基于加工誤差敏感度與模糊層次分析法的行星滾柱絲杠公差匹配優化方法

吳翰林 魏沛堂 蔡 磊 胡 瑞 劉懷舉 杜雪松 朱才朝 劉 浪

1.重慶大學機械傳動國家重點實驗室，重慶，400044 2.貴州群建精密機械有限公司，遵義，563000

0 引言

行星滾柱絲杠(planetary roller screw mechanism, PRSM)是一種通過絲杠、滾柱、螺母之間多對螺旋曲面嚙合將旋轉運動轉化為直線運動的螺旋傳動機構，主要由絲杠、螺母、滾柱、內齒圈和保持架等零件組成。PRSM有著極高的承載能力、傳動精度、傳動效率、軸向剛度與高速性能[1-2]，主要應用于數控機床、航空航天、武器裝備及精密機械等領域[3-5]。各行業對PRSM的應用均有較高的精度要求，其關鍵零部件公差設計是研發過程中的一大難點和關注重點。若公差精度設定過高，加工成本會急劇增大，反之則達不到相應的技術要求。目前，絲杠、螺母、滾柱等關鍵零部件原始誤差因素與PRSM軸向間隙、行程精度的關聯規律尚未明確，各誤差項公差優化缺乏依據，因此，研究PRSM行程精度與零部件各尺寸、形位公差之間的關聯關系及軸向間隙與行程精度之間的關聯關系，合理設計公差對PRSM精度保障與提升具有重要意義。

傳統的公差優化設計過程中，通常以產品最終質量與制造成本之間折衷平衡作為優化目標。例如，JIANG等[6]考慮產品或結構在實際制造過程中設計變量的不確定性，通過綜合考慮目標函數的最優性、設計變量的可制造性和約束條件的可靠性，提出一種基于公差設計的新型區間優化方法。HAN等[7]基于適合線性模型的綜合參數與公差設計方法(integrated parameter and tolerance design， IPTD)，提出了一種計算機輔助的計算機實驗綜合參數與公差設計方法，其中輸入特性的平均值和公差同時被優化，以使總成本最小。上述公差優化設計方法中所建立的公差優化模型大多是以加工成本最低為目標、以零件或裝配體性能為約束的確定性優化模型，在擁有明確的關鍵公差參數設計理論的情況下能最大程度上減少加工成本、提高加工成品率、提高加工效率，然而當產品本身關鍵公差設計參數與最終服役性能之間關聯關系的理論研究不足時，在無法滿足產品性能要求的前提下關注基于加工成本的公差優化方法對工程實際的應用價值并不顯著。

相比普通結構件，精密傳動機構對零部件加工精度有著極高要求，普通加工生產環境下生產設備所能提供的有限加工精度條件限制了設計精密傳動機構時零部件加工精度等級，因此需要引入公差優化理論以對零件公差設計進行修正，以滿足一般加工精度下高性能指標要求。杜雪松等[8]提出基于模糊層次分析法的RV減速器公差設計方法，通過構造零件設計參數對傳動精度影響程度的敏感系數及加工難易度，提出RV回差分配權重計算方法，實現參數公差分配，并基于分配結果與加工成本函數進行公差優化。潘柏松等[9]建立了考慮齒輪磨損的行星減速器傳動精度時變可靠性模型，進行傳動可靠性分析與公差優化設計；并建立以加工成本最低為優化目標、傳動精度可靠度和齒輪磨損量為約束條件的公差優化設計模型，以序列二次規劃法對影響加工成本的設計參數進行優化。上述研究結合實際傳動結構形式與特點，建立裝配體性能與公差優化模型，提出性能與成本優化匹配方法，實現公差優化理論工程應用。

