《幾何原本》在高中數學教學中的應用

王智洋 韓 粟 (華東師范大學教師教育學院 200062)

1 引言

歐幾里得的《幾何原本》(下稱《原本》)是世界上最著名、最有價值的數學巨著之一，它作為使用過兩千多年的教科書，為我們提供了大量數學概念、方法和思想，如今教材中的許多內容均可以在其中找到來源．徐光啟曾在《幾何原本雜憶》中提到“而習者蓋寡，竊意百年之后，必人人習之”，表達了他對于《原本》的贊賞和推崇．在數學文化的價值受到廣泛關注的今天，“純數學”的學習已經不能滿足學生的發展需求．教師在當下重溫經典，不僅能夠獲得豐富的教學素材，還能發現其寶貴的育人價值．

隨著HPM(History and Pedagogy of Mathematics，數學史與數學教育)得到數學教育界的認可，許多中學數學教師已經認識到數學史的教育價值，但在實際教學中運用數學史仍然存在諸多困難．例如，手頭無史料(不知道用什么)，胸中無方法(不知道怎么用)[1]．本文希望結合已有的HPM課例，探究將《原本》[2]中的材料應用于教學的方法，為一線的高中數學教師提供幫助．

2 思想溯源：數學公式的教學

· 等比數列求和公式

《普通高中數學課程標準(2017年版)》(下稱《課標》)要求“探索并掌握等比數列的前n項和公式”，國內教材中給出的公式推導方法多為錯位相減法，呈現方式也十分相似．錯位相減法固然是一種非常重要的思想方法，用途廣泛，體現了高等數學中“算法”的思想．但學生在學習中容易產生困惑：為何想到錯位相減法？是否存在其他推導方法？[3]

《原本》第9卷命題35中給出了等比數列求和公式的另一種推導方法：

文獻[4]第219～226頁的課例中教師在引出等比數列求和問題后，通過微視頻大致介紹了公式推導的幾種思路，引導學生分組進行探究．然后組織學生分享推導思路，展示《原本》中的推導過程以及其他精彩的推導方法．最后讓學生運用公式解決古今問題，體會公式的必要性和實用性．

將《原本》應用于教學，為公式的推導提供了一種簡單方法——比例法，這種方法與等比數列的定義結合緊密，增添了推導方法的豐富性．學生經歷公式推導后了解了比例法思想的歷史來源，增加了課堂的人文性．

3 古今對話：幾何概念的教學

在概念課教學中，最重要的環節莫過于形成概念并引出定義，學生往往在這一環節缺少同化的過程，只能被動接受．這樣得到的概念對于學生而言如空中樓閣一般虛無縹緲，學生不理解定義從何而來，造成概念模糊和混淆．本節以旋轉體和棱柱的概念為例，探究《原本》在概念課教學中怎樣幫助教師更好地“引”出定義．

3.1 旋轉體的概念

《原本》第11卷中分別給出了圓柱、圓錐和球的定義：

·固定一個半圓的直徑，旋轉半圓到開始位置，所形成的圖形稱為一個球；

·固定直角三角形的一條直角邊，旋轉直角三角形到開始位置，所形成的圖形稱為圓錐；

·固定矩形的一邊，繞此邊旋轉矩形到開始位置，所成的圖形稱為圓柱．

上述定義都是動態的，與如今教材中給出的具體旋轉體的定義基本相同，只是教材中還補充了圓臺和一般旋轉體的定義．在學習旋轉體時，學生容易產生困惑，不理解學習旋轉體的必要性，難以想到立體圖形的動態形成過程[5].

文獻[4]第182～187頁的課例中，教師首先通過問題情境展示了生活中的圓柱，并讓學生分析圓柱的靜態性質，體會學習圓柱的必要性．然后通過回憶圓的靜態、動態定義，感受到圖形動態定義的生動與活力．接著組織學生利用提供的材料，用圖形的運動形成圓柱，從動態角度得到包括“歐氏”定義在內的多種圓柱定義，并引導學生對每個定義進行辨析，強調嚴謹性．隨后通過對多個定義的比較，評選出最優的定義，分享“歐氏”定義的優點和美妙之處．最后將平面圖形一般化，得到一般旋轉體的定義．

將《原本》應用于教學，從學生熟悉的具體幾何體出發，幫助學生抽象出旋轉體的概念，感受旋轉體的特殊性，對于立體幾何的認識從平面過渡到曲面、從靜態上升到了動態．學生在動手操作的過程中仿佛穿越時空與古人對話，通過觀察不同材料的運動現象產生多種動態定義．

