基于數學歷史名題的解題教學
——以“不可及物的測量問題”為例

侯 甜 張維忠 (浙江師范大學教師教育學院 321004)

解題教學是數學教學的重要部分，學生在學會解題的過程中發展了思維能力,提高了數學核心素養[1]．目前的解題教學存在一些問題：學生的學習興趣被大量解題沖淡；注重解題技巧，忽視思維發展；題目遠離教材，出現難題怪題；課堂缺乏文化氣息……數學歷史名題作為數學史的重要內容，對數學發展、數學教學和數學應用有著推動作用，題中真實的問題情境、實質性的數學思想方法、豐富的人文背景等對于教學都有重要意義．[2]鑒于此，本文以“不可及物的測量問題”為例，選取《海島算經》中的數學歷史名題進行教學設計，探索數學歷史名題如何助推解題教學．

1 數學解題教學存在的問題

美國數學家哈爾莫斯說：“數學的真正組成部分應該是問題和解，解題才是數學的心臟．”解題教學是培養學生發現和提出問題、分析和解決問題能力，拓展學生數學思維，發展數學核心素養的重要手段．但目前的解題教學還存在一些問題．為了更好地改進教學，教師應當正確認識問題，并提出解決策略．

第一，學生的學習興趣被大量解題沖淡．大多數解題教學都是通過枯燥的題目訓練來達到讓學生學會解題的教學目的，這種缺乏創新的教學方法不能滿足學生的心理需求，大量的題目將數學學科的枯燥性放大，學生的學習興趣、探索熱情被不斷沖淡[3]．

第二，注重解題技巧，忽視思維發展．解題教學中通常都充斥著各種類型的題目，教師注重題型分類和變式練習，在對例題進行分類講解后，歸納每種題型的解題方法，要求學生利用技巧求解問題，并做大量練習．這種教學方法雖然可以讓學生快速掌握一些問題的求解方法，收獲短期效益，但長遠來看并不利于學生的思維發展，學生在學習過程中沒有進行主動的思考探索，將解題視為根據題型套技巧的活動[4]．

第三，題目遠離教材，出現難題怪題．重視題型歸類和技巧訓練的解題教學，往往從各式各類的題目出發展開教學，欠缺對學生知識建構的考慮，出現遠離教材的現象，一些難題、怪題還會作為創新點出現．

第四，課堂缺乏文化氣息．盡管當前課程改革多次強調數學課堂文化，但解題教學中的文化氣息仍較為缺乏.教學在大量刷題中追求標準答案，重視從問題背景中提煉關鍵信息，忽視問題的文化韻味，多為達到功利性、應試性目的[5]．

2 數學歷史名題助推解題教學

在數學歷史發展的長河中，產生了很多對數學史有較大影響，對數學發展、數學應用和數學教學有重要推動作用的數學歷史名題．歷史名題通常從現實問題中提出，問題背景真實自然，能很好地體現所涉及數學內容的實踐價值，同時對于學生來說，真實的情境不僅利于激發學習興趣還利于知識理解.問題中蘊含的數學思想方法，對于學生的思維發展有重要促進作用，學生收獲的不僅是解某一類數學問題的方法，更是數學地看待問題的思維.教師還可通過數學歷史名題中豐富的人文背景對學生進行文化熏陶、情感教育，落實“立德樹人”的教育目標．如此，數學歷史名題可以從激發興趣、拓展思維、強化應用、文化育人四方面助推解題教學，解決現存問題，改善現有教學．

融入歷史名題，激發學習興趣．巧妙運用數學歷史名題真實自然的問題背景，為原本枯燥的解題過程增添活力．一方面，可以將歷史名題作為教學引入，用耐人尋味的問題開啟課堂，將學生的注意力吸引到如何利用所學解決問題上．另一方面，由于學生的興趣容易被大量枯燥的題目沖淡，因此在對例題進行分類講解時，可以將歷史名題作為例題或者將歷史名題中的情境改編到例題中，激發學生學習興趣．

探究名題解法，拓展數學思維．在講解名題時注重多種解法的探究，打破固有思維．數學發展的不同階段對于名題的求解方法不同，這些方法往往可以體現當時數學發展的特點，蘊含著重要的數學思想方法，因此教師可以從已有的解題角度出發，引導學生探究．在引導探究的過程中，更重要的是讓學生感受解決數學問題的多種視角，培養發散思維[6]．

聯系教材實際，強化知識應用．新一輪課程改革中強調數學文化融入教學，多版初中教科書都分布有數學歷史名題，中考試題中數學歷史名題的出現頻次也呈上升趨勢．解題教學應與教材實際和學生已有的知識體系緊密相連[7]．為此，教師既可以充分挖掘教材中已有的或隱含的數學歷史名題來開啟教學，也可以選取中高考中包含歷史名題的試題進行應用鏈接，改善解題教學中題目遠離教材、偏難偏怪的現象．