國內外學者對PRSM關鍵誤差參數與行程誤差關系的研究較少。李凱等[10]分析了一種基于PRSM的精密傳動機構的傳動精度、傳動效率兩項指標，得到了導程誤差、力形變誤差和彈性接觸形變誤差、安裝誤差、同軸度誤差、回程誤差、驅動電機誤差、支撐軸承和聯軸器誤差、測量裝置誤差、控制系統誤差、環境因素誤差對傳動精度的影響程度，推導了傳動效率與接觸角、螺旋升角的相互關系。MA等[11]對PRSM螺距誤差、牙側角誤差、絲杠螺紋同軸度誤差、裝配誤差中偏心誤差、偏斜誤差、負載變形誤差與行程誤差的關系進行了研究，得到了空載及負載狀態下PRSM行程誤差與上述誤差因素間的數學關系模型，并通過空載及負載精度實驗進行了驗證。鄭偉等[12]對包括螺距誤差、牙側角誤差、螺紋同軸度誤差的型面誤差、偏心誤差、傾斜安裝誤差、支撐單元頂升誤差、熱變形誤差、彈性變形誤差、承載變形誤差的變形誤差與PRSM行程誤差影響因素進行分析，基于各項誤差建立行程誤差模型并使用行程誤差試驗臺實驗驗證了模型的有效性。上述研究較為全面地考慮了部分加工、裝配、變形誤差對行程誤差的影響，但較為全面地研究絲杠、滾柱、螺母各關鍵尺寸公差、形位公差與行程精度之間關聯關系的報道較少，無法明確關鍵公差對行程精度的影響規律，進而無法滿足對PRSM公差主動設計的需求。

綜上所述，已有相關研究對PRSM加工誤差與行程誤差的分析較為籠統，缺乏滾柱、螺母加工誤差因素對行程誤差影響的研究。本文針對公差主動設計需求，對PRSM傳動原理及結構進行分析，提出行程精度、軸向間隙與各原始誤差因素數學關系模型，計算得到各誤差因素敏感性指數；基于三角模糊數的專家評判層次分析法，以5級精度下300 mm行程變動量為指標初步分配PRSM行程精度各誤差項公差；基于序列二次規劃算法，對影響軸向間隙的各誤差項公差進行優化；并通過某型號PRSM進行優化實例數值仿真驗證，以證明行程誤差計算模型與優化模型的有效性。

1 PRSM行程誤差及軸向間隙模型

本文選取對PRSM行程精度和軸向間隙影響較大的公差作為匹配優化設計變量。標準型行星滾柱絲杠典型結構如圖1所示，通過螺母、滾柱、絲杠間的螺紋接觸實現力的傳遞，其行程精度直接取決于滾柱-絲杠、滾柱-螺母之間螺紋嚙合點位置。因此，本文選取直接影響螺紋間嚙合點位置關系的公差，包括絲杠、滾柱和螺母的螺紋中徑、螺紋同軸度與螺距公差作為優化設計變量。其中，螺紋中徑誤差定義為實際測量中徑值與理論中徑值之差，螺紋同軸度誤差定義為螺紋滾道軸心線與兩端光軸回轉軸心線偏差距離的兩倍，螺紋螺距誤差定義為實際測量螺距值與理論螺距值之差，如圖2所示。

圖1 標準型PRSM結構與嚙合關系

(a)中徑誤差(左)、螺紋同軸度誤差(右)

螺紋同軸度誤差定義如圖3a所示，黑色外圓面為光軸輪廓外圓面，藍色外圓面為實際螺紋中徑外圓面。為計算由螺紋同軸度引起的行程誤差，以絲杠理論軸心線為原點建立參考坐標系(圖3b)，其中，x軸定義為光軸半徑沿水平方向，y軸定義為光軸半徑沿垂直方向，光軸軸心線為坐標原點o。

