數(shù)學(xué)概念的形式化與教學(xué)思考
——以初中數(shù)與代數(shù)的概念為例*

韓詩(shī)貴 (江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校 214177)

形式化是數(shù)學(xué)的基本特征，在數(shù)學(xué)中無(wú)處不在，它貫穿于數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用等過(guò)程中．所謂數(shù)學(xué)形式化是一種用符號(hào)或符號(hào)的方法或技術(shù)來(lái)改進(jìn)數(shù)學(xué)表達(dá)，對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言、理論進(jìn)行整理、修正、轉(zhuǎn)化和組織的過(guò)程．[1]簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)形式化就是以符號(hào)為基礎(chǔ)的一種數(shù)學(xué)表達(dá)．我們知道，一切方法性學(xué)科都是形式化的，只有暫時(shí)舍棄各種具體內(nèi)容而專(zhuān)門(mén)研究其形式，才能使方法性學(xué)科獲得獨(dú)立發(fā)展，并走在應(yīng)用前面[2]．?dāng)?shù)學(xué)是工具性學(xué)科，也是方法性的學(xué)科，這決定了它必然也是形式化的學(xué)科．

在初中階段的數(shù)與代數(shù)中，常見(jiàn)的數(shù)學(xué)形式化有概念形式化、公式(或法則)形式化、計(jì)算(或推理)形式化等．其中，概念形式化是其他形式化的基礎(chǔ)．所謂概念形式化就是在自然語(yǔ)言符號(hào)化的基礎(chǔ)上，舍棄概念包含的具體內(nèi)容，抽象出的一種形式化的邏輯關(guān)系或結(jié)構(gòu)．簡(jiǎn)而言之，概念形式化就是用符號(hào)語(yǔ)言表征概念的一種形式．本文結(jié)合初中數(shù)與代數(shù)中的具體實(shí)例，談?wù)劯拍钚问交男纬蛇^(guò)程，以及如何幫助學(xué)生理解概念形式化等問(wèn)題．

1 概念形式化的形成

在初中數(shù)與代數(shù)中，概念形式化通常是概念內(nèi)容的一般化的結(jié)果．例如，2n,2n+1分別是偶數(shù)和奇數(shù)的形式化，也是具體偶數(shù)和奇數(shù)的一般化結(jié)果．又如，數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，用符號(hào)“| |”表示絕對(duì)值，“|a|”表示絕對(duì)值概念的形式化．像這樣的形式化常常是先以自然語(yǔ)言定義概念，引進(jìn)字母后才有一般化的結(jié)果．

2 與概念形式化相關(guān)的內(nèi)容及教學(xué)思考

概念形式化簡(jiǎn)約了概念，使數(shù)學(xué)表達(dá)更清晰、更流暢．概念形式化與符號(hào)密切相關(guān)，與概念的內(nèi)容密切相關(guān)．而概念定義、概念性質(zhì)、概念應(yīng)用等相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程，是理解概念形式化的過(guò)程，也是概念形式化從理性抽象走向理性具體的過(guò)程．

2.1 概念形式化中的符號(hào)

2.2 概念的形式與內(nèi)容

我們知道，任何事物都有內(nèi)容，也有形式．概念的形式化可認(rèn)為是概念的形式．例如，ax2+bx+c=0是一元二次方程的形式，其內(nèi)容包括x2=2,x(19-2x)=24,5(1+x)2=9.8,x2+(x-1)2=25等具體方程．從哲學(xué)的角度看，形式和內(nèi)容是對(duì)立統(tǒng)一的[3]．

首先，內(nèi)容是易變的，而形式通常是穩(wěn)定的．例如，上述例子中，具體的一元二次方程是不同的、可以變化的，但它的形式卻是穩(wěn)定的、不變的．

第三，內(nèi)容決定形式，形式反作用于內(nèi)容．譬如，ax2+bx+c=0是概念形式化抽象的結(jié)果，也是由具體方程x2=2,x(19-2x)=24,5(1+x)2=9.8,x2+(x-1)2=25等高度概括的結(jié)果，所以說(shuō)，一元二次方程的形式化依賴(lài)其具體內(nèi)容．反過(guò)來(lái)，對(duì)一元二次方程形式化的理解和應(yīng)用有助于進(jìn)一步理解概念，有助于準(zhǔn)確識(shí)別具體的一元二次方程．

可見(jiàn)，概念內(nèi)容與其形式化相互影響，重視概念的內(nèi)容有助于理解概念形式化．

2.3 概念形式化與概念定義

我們認(rèn)為，概念形式化與概念定義都是概念的表征形式．在概念的教與學(xué)中，概念定義常常是概念學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，而縱觀概念形式化的形成過(guò)程，概念定義通常也是其形式化的起點(diǎn)．所以，重視定義的教學(xué)是概念學(xué)習(xí)的需要，也是理解概念形式化的需要．