滲透文化背景，進行情感熏陶．數學歷史名題作為數學發展長河中留存下來的經典問題，是數學世界的璀璨明珠，其深厚的人文背景是對學生進行情感教育的良好素材．教師在應用歷史名題前，應充分了解其時代背景、相關數學家、發展歷史等，讓學生在認識名題的過程中獲得良好的情感體驗，如感受我國古代數學的博大精深，增長民族自信，體會數學家嚴謹的治學態度和鍥而不舍的探索精神，改變錯誤的學習觀念等．

3 相關教學設計

解雙直角三角形是初中數學的重點內容，《義務教育數學課程標準(2022年版)》中強調：“知道直角三角形的邊角關系，理解銳角三角函數，能用銳角三角函數解決簡單的實際問題.”[8]不可及物的測量問題是解雙直角三角形的經典題型，在中考中多次出現．《海島算經》是我國數學家劉徽所著的中國最早運用幾何理論解決各種測量難題的數學專著，主要解釋“重差術”問題，即不可及物高度和距離的測量問題，書中的數學問題包含多種真實情境，蘊含著重要的數學思想方法，是“不可及物測量問題”教學的優秀素材．

3.1 名題引入，激起興趣

魏晉時期偉大的數學家劉徽在其著作《海島算經》中留下了九道經典的測量名題，其中第1題為“望海島”問題——在地面立前后兩根表來測量遠方的一處海島，兩表高均為3丈(5步)，相距1 000步，先從前表出發后退123步觀察海島頂端，再從后表后退127步觀察海島頂端．問：海島高為多少？海島與前表之間的距離為多少？(注：古代1丈=10尺，1步=6尺)

設計意圖此題源于現實生活，是有關不可及物測量問題的數學歷史名題，出自我國古代數學家劉徽的著作《海島算經》，選取此種與教學內容緊密相連的歷史名題引出教學，激發學生的學習興趣．

3.2 一題多探，發展思維

探究1 預設學生最先想到的解題思路是利用相似三角形的判定及性質進行證明，引導學生應用平面幾何的知識證明島高和島去表的測量公式.

探究2 “望海島”問題本質上是解雙直角三角形.在進行本課之前，學生已經學習了利用銳角三角函數解直角三角形，故此引導學生利用銳角三角函數的知識證明島高和島去表的測量公式．

探究3 《海島算經》是劉徽在魏晉時期所著，根據當時的數學水平，三角學還未出現，現代數學家吳文俊認為可以采用“出入相補”原理進行證明，趙爽在《周髀算經》中遺留的“日高圖”中也蘊含此思想．引導學生思考如何利用面積思想和“出入相補”原理證明“望海島”問題．

設計意圖引導學生探究名題的多種解法，從教解題到教思維，在解題教學中進行思維教學，幫助學生在問題思考過程中認識問題和解法的本質，提升思維能力，發展核心素養[3]．探究1中的“比例法”涉及初中平面幾何知識，利用相似三角形對應邊成比例的性質定理進行求解，是初中生最容易理解和掌握的方法．探究2的“三角法”體現了銳角三角函數在解直角三角形中的重要作用，“望海島”問題本質上是不可及物高度和距離的測量問題，此類問題正是解直角三角形的經典題型，三角法是最為普遍的解題方法．探究3中的“面積法”所用到的“出入相補”原理是我國古代數學的智慧結晶，此原理可以應用于勾股定理、多邊形面積公式、等差數列求和等多個教學之中，引導學生利用此原理思考“望海島”問題，既是對學生數學思維的培養，也能通過體會古代數學的博大精深激發愛國熱情．三次解題探究，讓學生掌握了多種求解不可及物測量問題的方法，體會從幾何、函數、代數等方面進行問題探究的發散思維．

3.3 變式檢測，合作探究

變式1 改編自《海島算經》中的“登山望津”問題：如圖1，今有登山望津(AB)，津在山南．偃矩山上，令勾(CD)高一丈二尺，從勾端(C)斜望津南岸(A)，入下股(DE)二丈三尺一寸；又望津北岸(B)，入前望股里一丈八寸(EF)，津南岸去山腳(G)五丈二尺(AG)．問津廣(AB)幾何？

圖1 圖2

變式2 摘自《海島算經》中的“望波口”問題：如圖2，今有東南望波口(AB)，立兩表(C,D)南北相去九丈(CD)，以索薄地連之．當北表之西卻行去表六丈(CE)，薄地(E)遙望波口南岸(B)，入索北端(H)四丈二寸(CH)；以望北岸(A)，入前所望表里(G)一丈二尺(GH)．又卻后行去表十三丈五尺(CF)，薄地(F)遙望波口南岸(B)，與南表參合．問波口(AB)廣幾何？