(a)螺紋同軸度誤差示意圖

如圖3b所示，根據定義的x、y軸建立坐標系oxy，同時以螺紋中徑圓沿水平方向半徑為x軸，沿垂直方向半徑為y軸，螺紋軸心線為坐標原點o′建立坐標系o′x′y′。定義角y′oy為螺紋中徑圓偏差角θ。灰色實心圓為光軸截面，藍色實心圓為實際螺紋中徑截面，黑色虛線圓為理論螺紋中徑截面。在絲杠轉角θ下，螺紋嚙合點誤差Δ即為嚙合位置相位角α下，藍色實心外圓b到灰色實心外圓a處距離ab。有

(1)

其中，R為絲杠轉角為θ時原點o距離偏差圓交點的長度，r為黑色虛線圓半徑，e為實際軸心線偏離理論軸心線距離。提取R，將式(1)轉化為關于R的函數，考慮到R為正值，可寫為

(2)

由式(2)，在絲杠轉角θ下，螺紋同軸度引起的螺紋嚙合位置的徑向偏差Δ可表示為

(3)

由于標準型PRSM絲杠與螺母牙型角通常為45°，故螺紋同軸度引起的螺紋嚙合位置的徑向偏差Δ等于其引起的行程誤差。由式(3)，當絲杠輸入轉角，即絲杠自轉角度為θS時，可計算得到滾柱與絲杠螺母嚙合處轉角及螺紋同軸度引起的行程誤差。

標準型PRSM通常采用多根滾柱與絲杠、螺母配套嚙合的方式，增加絲杠-滾柱-螺母螺紋副嚙合對數目以增強其承載能力與傳動穩定性。但由于滾柱間存在加工誤差的區別，存在相互競爭和相互干涉的關系，多滾柱嚙合比單滾柱嚙合復雜，為了簡化PRSM行程精度的計算，本文將多滾柱嚙合模型簡化為單滾柱嚙合模型。圖4a為含單根滾柱的標準式PRSM運動示意圖，絲杠只存在繞軸線回轉的自由度；螺母只存在沿絲杠軸線方向直線運動的自由度；滾柱同時存在繞自身軸線自轉與繞絲杠公轉的自由度。其中，A點為滾柱起始位置，E點為絲杠自轉角度θ后該滾柱的終點位置；dN、dR、dS分別是螺母、滾柱、絲杠的傳動節圓直徑，稱為名義直徑或者螺紋中徑，dP是滾柱公轉軌跡直徑；ωS是絲杠旋轉角速度，ωR是滾柱繞自身軸線自轉的角速度，ωP是滾柱公轉的角速度。

(a)絲杠-滾柱運動示意圖

滾柱和螺母螺紋螺旋升角相同，不存在相對位移的情況，其間接觸為純滾動。無外部限位情況下，螺母具有沿絲杠軸向移動及周向轉動兩自由度，但通常情況下會采用限位裝置限制螺母周向自由度，使其直接用于直線推力的傳遞。標準型PRSM滾柱自轉角速度與公轉角速度之比為一常值[13]，其值決定于絲杠與滾柱螺紋名義中徑比km：

km=dS/dR

(4)

如圖4b所示，定義θRP為滾柱公轉角度，θRR為滾柱自轉角度，θRS為滾柱相對絲杠的公轉角度，定義順時針旋轉θ為正，逆時針為負，則

(5)

θRR=θRP(km+2)

(6)

θRS=θS-θRP

(7)

基于PRSM運動學原理，定義ΔXR為滾柱螺紋同軸度誤差的一半，即由滾柱螺紋同軸度引起的螺紋嚙合位置的徑向偏差。由滾柱螺紋同軸度引起的滾柱絲杠嚙合處行程誤差SRep可表示為

(8)

φRR=-(θRR+π)

式中，φRR為滾柱在其與絲杠嚙合處相對于同軸度偏心方向的夾角；rS、rR、rN分別為絲杠、滾柱、螺母的名義半徑，即螺紋中徑的一半。

同理，由滾柱螺紋同軸度引起的滾柱螺母嚙合處行程誤差NRep可表示為

(9)

