（3+1）維B-type Kadomtsev-Petviashvili-Boussinesq方程的精確解

霍江映，套格圖桑，2

（1.內蒙古師范大學 數學科學學院，內蒙古 呼和浩特 010022；2.內蒙古自治區應用數學中心，內蒙古 呼和浩特 010022）

0 引言

非線性發展方程在物理和數學方面的研究受到廣泛關注。近些年，不同方法被用來求解非線性發展方程，從而獲得非線性發展方程的精確解，包括齊次平衡法、貝爾多項式法、符號計算法和雙線性變換法等。文獻［1］使用符號計算法求解（3+1）維B-type Kadomtsev-Petviashvi（lBKP）方程的高階怪波解；文獻［2］利用齊次平衡法求得（3+1）維BKP 方程

的單孤子解和雙孤子解。文獻［3］使用（G'/G）展開法求（3+1）維Jimbo-Miwa（JM）方程

的單孤子解和雙孤子解。

本文研究了包含上述兩個方程的（3+1）維B-type Kadomtsev-Petviashvili-Boussinesq（BKPB）方程，并獲得了包含指數函數、三角函數和雙曲函數組合的精確解。

若對方程

取α=1，β=3，γ=1，η=0，δ=1，則可將其化為方程（1）；若方程（3）取α=-1，β=-3，γ=2，η=0，δ=-3，則可將其化為方程（2）。

1 （3+1）維BKPB 程的雙線性化與精確解

1.1 （3+1）維BKPB 方程的雙線性化

當β=3α時，通過變量變換

將方程（3）化為雙線性形式

其中u0是待定常數。Dx，Dy，Dt和Dz是Hirota 雙線性算子，其滿足

1.2 （3+1）維BKPB 方程的精確解

引入試探函數

其中εj，μj，ai，bi，ci，di(i=1，2，3，4；j=1，2，3，4)是待定的常數。

將式（7）—（12）分別和式（6）一起代入變換（4）中，即可得到方程（3）的6 組如下精確解。

這里ai，bi，ci，di(i=1，2，3，4)由式（13）—（17）確定，另外，εj，μj(j=1，2，3，4)是任意常數。

當選取參數為α=1，γ=1，η=1，δ=3，a1=3，b1=1，c1=-1，u0=2，μ1=3，ε1=3 時，（3+1）維BKPB 方程的精確解u1可化為（解的情況見圖1）

圖1 當x=0，t=-2 時，（19）式關于y，z 的三維圖和等高線圖Fig.1 when x=0，t=-2，3D plot and contour plot related to y and z corresponding to formula（19）

當選取參數為ε2=9，ε1=2，a1=1，b1=2，b2=i，c2=i，d2=2i，μ1=4，μ2=0 時，（3+1）維BKPB 方程的精確解u2可化為（解的情況見圖2）

當選取參數為ε4=-2，ε1=1，a1=2，a4=1，b1=4，b2=-2，c4=1，d2=2，d4=-4，μ1=4，μ4=2時，（3+1）維BKPB 方程的精確解u3可化為（解的情況見圖3）

圖3 當x=0，t=-2 時，式（21）關于y，z 的三維圖和等高線圖Fig.3 when x=0，t=-2，3D plot and contour plot related to y and z corresponding to formula（21）

當選取參數為ε2=2，a1=12，a2=2，b1=11，c2=2，b2=3，d2=1，d4=-1，μ1=1，μ2=1 時，（3+1）維BKPB 方程的精確解u4可化為（解的情況見圖4）

圖4 當x=0，t=-2 時，式（22）關于y，z 的三維圖和等高線圖Fig.4 when x=0，t=-2，3D plot and contour plot related to y and z corresponding to formula（22）

當選取參數為ε3=2，a1=2，a3=3，b1=-1，c3=1，b3=-2，d3=1，μ1=2，μ3=2 時，（3+1）維BKPB 方程的精確解u5可化為（解的情況見圖5）

圖5 當x=0，t=-2 時，式（23）關于y，z 的三維圖和等高線圖Fig.5 when x=0，t=-2，3D plot and contour plot related to y and z corresponding to formula（23）

當選取參數為ε1=5，ε4=2，u0=2，a1=-1，a4=1，b1=2，b4=1，c4=51，c1=1，d4=1，μ1=3，μ4=2 時，（3+1）維BKPB 方程的精確解u6可化為（解的情況見圖6）

圖6 當x=0，t=0.63 時，式（23）關于y，z 的三維圖和等高線圖Fig.6 when x=0，t=0.63，3D plot and contour plot related to y and z corresponding to formula（23）

2 （3+1）維BKP 方程的精確解

利用上面的方法研究（3+1）維BKP 方程，當選取參數為α=1，β=3，γ=1，η=0，δ=1 時，（3+1）維BKPB 方程化簡為（3+1）維BKP 方程

因此，當（7）式中選取參數為ε1=2，μ1=3，u0=-2，a1=1，a2=-1，b1=-1，b2=-2，c1=1 時，將其代入到解（13）后可以得到方程（1）的如下形式解（解的情況見圖7）

圖7 當x=0，t=-2 時，式（25）關于y，z 的三維圖和等高線圖Fig.7 when x=0，t=-2，3D plot and contour plot related to y and z corresponding to formula（25）

3 （3+1）維JM 程的精確解

對于（3+1）維JM 方程，當α=-1，β=-3，γ=2，η=0，δ=-3 時，（3+1）維BKPB 方程可化為（3+1）維JM 方程

當（8）式中選取參數為a1=3，b1=1，b2=1，d2=-1，c2=2，u0=3，ε1=3，ε2=1，μ1=-3，μ2=2 時，代入解（14），可以得到方程（2）的如下形式解（解的情況見圖8）

圖8 當x=0，t=-1.3 時，式（26）關于y，z 的三維圖和等高線圖Fig.8 when x=0，t=-1.3，3D plot and contour plot related to y and z corresponding to formula（26）

4 結論

本文基于廣田雙線性法和試探函數法，構造了（3+1）維BKPB 方程的一系列解，并利用符號計算系統Mathematica，對獲得解的圖像進行分析研究。此外，通過對方程（3）取不同的參數構造了（3+1）維BKP 方程和（3+1）維JM 方程的精確解，并分析了解其性質。

當u0=0 和μ1=μ4=0 時，方程（3）的解（15）可以化簡為文獻［15］得到的解u2(x，y，z，t)=當u0=0 和μ1=μ2=0 時，方程（3）的解（14）可化為文獻［15］得到的解ε2cos(a2x+b2y+c2t+d2z)]}x；當u0=0 和μ1=0 時，方程（3）的解（13）可以化為文獻［17］得到的解因此，文獻［15］和文獻［17］獲得的結論是本文獲得結論的特殊情況。