“初見函數(shù)”教學設計和思考*

倉萬林 (江蘇省江陰市要塞中學數(shù)學寫作工作室 214432)

1 學情分析

教學對象是三星級普通高中高一學生，數(shù)學基礎(chǔ)一般，剛剛進入高中不到一個月的時間，處于從初中到高中數(shù)學學習的轉(zhuǎn)折階段．

2 教材解讀

本節(jié)課是第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”第一節(jié)內(nèi)容．函數(shù)是高中數(shù)學的核心概念，也是普通高中人教A版數(shù)學教材第一冊的主體內(nèi)容，包括函數(shù)概念和性質(zhì)、常見類型的函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)).因為函數(shù)是貫穿高中數(shù)學課程的主線，所以函數(shù)內(nèi)容在高中數(shù)學課程中具有奠基地位，對培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)學建模等素養(yǎng)有重要意義．

教學目標 (1)閱讀函數(shù)歷史相關(guān)材料，感受函數(shù)概念的發(fā)展脈絡，用集合語言和對應關(guān)系刻畫函數(shù)；(2)了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求簡單函數(shù)的定義域；(3)了解函數(shù)的主要內(nèi)容和學習方法，提升邏輯推理等學科核心素養(yǎng)．

教學重點 函數(shù)的概念和函數(shù)概念理解．

教學難點 函數(shù)概念中對應關(guān)系f和函數(shù)記號y=f(x)的理解．

3 過程實錄

(課前循環(huán)播放視頻：函數(shù)歷史人物)各位同學，下午好，今天我們一起“初見函數(shù)”(課題取自清代著名詞人納蘭性德的詞：“人生若只如初見”)．

3.1 教學環(huán)節(jié)1：漫話函數(shù)

函數(shù)是中學數(shù)學中最常用也是最重要的概念，已經(jīng)有三百多年歷史．17世紀中葉，數(shù)學從常量數(shù)學發(fā)展到變量數(shù)學時期，函數(shù)的概念應運而生．1637年前后，法國數(shù)學家笛卡爾(圖1)在《幾何學》中已注意到一個變量y對另一個變量x的依賴關(guān)系，這是函數(shù)思想的萌芽．17世紀后期，牛頓、萊布尼茲(圖2)出場．1694年，萊布尼茲首次使用function(函數(shù))表示“冪”，如x,x2,x3都叫函數(shù)．牛頓在討論微積分時，使用“流量”來表示變量間的關(guān)系．

圖1 笛卡爾

1718年，瑞士數(shù)學家約翰·貝努利(圖3)對函數(shù)概念進行了定義：“由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量”．變量x和常量構(gòu)成的式子都叫做x的函數(shù)．函數(shù)從此進入解析式時代．1837年，德國數(shù)學家狄利克雷(圖4)認識到如何建立x與y之間的對應關(guān)系無關(guān)緊要，因而創(chuàng)立了現(xiàn)代函數(shù)的正式定義：“如果對于x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函數(shù)．”這個定義抓住了概念的本質(zhì)屬性．初中函數(shù)的定義就是這個版本．

圖3 約翰·貝努利

20世紀初，德國數(shù)學家康托爾(圖5)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學中確立了重要地位，數(shù)學家們用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數(shù)定義．現(xiàn)在高中課本采用的就是這種形式．

圖5 康托爾 (1845—1918)

一般地，設A,B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A．其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

如今是一個大數(shù)據(jù)的時代，算法為王，蘇教版教材上的函數(shù)概念解讀方式如圖6，秒懂．

圖6 圖7 李善蘭(1811—1882)

函數(shù)(function)，由中國的數(shù)學家李善蘭(圖7)翻譯．李善蘭十分貼切地創(chuàng)譯了大批科學名詞，如代數(shù)學中的代數(shù)、函數(shù)、常數(shù)、變數(shù)、系數(shù)、已知數(shù)、未知數(shù)、方程式、單項式等．

設計意圖通過函數(shù)歷史的梳理，使學生體會到函數(shù)的歷史就是一個函數(shù)內(nèi)涵不斷被挖掘、豐富和精確刻畫的歷史過程，同時也可以看出數(shù)學并非生來就有、一成不變，數(shù)學也在與時俱進．

3.2 教學環(huán)節(jié)2：概念理解

為什么高中把“對應”叫做函數(shù)，而初中把y叫做x的函數(shù)呢？高中將函數(shù)的記號寫成“y=f(x)，x∈A”，y=f(x)的形式頗令人費解．

f(x)=4x與f(t)=4t，甚至f(2x)=4(2x)都表示同一對應關(guān)系(表示一個函數(shù))：□→4×□，意味著將任一實數(shù)擴大到原來的4倍，與選用什么字母表示輸入值沒有關(guān)系．

函數(shù)，作為對應關(guān)系，實現(xiàn)了“將每一個輸入值x變?yōu)榕c之對應的唯一輸出值y”的功能．好像把豬送進一種機器加工，出來后變成令人垂涎的“香腸”(圖8)．函數(shù)，就如同香腸加工的機器，實現(xiàn)了“變豬為香腸”的功能．