φRN=-θRR

式中，φRN為滾柱與螺母嚙合處相對于同軸度偏差方向的角度。

同理，可以推導得到相對轉角θRS下絲杠螺紋同軸度引起的絲杠滾柱嚙合處行程誤差Sep：

(10)

式中，ΔXS為絲杠螺紋同軸度誤差的一半，即由絲杠螺紋同軸度引起的螺紋嚙合位置的徑向偏差。

滾柱公轉角度θRP下螺母同軸度誤差引起的螺母滾柱嚙合處行程誤差Nep可表示為

(11)

式中，ΔXN為螺母螺紋同軸度誤差的一半，即由螺母螺紋同軸度引起的螺紋嚙合位置的徑向偏差。

聯立式(8)～式(11)得到絲杠、滾柱、螺母三者螺紋同軸度誤差導致的行程誤差：

eP=Sep+SRep+NRep+Nep

(12)

標準型PRSM工作時，滾柱與螺母之間不存在相對軸向位移，滾柱-螺母側螺距誤差造成的行程誤差直接取決于螺母與滾柱各自最大單牙螺距誤差；滾柱與絲杠之間存在軸向位移，滾柱-絲杠側螺距誤差造成的行程誤差取決于滾柱最大單牙螺距誤差以及該行程下絲杠累積螺距誤差。

由螺距誤差引起的行程誤差為

(13)

式中，EPN為螺母最大單牙螺距誤差；EPR為滾柱最大單牙螺距誤差；EPST為絲杠累積螺距誤差；Kp為單牙螺距誤差與累積螺距誤差之比，在300 mm螺紋全長上5頭螺紋的Kp取值范圍通常為2～3，根據實際加工經驗，取Kp=23/8。

實際檢測過程中，中徑測量誤差為綜合誤差，反映了牙型角誤差、螺距誤差、中徑誤差的累積，單獨的中徑誤差僅僅反映了未嚙合前PRSM內部的初始間隙，對嚙合后傳動精度幾乎不會造成影響，因此在行程誤差模型中暫時不予考慮，而是在軸向間隙模型中予以考量。

聯立式(12)、式(13)，得到總行程誤差目標函數：

EP=Sep+SRep+NRep+Nep+EPt

(14)

由式(12)，絲杠、滾柱、螺母螺紋同軸度誤差引起的行程誤差為單向螺紋牙嚙合狀況下的誤差，即螺紋同軸度誤差引起軸向間隙的變化量2倍于行程誤差變化量。根據螺紋同軸度誤差定義，軸向間隙值將隨著誤差值的增大而減小。根據螺紋中徑誤差定義，軸向間隙隨著絲杠與滾柱中徑誤差的增大而減少，隨著螺母中徑誤差的增大而增大。就螺距誤差而言，其值將1∶1反映到引起的軸向間隙變化量，即螺距誤差值為軸向間隙值。軸向間隙數學模型如下：

Sa=-2eP-ΔS-2ΔR+ΔN+EPN+2EPR+EPS

(15)

式中，Sa為軸向間隙；ΔS為絲杠中徑誤差的一半；ΔR為滾柱中徑誤差的一半；ΔN為螺母中徑誤差的一半。

為驗證所建的PRSM行程精度及軸向間隙模型的正確性，將本文方法與文獻[11]提出的基于矩陣坐標變換方法建立的PRSM傳動誤差模型進行對比。采用與表1相同的PRSM參數，并取相同的絲杠、滾柱、螺母螺紋同軸度、螺距及中徑誤差，采用上述兩種方法對絲杠旋轉一定角度下的行程精度進行計算，結果如圖5所示，可以看出兩者計算得到的行程誤差偏差在0.5%以內，初步驗證了本文建立的行程精度模型的正確性。

