回歸教材起始點(diǎn) 搶占備考制高點(diǎn)

楊海濤 (江蘇省鹽城市建湖高級(jí)中學(xué) 224700)

將2021年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷Ⅰ試題與中學(xué)教科書(shū)做針對(duì)性的詳細(xì)對(duì)照可以發(fā)現(xiàn)，試卷中有相當(dāng)數(shù)量的試題可以在高中教科書(shū)中找到它們的影子，這些“影子”對(duì)于解決這些高考試題有著至關(guān)重要的作用：夯實(shí)基礎(chǔ)，以不變應(yīng)萬(wàn)變．新高考卷用不爭(zhēng)的考題證明：盲目做題、過(guò)度刷題，不但增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而且也無(wú)益于學(xué)生高考成績(jī)的提高．這對(duì)于引導(dǎo)師生放棄題海戰(zhàn)術(shù)，將更多的精力放在研讀教科書(shū)和探究典型題型上，具有十分重要的意義．新一屆乃至以后的高三復(fù)習(xí)備考都必須遵循回歸教材、緊抓典型例題、深入研究的原則．從教材原點(diǎn)走向備考的制高點(diǎn)才是高考復(fù)習(xí)備考的王道．

評(píng)注上面的分式實(shí)際上是可以進(jìn)一步化簡(jiǎn)的，但我們認(rèn)為，該分式能化簡(jiǎn)只是一種偶然現(xiàn)象，且不關(guān)乎問(wèn)題處置的本質(zhì)(因?yàn)榇藭r(shí)已可直接代入計(jì)算而無(wú)任何實(shí)質(zhì)性困難了).事實(shí)上，教科書(shū)中類(lèi)似問(wèn)題有不少，比如：

(2)2sin2α+ 3sinαcosα-cos2α.

例2(2021年全國(guó)卷Ⅰ第13題) 已知函數(shù)f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數(shù)，則a=；

例3(2021年全國(guó)卷Ⅰ第19題)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知b2=ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC=asinC.(1)證明:BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC．

圖1

命題要害剖析與簡(jiǎn)解我們不妨將這種由一個(gè)頂點(diǎn)(比如點(diǎn)B)和其對(duì)邊上一點(diǎn)(如點(diǎn)D)連結(jié)起來(lái)的三角形稱(chēng)為“λ型三角形”.很顯然，我們熟知的三角形中線長(zhǎng)問(wèn)題、內(nèi)角平分線定理都是這類(lèi)以λ型三角形為背景的問(wèn)題．這類(lèi)題目的破解關(guān)鍵就在用好聯(lián)系三角形△ABD及△BCD的橋梁——邊BD及互補(bǔ)角∠BDA與∠BDC(這兩個(gè)角的正弦相等，從而可以聯(lián)系正弦定理，同時(shí)這兩個(gè)角的余弦互為相反數(shù)，又可聯(lián)系余弦定理)，于是本題可簡(jiǎn)證如下：

評(píng)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“數(shù)學(xué)抽象”水平要求學(xué)生能將已知命題推廣到更一般的情形中[4]．此類(lèi)問(wèn)題的一般情形稱(chēng)為斯臺(tái)沃特定理.與此題密切相關(guān)的教材問(wèn)題有：

評(píng)注對(duì)這道題的第(2)問(wèn)，這里還是采用了大多數(shù)考生常用的直角坐標(biāo)系求解的思路，未采用直線的參數(shù)方程辦法，化簡(jiǎn)工作量不小，上面已經(jīng)充分注意到幾何結(jié)構(gòu)關(guān)系的對(duì)稱(chēng)(注意：這種對(duì)稱(chēng)不是我們傳統(tǒng)意義上的鏡面對(duì)稱(chēng))特征，簡(jiǎn)化了書(shū)寫(xiě)過(guò)程，依然較繁.類(lèi)似問(wèn)題如下：

問(wèn)題1(人教2019A版選擇性必修第一冊(cè)[1]第120頁(yè)例2)已知A，B兩地相距800 m，在A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s，且聲速為340 m/s，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.

綜上所述，我們能夠體會(huì)到命題人的初心就是希望師生回歸課本．事實(shí)上，像這樣關(guān)涉到教材典型例題的高考真題，除了上面提到的，還有很多．如第10題引入教材中的兩角和與差的三角函數(shù)的典型情境、第16題的第二空其實(shí)就是錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，這些知識(shí)在教材中都有明顯的展示.限于篇幅，感興趣的讀者可自行對(duì)照研究．