3.2 棱柱的概念

《原本》第11卷中給出棱柱的定義：“一個棱柱是一個立體圖形，它是由一些平面構成的，其中有兩個面是相對的、相等的，相似且平行的，其他各面都是平行四邊形．”“歐氏”定義在歷史上很長一段時間里都被認為是棱柱的標準定義，但事實上，通過“正十二面體”的反例，可以說明這個定義是不完備的．

文獻[4]第165～171頁的課例中，教師先讓學生通過觀察、搭建模型等方式，從多個角度抽象出棱柱的定義，從而引出《原本》中的定義，并引導學生思考、討論定義的正確性．然后簡單介紹數學歷史上對“歐氏”定義正確性的討論，提醒學生從棱柱的基本量的數量關系和位置關系出發進行思考、動手操作，逐步構造出反例．證明“歐氏”定義的不足后，引導學生通過增加條件來完善定義，最后得到教材上的定義．

教學實踐表明，學生對棱柱概念的理解具有歷史相似性，他們在學習過程中往往會把棱柱的某些特征放在一起定義棱柱，認為《原本》中的定義是正確的[6]．因此，將《原本》應用于教學中，通過對不完備定義的修正，解決學生對于棱柱的認識從模糊的幾何圖形過渡到具體的數學定義的困難．在過程中回顧整個棱柱定義的發展歷史，讓學生感受到數學發展的曲折和探索精神的可貴．

4 方法運用：數學命題的教學

在命題課的教學過程中，教師要讓學生經歷從命題的背景中發現和提出猜想、推理論證，獲得命題的過程[7].《原本》不僅提供了背景素材，幫助教師引出命題，還提供了多種證明方法和思路，幫助學生得到命題．本節以線面垂直判定定理、余弦定理和基本不等式的概念為例，探究《原本》在命題課教學中的應用．

4.1 線面垂直判定定理

《原本》第11卷中給出了線面垂直的定義：“一直線和一平面內所有與它相交的直線都成直角時，則稱此直線與平面成直角．”

在同卷命題4中給出了線面垂直的判定定理：“如果一直線在另兩條直線交點處都和它們成直角，則此直線與兩直線所在平面成直角．”并通過添加輔助線構造全等三角形進行了證明．

教材中給出的線面垂直判定定理與《原本》基本相同，只是在線面垂直的定義中將“與直線相交”去掉，改為“若一條直線與一個平面上的兩條相交直線都垂直，則該直線與該平面垂直”．根據前面直線與直線位置關系的內容，教材將《原本》中線面垂直的定義和判定定理進行了簡化．因為《課標》中的要求是“歸納出判定定理”，所以教材只是歸納出了定理，沒有進行證明，但在實際教學中，僅僅依靠歸納難免會讓學生將信將疑．《原本》提供了一種學生可以理解的證明思路，雖然證明過程較為繁瑣，但其思路能夠啟發學生探索其他證明方法．

文獻[4]第280-285頁的課例中教師首先通過一些生活中線面垂直的例子，如翻開書本直立在桌面上、旗桿與地面等，讓學生產生線面垂直的概念，并將生活實例抽象成數學情境，引出“歐氏”定義．然后通過之前學習的直線與直線位置關系相關內容，將“歐氏”定義簡化，得到課本上的定義．接著通過分析定義，化無限為有限，得到判定定理．最后展示《原本》中判定定理的證明思路，提示學生添加輔助線，引導學生嘗試證明定理．

將《原本》應用于“線面垂直判定定理”教學，在得到線面垂直定義的過程中鋪設臺階，先通過幾何直觀和數學抽象得到“歐氏”定義，再通過簡化“歐氏”定義，得到課本上的定義．這給學生提供了證明定理的思路，學生經歷了合情推理和邏輯推理的過程，感受到數學來源于生活以及數學的嚴謹性．

4.2 基本不等式

圖1 矩形模型

圖2 半圓模型

《原本》中的半圓模型從“形”的角度展示了基本不等式的幾何意義．在推導基本不等式的眾多方法中，作差法是學生容易想到的，也是證明不等式的首選[8]．《原本》中的矩形模型不僅給出了作差法的詳細步驟，還提供了幾何解釋．

文獻[4]第338～341頁的課例中教師首先通過等周問題引出算術平均數和幾何平均數的概念．然后引導學生通過作差法證明，并通過作圖比較兩個平均數的大小，即《原本》中的半圓模型．接著組織學生嘗試通過分析法和綜合法嚴格證明基本不等式．