表1 PRSM結構參數

圖5 PRSM行程誤差模型對比驗證

采用圖6a所示的行星滾柱絲杠空載傳動精度試驗臺，對表1所示結構參數的PRSM進行空載傳動精度測試，測試有效行程長度為80 mm。PRSM行程精度試驗結果和模型預測值對比如圖6b所示，行程精度預測模型中采用各關鍵零件實測加工誤差作為輸入。經對比，PRSM行程精度模型預測結果和行程精度試驗結果的有效行程變動量Vu分別為12.2 μm、15.28 μm，預測值與實際值誤差為20.16%，考慮到試驗過程中隨機誤差的影響，誤差在接受范圍內，驗證了多滾柱嚙合模型簡化為單滾柱嚙合模型的可行性和所建PRSM行程精度模型的正確性。

(a)空載傳動精度試驗臺

2 PRSM關鍵公差分配方法

PRSM公差的合理分配主要取決于兩方面[8]：①設計參數誤差對行程精度的敏感度。敏感度反映設計參數誤差對行程誤差影響程度，敏感度越大，影響程度越大，公差分配時許用誤差越小，加工控制越嚴格。②設計參數加工難易度。不同零件即使相同精度等級其加工難易度亦不相同，需對加工難度更大的設計參數分配較大的公差值寬度，以提高加工成品合格率。

基于所建的PRSM行程誤差與軸向間隙模型，開展行程誤差與軸向間隙誤差敏感性分析，提出一種基于參數靈敏度分析及加工難易度綜合權系數的PRSM關鍵公差分配方法，分配目標精度等級下行程誤差至各設計參數公差，實現零件公差的初步分配，技術路線如圖7所示。通過建立行程誤差數學模型與軸向間隙數學模型，對關鍵公差進行敏感性權系數求解，同時基于三角模糊數的專家評判層次分析法求解各公差加工難易度權系數。綜合加工難易度權系數與敏感性權系數，對各公差許用行程誤差進行分配，若校驗公差分配結果得到的行程誤差值符合要求，則基于序列二次規劃算法以軸向間隙對公差進行優化。最后通過優化前后行程誤差與軸向間隙結果比對驗證公差分配優化模型的正確性。

圖7 公差分配優化流程圖

2.1 行程誤差敏感性分析

為建立關鍵零件公差與PRSM行程誤差的關聯關系，需對上述模型涉及到的螺距公差、中徑公差、螺紋同軸度公差進行敏感性分析，以滿足基于行程精度與軸向間隙對公差進行主動設計的需求。

精密傳動行程精度的影響誤差大致分為三類：周期性系統誤差、隨機誤差、非周期性系統誤差。就PRSM而言，其行程精度的周期性誤差主要由絲杠、滾柱、螺母螺紋同軸度原始誤差引起，而非周期性誤差則由絲杠、滾柱、螺母中徑誤差及螺距誤差引起。隨機誤差是溫度、濕度、環境因素引起的，本文暫未考慮。

設PRSM各誤差因素x=(x1,x2,…,xk)為設計變量，令Δθ(x)=f(x)，則目標函數對設計變量的靈敏度為[14]

基于第2節各關鍵誤差因素對行程誤差關系模型與上述敏感性計算公式，對PRSM中各誤差因素的敏感性指數進行計算，結果如圖8所示。可以看出，所有誤差因素與行程誤差均為正相關，其敏感性指數從大到小依次為：絲杠螺距(2.8750)、滾柱螺距(1.0000)、螺母螺距(1.0000)、絲杠螺紋同軸度(0.9800)、螺母螺紋同軸度(0.4750)、滾柱螺紋同軸度(0.0585)。滾柱同軸度敏感性指數小于0.1[14]，故不需考慮滾柱同軸度誤差。

圖8 行程誤差敏感性指數直方圖

2.2 軸向間隙敏感性分析

PRSM軸向間隙反映了運動過程中各構件相對位置關系，軸向間隙與行程精度呈負相關，為同軸度誤差、螺距誤差與中徑誤差共同作用結果。因此，需對軸向間隙進行敏感性分析以滿足正常裝配需求，實現PRSM軸向間隙主動設計，避免因干涉產生的裝配誤差對裝配體傳動性能的影響。