教學活動：以小組為單位進行討論，探究“望海島”問題的三種解題方法能否求解上述兩個變式，討論“登山望津”問題、“望波口”問題與“望海島”問題有哪些不同．

設計意圖《海島算經》中包括不可及物測量問題的多種情境，選取其中兩道符合初中生認知發展水平的名題作為變式探究，并以小組為單位用3．2節中的三種解題方法求解變式問題．教學引入的“望海島”問題是在與不可及物底端同一平面上的兩個點，對物體的頂端進行兩次觀測；變式1中改編的“登山望津”問題是在與觀測物不處于同一平面的一個點，對不可及物的兩個端點分別進行觀測；變式2中的“望波口”問題是在兩個點對不可及物進行多次觀測．通過變式問題進一步鞏固解法，在探究解法是否適用的過程中進一步體會數形結合、等量代換等數學思想，同時將改編后的歷史名題作為變式，真實生動的情境能為解題增添活力，調動學生探究的積極性．

3.4 實戰演練，深化理解

題1(浙教版)廣場上空有一個氣球A，地面上點B,C,D在一條直線上，BC=20 m．在點B,C分別測得氣球A的仰角∠ABD為45°，∠ACD為56°．求氣球A離地面的高度AD(精確到0.1 m)．

題2(2018·寧波中考)如圖3，某高速公路建設中需要測量某條江的寬度AB，飛機上的測量人員在C處測得A,B兩點的俯角分別為45°和30°．若飛機離地高度CH為1 200 m，且點H,A,B在同一水平直線上，則這條江的寬度AB為多少m？(結果保留根號)

圖3 圖4

設計意圖不可及物測量問題在課后習題中常有出現，在中考中出現的頻率也很高，2020年河南省、2019年天津市、2018年衢州市、2014年紹興市等地的中考卷中都有類似考題．選用教材中的課后習題和中考真題作為應用鏈接，加強解題與教材之間的聯系，一方面能幫助學生鞏固所學，在解題時回顧教材，梳理知識，進一步完善知識網絡，同時在練習中考真題時能更好地把握考點，大多數中考真題的條件簡單，難度較低，利用銳角三角函數求解最為快捷有效；另一方面，學生在解題過程中可以體會知識的實際應用，感受豐富的文化韻味，保持學習的積極性．

4 進一步的思考

將《海島算經》中的歷史名題融入“不可及物測量問題”的解題教學，真實有趣的情境為課堂增添了活力，學生在探究名題解法的過程中掌握了求解此類問題的通法，體會到數形結合、等量代換等數學思想的博大精深，最后練習相關課后習題和中考真題進行知識鞏固，同時教學還利用歷史名題的時代背景、相關人物、發展歷史等對學生進行文化教育．

4.1 歷史名題合理融入教學

融入教學的歷史名題應與教學存在緊密聯系，并符合學生的認知水平.“望海島”問題是“不可及物測量問題”的經典題型，教學中探究的“比例法”“三角法”“面積法”都能被學生理解掌握．通常來說，數學歷史名題的語言表達較為晦澀難懂，會給學生帶來一定的認知負擔，教師在教學過程中可以對題目進行合理改編或增加注釋、圖示，同時注重引導學生從問題中抽象出數學模型.如本教學案例中的變式2是對《海島算經》中“登山望津”問題進行的簡化改編，并配以圖示呈現給學生，減少學生的認知負擔．數學歷史名題在經過科學合理的組織之后，能更好地融入并促進教學．

4.2 多種解法拓展數學思維

解題教學不能只關注教解題，還應著眼于學生的思維發展，讓學生學解題．為使學生在面對問題時積極運用已有知識經驗多角度思考，教師可以通過引導學生一題多解來進行思維培養．如在本教學案例中，共引導學生進行了三次解法探究：第一種應用平面幾何知識的“比例法”是史料中的解法，該方法最易于理解；第二種運用銳角三角函數的“三角法”是初中階段解直角三角形的常用辦法，適用范圍最廣；第三種基于“出入相補”原理的“面積法”是我國古代數學中轉化思想的重要體現，雖然此方法在不可及物測量問題中適用范圍較窄，但可以讓學生體會我國古代數學智慧，增長民族自信，獲得良好的情感體驗．

4.3 回歸教材強化知識應用

解題教學最終要落實到學生的實際應用中，所教內容回歸教材、鏈接考試，有助于學生進一步作解題反思，鞏固所學．本案例中將浙教版教材中的課后習題和各地中考真題作為練習題目，一方面檢測教學效果，補充教學不足；另一方面引導學生在練習的過程中梳理知識點、把握考點，深化知識理解，強化知識應用．