 回憶以往研究函數的經驗，如何研究一個函數？

設計意圖通過問題1和2回憶函數、一次函數、反比例函數的概念，為后續類比學習二次函數的概念做鋪墊．在第3個下坡情境中，通過問題串的設計以及觀看數學實驗的視頻，讓學生直觀感受下坡時速度越來越快，通過數據的展示、學生動手畫圖的過程，體會這是一個函數，但不是熟悉的函數．

3.2 類比學習，建構新知

展示校園一角的圖片(圖2)：

圖2

1．水滴激起的波紋不斷向外擴展，圓的面積S與半徑r之間的函數關系為．

2．學校想再建一個周長為20 m的矩形水池，水池的面積S(m2)與一邊長x(m)之間的函數關系為．

3．如圖3，外側大矩形ABCD長10 m，寬 3 m，水池的邊緣是等寬的，寬度均為xm，則內部小矩形EFGH的面積y(m2)與x之間的函數關系為．

圖3

問題S=πr2，S=-x2+10x，y=4x2-26x+30三個表達式有什么共同特征？

小組討論：類比一次函數的學習經驗，思考二次函數的一般式及自變量取值范圍．

追問1 上述所得的三個函數關系式中二次項系數、一次項系數、常數項分別是什么？

追問2 上述所得的三個函數關系式中自變量的取值范圍分別是什么？

設計意圖將剛開始的行程情境進一步延伸至學生熟悉的校園：矩形水池．通過三個問題串的設計，引導學生感受兩個變量之間的關系，并觀察歸納共同特征，引出二次函數．

3.3 數學運用，鞏固新知

小組活動每人寫出一個二次函數，并請你的同伴說出二次項系數、一次項系數和常數項．

例題如圖4，在長300 m、寬90 m的矩形廣場ABCD內修建等寬的十字形道路，設道路寬為x(m)，綠地面積為y(m2)．寫出兩個變量之間的函數關系表達式及自變量的取值范圍．

圖4

設計意圖該環節具有一定的開放性和趣味性，通過設置有針對性的活動，在應用中進一步強化概念的認識，教師適時舉出正例與反例，讓學生辨析，進一步明確概念的內涵和外延．

3.4 拓展提升，深化新知

如圖5，用長50 m的護欄圍成一塊一側靠墻的矩形花園，墻的長度是20 m．請利用本節課所學，提出一個問題并解決．

圖5

設計意圖此環節延續矩形背景，條件和問題都具有一定的開放性．培養學生分析問題、提出問題、解決問題的能力．

4 章起始課教學策略的思考

4.1 創設真實情境，順暢教學流程

對于章頭圖的作用，不難定位．如何呈現使其發揮作用，則是備課時遇到的難點．在章頭圖中有一個小球沿斜面下滑的實驗，具體設計時遇到了兩個問題：首先，實驗數據對精確度要求很高，普通的工具在測量時間和距離時有誤差；其次，在引入時直接呈現實驗有些突兀，且與后續內容的銜接不夠順暢自然．

對于第一個問題，筆者想到了物理實驗中的打點計時器，它每隔0．02秒打一次點，小車拖動紙帶沿斜面下滑，經過打點計時器，會在紙帶上打下一系列點，這些點既記錄了行駛的時間，又記錄

了對應的距離．對于第二個問題，以筆者駕車從自己學校到參賽學校這一真實情境開場，設置三個小場景，并將第三個小場景依次抽象成實驗場景、數學場景．在這一系列思考與轉化的過程中，讓學生體會數學源于生活，數學實驗是科學研究的重要方法．

4.2 精心設計問題，引發深度思考

本節課情境貫穿始終，通過層層遞進的問題串的設計，利用同一背景問題的不斷變式與追問將本節內容順暢、自然地銜接起來．問題從簡單到復雜，思維由低階向高階．情境引入環節是學生熟悉的行程問題，在三個問題的解決中完成知識回顧與新課引出．接著將行程問題延伸至校園一角，選取邊緣等寬的矩形水池，通過對水滴落入池中圓的面積與半徑之間的函數關系，周長固定的矩形的面積與一邊長的函數關系，雙矩形問題里中間小矩形面積與邊緣寬之間的函數關系進行探究，得到三個具體的二次函數表達式，通過觀察、歸納等活動得出二次函數的概念及相關概念．在例題鞏固環節，繼續以矩形為背景，進行變式．在拓展延伸環節，依然是依托矩形背景，選取一邊靠墻的矩形花園，讓學生設置條件，提出問題，并嘗試解決．

尤其在拓展延伸環節，學生的思維是開放的、發散的，同一問題的解決方式也是多樣的．如很多學生提出矩形面積如何表示的問題．此處有兩種設未知數的方法，可以設AB,也可以設BC．兩種方式對應的二次函數表達式不同，自變量的取值范圍也不一樣，但本質卻是相同的，都表示了這個矩形的面積．還有的學生會進一步提出面積何時最大的問題，或者面積何時為某個定值，或者面積何時是某個具體范圍，那么此時二次函數問題又轉化為方程和不等式的問題．自然地將接下來要研究的問題提了出來，完善本章的知識結構圖．

4.3 注重方法滲透，落實素養提升

章起始課具有統領全章的重要作用，對于二次函數的學習，學生是有學習基礎的．因此，本節課筆者采用探究式學習，啟發式教學，突出學生的“探”和教師的“導”．通過熟悉的情境、層層遞進的問題設計激發學生求知欲，借助多媒體、實驗演示、小組活動，讓學生在教師的引導下參與探究活動，并讓學生充分經歷類比過程，切身體驗和感悟，又從理性的角度進行分析．在回顧反思環節，引導學生從學了什么？為什么學？怎么學？三個層面進行概括和歸納，完善認知結構(圖6)，提高學生推理、歸納、表達的能力，真正落實核心素養的提升．

圖6

以情境之土，育問題之花，結素養之果.在實際教學中，教師要善于挖掘身邊的真實情境，精心設計觸及數學本質的優質問題，眼中既有樹木，更有森林，在課堂教學中落實學生核心素養的提升和關鍵能力的發展.