首先，重視相關(guān)素材的選擇.例如，在二次函數(shù)定義的教學(xué)中，選擇具有典型性、代表性的函數(shù)有助于學(xué)生提煉、概括定義，同時(shí)，也有助于學(xué)生形成概念的形式化．

其次，素材反映的內(nèi)容應(yīng)該貼近學(xué)生的實(shí)際，貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū).例如，二次函數(shù)定義的教學(xué)中，選擇的實(shí)例最好取材于學(xué)生的生活或?qū)W生感興趣的問(wèn)題，另外，問(wèn)題的類(lèi)型最好也是學(xué)生熟悉的、容易理解的，這樣才有更充裕的時(shí)間突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，提高定義教學(xué)的效率，加深概念形式化的理解．

第三，重視概念定義的形成過(guò)程.教學(xué)中，結(jié)合具體的實(shí)例概括定義的過(guò)程是發(fā)展學(xué)生抽象能力的過(guò)程，通常也伴隨著概念形式化的抽象過(guò)程．因此，避免直接講授定義，避免機(jī)械背誦定義，重視學(xué)生對(duì)概念定義的個(gè)性化理解，是定義教學(xué)的需要，也是學(xué)生理解概念形式化的基礎(chǔ)．

2.4 概念形式化與概念性質(zhì)

概念性質(zhì)的學(xué)習(xí)常常離不開(kāi)概念的形式化．

首先，形式化簡(jiǎn)化概念性質(zhì)的表征．例如，絕對(duì)值的性質(zhì)：(1)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；(2)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)；(3)0的絕對(duì)值是0．我們常常用概念的形式化簡(jiǎn)化性質(zhì)，即：(1)當(dāng)a>0時(shí)，|a|=a；(2)當(dāng)a<0時(shí)，|a|=-a；③當(dāng)a=0時(shí)，|a|=0．

其次，形式化優(yōu)化概念性質(zhì)的證明與探索．例如，一次函數(shù)的性質(zhì)：在一次函數(shù)y=kx+b中，如果k>0，那么函數(shù)值y隨自變量x增大而增大；如果k<0，那么函數(shù)值y隨自變量x增大而減小．又如，一元二次方程求根公式、根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)的證明與探索均是以一元二次方程的形式化為起點(diǎn)．

2.5 概念形式化與概念應(yīng)用

學(xué)習(xí)者理解概念的形式化，感悟形式化的力量，以及對(duì)形式化的認(rèn)識(shí)從理性抽象到理性具體等過(guò)程，主要是在應(yīng)用中完成的，或者說(shuō)是在不同情景、不同層次中應(yīng)用多次才能完成的．從心理學(xué)的角度看[4]，概念形式化的應(yīng)用有低層次和高層次的區(qū)別．概念形式化的低層次應(yīng)用主要體現(xiàn)在知覺(jué)和記憶等方面，表現(xiàn)為概念形式化的簡(jiǎn)單辨析、識(shí)別等．

例如，下列函數(shù)中，有哪些符合y是x的反比例函數(shù)？

這樣的判斷是對(duì)概念形式化結(jié)構(gòu)和內(nèi)涵的辨析，較少會(huì)涉及其他概念或命題．而概念形式化的高層次應(yīng)用體現(xiàn)在思維和創(chuàng)新能力等方面，表現(xiàn)為概念形式化在問(wèn)題解決中的應(yīng)用．由于問(wèn)題解決涉及的概念、命題較多，所以這樣的應(yīng)用通常是一個(gè)比較復(fù)雜的過(guò)程，需要學(xué)習(xí)者根據(jù)實(shí)際問(wèn)題提供的信息去激活、提取和篩選與之相關(guān)的知識(shí)和方法，并將其與當(dāng)前問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)．

圖1

3 結(jié)語(yǔ)

在初中數(shù)與代數(shù)的教學(xué)中，隨著學(xué)生符號(hào)意識(shí)和符號(hào)應(yīng)用能力的增強(qiáng)，形式化逐漸成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究的主要內(nèi)容．形式化優(yōu)化了思維過(guò)程，提高了思維效率．其中，概念形式化是基礎(chǔ)，常常也是概念教與學(xué)中無(wú)法回避的過(guò)程．因此，概念形式化是概念學(xué)習(xí)的需要，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，更是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)、為未來(lái)發(fā)展奠基的需要．