圖8

有正向的函數(shù)加工過程，反過來就有反函數(shù)，我們可以把豬變成香腸，但反過來不一定能做得到．一個函數(shù)是否存在反函數(shù)是要看是否具備了一定條件的，后面我們會繼續(xù)學習．

設計意圖通過簡單的案例，從不同的視角認識函數(shù)對應的本質(zhì)，復合函數(shù)和反函數(shù)的出現(xiàn)更能體現(xiàn)對函數(shù)對應本質(zhì)的理解．

3.3 教學環(huán)節(jié)3：內(nèi)容掃描

(1)函數(shù)的概念

一般地，設A,B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A．

函數(shù)的定義域、對應法則、值域稱為函數(shù)的三要素，當定義域和對應法則確定之后，值域也就確定了．判斷兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)，只要看函數(shù)的定義域和對應法則是否相同．

例1(人教B版第一冊第87頁)求下列函數(shù)的定義域：

例2下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y=x是同一個函數(shù)：

例題講解(略).

(2)函數(shù)的性質(zhì)

在初中原有函數(shù)性質(zhì)基礎(chǔ)上作進一步抽象和延伸．

·單調(diào)性

如圖9，一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：如果?x1,x2∈D，當x1

圖9 圖10

如圖10，一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：如果?x1,x2∈D，當x1f(x2)，那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減．

·奇偶性

如圖11，一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)．

圖11 圖12

如圖12，一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I，如果?x∈I，都有-x∈I，且f(-x)= -f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)．

·周期性

如圖13，一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f(x) 就叫做周期函數(shù)．非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．

圖13

設計意圖讓學生了解函數(shù)研究的主要內(nèi)容，同時掌握簡單函數(shù)的定義域的求解方法，會辨析兩個函數(shù)是否為同一個函數(shù)，兼顧眼前的“茍且”與“詩和遠方”．

3.4 教學環(huán)節(jié)4：學習指南

設計意圖立意在引領(lǐng)學生從方法角度審視高中數(shù)學學習．

3.5 課堂小結(jié)(略)

3.6 課后作業(yè)

(1)閱讀課本相關(guān)內(nèi)容，完成第72頁習題3.1練習1～4．

(3)(選做題)數(shù)學閱讀與寫作題：閱讀函數(shù)等相關(guān)材料，寫一篇題為《函數(shù)面面觀》或者《邂逅函數(shù)》的文章，文體不限，可以參考微信公眾號“數(shù)學寫作”中的學生作品．歡迎投稿至：sxxzlm@163.com，優(yōu)秀稿件可以在微信公眾號“數(shù)學寫作”推送或者推薦到數(shù)學雜志發(fā)表．

設計意圖作業(yè)1，回歸課本閱讀，培養(yǎng)學生的自學能力．作業(yè)2，狄利克雷函數(shù)是體現(xiàn)函數(shù)發(fā)展的重要經(jīng)典函數(shù)之一．作業(yè)3，數(shù)學閱讀與寫作題，意在引領(lǐng)學生關(guān)注數(shù)學閱讀和寫作．同時，“邂逅”在語境上對應前面的初見，再次點題．

4 教學思考

本次《中學數(shù)學月刊》“走進課堂”活動，同時也是“數(shù)學寫作”學校聯(lián)盟“進入課堂的數(shù)學寫作”系列活動之一，在前期，已經(jīng)有6篇教學設計和思考的系列文章發(fā)表．下面從本節(jié)課的課型確定、設計思路、內(nèi)容選擇等方面呈現(xiàn)筆者的思考．

4.1 對章節(jié)起始課的理解

章首課，是一種新型教學形式，其基本目標是讓學生對即將學習的內(nèi)容有一個宏觀的了解，對整章知識結(jié)構(gòu)進行初步的思維建構(gòu)，促進學生有意義的學習．隨著課程改革的不斷深入，教與學的行為逐漸聚焦“核心素養(yǎng)”，我們越來越重視教學過程中的返璞歸真．課本中章頭圖、章首語等隱性課程元素也逐漸體現(xiàn)出應有的教育價值，于是在傳統(tǒng)課型之外，章節(jié)起始課應運而生．雖然章節(jié)起始課的研究和實踐時間不是很長，但其重要性和價值正逐漸為廣大一線教師所慢慢接受．事實上，章節(jié)起始課的教學可以促進新知識的學習，具有先行組織者的作用．章節(jié)起始課教學能夠幫助學生構(gòu)建良好的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)，掌握基本的思想方法，感受數(shù)學應用的廣泛性，對培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)大有裨益，應得到足夠重視．

4.2 本節(jié)課的設計思路

本節(jié)課選用了“4W”設計法，緊緊圍繞是什么(what)、為什么學(why)、學什么(what)和怎么學(how)四個環(huán)節(jié)展開，讓學生整體把握全章的相關(guān)背景知識、知識內(nèi)容之間的相互聯(lián)系、邏輯體系以及知識背后的文化與應用，明晰本章的學習特點和學習方法．[1]