將《原本》中的兩種模型應用于“基本不等式”的教學，幫助學生從“數”與“形”兩個角度進一步認識基本不等式，將抽象的代數式變得具體，培養學生數形結合的思想，感受幾何圖形中蘊含著代數關系的和諧美．

4.3 余弦定理

《原本》第1卷命題47中用面積法證明了勾股定理，這給我們提供了一種思路：將直角三角形推廣為一般三角形，用同樣的“面積法”證明余弦定理．以銳角三角形為例，證明過程如下：

如圖3，在邊長為a,b,c的銳角△ABC的三邊BC,CA,AB上分別作正方形BCED,ACFG和ABIH．過頂點A,B,C分別作BC,CA和AB的垂線，垂足分別為J,L和N，延長垂線，與DE,FG,IH分別交于K,M和P．

圖3 面積法

與勾股定理的情形類似，由于△ACE≌△FCB，則SACE=S△FCB．又SCEKJ=2S△ACE且SCFML=2S△FCB，從而SCEKJ=SCFML．同理可證SBDKJ=SBIPN．那么SBCED=SCEKJ+SBDKJ=SCFML+SBIPN=SABIH-SAHPN+SACFG-SALMG，即a2=b2+c2-SAHPN-SALMG．又因為SAHPN=2S△AHC=AH·AN=c·bcosA=bccosA，且SALMG=AG·AL=b·ccosA=bccosA，所以a2=b2+c2-2bccosA．

另外，《原本》第2卷的命題12和命題13中分別給出了鈍角三角形和銳角三角形的三邊關系：命題12相當于在圖4左所示的鈍角△ABC中，有a2=b2+c2+2cm．命題13相當于在圖4右所示的銳角△ABC中，有a2=b2+c2-2cm．并利用“作高法”對上述兩個命題進行了證明，如圖4所示，由勾股定理分別得到a2=h2+(c+m)2=h2+c2+m2+2cm=b2+c2+2cm，a2=h2+(c-m)2=h2+c2+m2-2cm=b2+c2-2cm．

圖4 作高法

教材中給出的余弦定理敘述基本一致，將《原本》中的鈍角三角形和銳角三角形兩種形式合并為三角形式，即a2=b2+c2-2bccosA．但證明方法有所不同，人教版和蘇教版教材用向量法證明，滬教版用兩點間距離公式．雖然課標中要求“借助向量和運算”，但在實際教學中，學生很難想到用向量方法來解決[9]．《原本》從學生熟知的勾股定理出發，提供了兩種證明余弦定理的思路，一種是由面積法證明勾股定理推廣到證明余弦定理，另一種是通過構造直角三角形的幾何證明方法．

文獻[4]第264～268頁的課例中教師首先讓學生比較不同形狀三角形三邊和的關系，得到《原本》中余弦定理的描述．然后提示面積法證明勾股定理的思路，啟發學生證明余弦定理，并將定理形式合并成課本上的三角形式．接著，教師鼓勵學生從代數的角度證明余弦定理，學生想到了作高法、解析法等．最后教師總結方法，并對公式形式進行分析和變形．

將《原本》應用于“余弦定理”教學，不僅為學生從“形”的角度提供了兩種證明方法，展示了方法之美，還讓學生經歷了從勾股定理到余弦定理的類比和推廣過程、從幾何探究到解析證明的過程，培養研究數學的能力．

5 結語

本文展示了《原本》在高中數學階段豐富的教學素材，以教材中的“一個公式，兩個概念，三個命題”為例，結合相關HPM課例給出了將《原本》應用于高中數學教學中的方法．《原本》中內容、方法和思維的應用，能讓學生更自然地理解并掌握新知，構建“知識之諧”；開拓思維，激發創新意識，感受“方法之美”；主動參與課堂，激發學習興趣，享受“探究之樂”；培養數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算核心素養，實現“能力之助”[1].同時，它們也幫助教師讀懂教材、豐富教學內容，解決實際教學中“概念引入太快”“定理形成過簡”“公式推導單一”等問題．

《原本》應用于教學不僅有教學價值，還能夠在數學課堂上幫助落實立德樹人的教育根本任務．學生在了解相關知識的歷史后，能夠樹立嚴謹求實的理性精神，培養動態的數學觀，在學習過程中仿佛穿越時空與數學家對話，體會數學“冰冷外表”背后的人文關懷，達成“德育之效”[1]．