章節(jié)起始課的設計應追求大利益、高境界，勾勒出特定內(nèi)容的研究藍圖．根據(jù)目前的研究成果來看，章節(jié)起始課一般分為兩種類型：章節(jié)內(nèi)容和第一自然小節(jié)整合型章節(jié)起始課和大單元視角下的章節(jié)起始課．筆者嘗試貼近實際，整合多個版本教材，如例題1和蘇教版教材上函數(shù)概念的理解等，進行跨章節(jié)視角下的章節(jié)起始課教學，試圖向?qū)W生傳遞數(shù)學的整體觀和研究數(shù)學新問題的基本意識．對函數(shù)而言，它的知識生長點是函數(shù)的概念、函數(shù)的基本性質(zhì)、基本初等函數(shù)等等，課堂教學時需要引導學生回顧已有的對函數(shù)概念的認知和熟悉的研究路徑，一方面可以整體認識單元的學習內(nèi)容，另外一方面可以讓學生初步了解問題的研究思路．選擇跨章節(jié)視角下的章節(jié)起始課的原因在課題設計中已有所暗示，本節(jié)課安排了多個數(shù)學閱讀環(huán)節(jié)，比如函數(shù)的發(fā)展歷史、函數(shù)概念等，體現(xiàn)了教學中對文本閱讀的訓練，另外從學生已有的知識儲備來看，函數(shù)的簡單概念和性質(zhì)等在初中已經(jīng)有所接觸．至于學習方法建議中的猜想-證明的思路，其實前兩個步驟在其他內(nèi)容中已廣泛應用，因此從跨章節(jié)視角來設計函數(shù)單元起始課是基本符合學生的認知規(guī)律的．

本節(jié)課按一明一暗兩條線索展開教學活動．第一條是明線：知識的線索．主要回答以下幾個問題：為什么要學習函數(shù)？(數(shù)學內(nèi)部發(fā)展的需要．)函數(shù)中學習什么？(函數(shù)概念、函數(shù)性質(zhì)等．)如何學習函數(shù)？(重視定義域，函數(shù)性質(zhì)的證明，用好技術(shù)手段等．)第二條是暗線：數(shù)學欣賞的線索．從視頻片段欣賞到圖片欣賞，在數(shù)學閱讀中，結(jié)合科普化的圖片案例，潛移默化中完成了系列的數(shù)學閱讀和欣賞過程．函數(shù)中有豐富的數(shù)學文化的內(nèi)容，這些需要我們在日常教學中引起足夠重視．在本次章節(jié)起始課中，引導學生“用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維分析世界、用數(shù)學的語言表達世界”[2]，或多或少，我們接近和初步達到了核心素養(yǎng)下的課程目標．

4.3 本節(jié)課的內(nèi)容選擇

本節(jié)課的一個最大嘗試在于教學內(nèi)容的選擇，主要說明兩點：

(1)章節(jié)視角下的章首課教學，一般以整章內(nèi)容為范圍，將基本的冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)內(nèi)容整體納入本節(jié)課．本課設計在內(nèi)容上進行了舍取，去掉了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，補充了三角函數(shù)中才出現(xiàn)的函數(shù)的周期性，這也是課后爭議比較多的地方．

(2)在函數(shù)概念理解中引入了復合函數(shù)和反函數(shù)的概念．通常認為這兩個難點內(nèi)容不應該出現(xiàn)在概念課上，尤其是反函數(shù)的概念．本節(jié)課中，筆者從簡單的案例出發(fā)，用對應的觀點解讀復合函數(shù)概念，這與傳統(tǒng)的復合函數(shù)教學方式有較大差異．對于反函數(shù)，本節(jié)課留給師生們印象最深的是科普化的卡通豬變香腸的案例(當然，這里的類比推理是否合適，有值得討論的地方)，這也是當初教學設計時沒有想到的，或許也啟示我們課堂教學探索可以沒有禁區(qū)，更不能主觀地畫地為牢．反函數(shù)概念的引入，恰恰幫助我們理解了函數(shù)中對應的概念本質(zhì)，有降維打擊的效果．

4.4 本節(jié)課的不足

在授課后筆者認為需要改進的地方有如下兩處：(1)函數(shù)性質(zhì)中概念理解的抽象化程度較高，從圖的視角呈現(xiàn)概念，一定程度上脫離了學生的知識實際．在函數(shù)性質(zhì)中，可以選擇講透函數(shù)的一個性質(zhì)，而不是一一簡單羅列．(2)函數(shù)的概念引入中，歷史材料的簡單羅列并未在學生思維上形成函數(shù)概念的認知沖突．或許可以從函數(shù)歷史發(fā)展過程中的問題出發(fā)引進函數(shù)概念，引發(fā)函數(shù)概念的歷史升級，比如作業(yè)中的第2個問題．