如前所述，因中徑誤差對行程精度無直接影響，但對軸向間隙有顯著影響，因此，本文基于靈敏度計算公式，對中徑誤差ΔS、ΔR、ΔN進行軸向間隙敏感性分析，得到敏感性指數從大到小依次為：滾柱中徑誤差(-4)、絲杠中徑誤差(-2)、螺母中徑誤差(2)，其中絲杠與滾柱中徑誤差與軸向間隙為負相關，由于螺母為內螺紋，故其中徑誤差與軸向間隙為正相關。

2.3 關鍵零件加工難易度評估

為了評估PRSM關鍵零件加工難易度，本文采用Delphi法，由專家對在上層準則影響下同一層次的指標進行兩兩重要性比較，并利用三角模糊數構造模糊判斷矩陣[15]。所構造的模糊判斷矩陣中[l,m,u]取值依據1-9標度法[16]，見表2，在三角模糊數中，中值m為專家給出的兩指標相對重要程度。模糊評判區間下界l和上界u可根據專家對判斷的模糊程度加以確定，u-l越大，表示專家的判斷越模糊，u-l越小，表示專家的判斷越清楚。當u-l=0時判斷是明確的，這時，

表2 1-9標度法及其含義[16]

u=m=l與一般意義下的判斷標度值相同。

通過專家評審，得到PRSM設計參數加工難易模糊矩陣，見表3。其中，Z1為絲杠螺紋同軸度；Z2為滾柱同軸度；Z3為螺母螺紋同軸度；Z4為螺母螺距；Z5為滾柱螺距；Z6為絲杠螺距。

表3 PRSM設計參數加工難易度模糊判斷矩陣

對判斷矩陣構造模糊評價因子矩陣E，計算公式如下：

式中，sij為標準差率，反映專家評判的模糊程度，其值越大，模糊程度越大，反之亦然。

調整判斷矩陣Q可表示為

式中，矩陣M為判斷矩陣中所有三角模糊數中值mij組成的矩陣。

將調整判斷矩陣Q按列轉換為對角線為1的判斷矩陣，記為判斷矩陣P，則P=(Pij)n×n，且滿足Pij=1/Pji。

用相容矩陣分析法對矩陣P進行變換，得相容矩陣R=(rij)n×n，R滿足一致性條件rij=rikrkj(i,k=1,2,…,n)，且rii=1，rij=1/rji。rij按下式進行計算

計算評估指標的權重ωi：

對表3進行計算分析，得到各誤差參數加工權重系數，見表4。結果表明，加工權重系數最大的為絲杠螺距公差(0.9987)，螺母螺紋同軸度(0.1214)加工權重系數次之。相對而言，絲杠螺紋同軸度和螺母、滾柱、絲杠螺距的加工權重系數非常小。這主要是由于PRSM絲杠螺紋長度遠長于螺母、滾柱螺紋，且通常為多頭螺紋，其加工精度只能依靠加工機床本身精度保證，故加工難度遠遠大于其他尺寸公差、形位公差。同理，螺母與絲杠同為多頭螺紋，但螺紋長度短于絲杠，而滾柱為單頭螺紋，螺紋長度略短于螺母螺紋長度。與此同時，螺紋同軸度誤差可通過對裝夾裝置的重新設計以及加工工藝的優化得到改善，因此它作為可人為控制的誤差因素，加工權重低于螺距誤差因素。由表4得到的不同誤差參數加工權重系數排序與基于實際加工經驗與理論得到的排序結果一致，初步驗證了加工權重的正確性。

表4 誤差參數加工權重系數

2.4 關鍵公差綜合分配權重

基于PRSM行程精度和軸向間隙參數靈敏度分析以及計算得到的加工難易度綜合權系數，采用PRSM關鍵公差綜合分配權重計算方法，將目標精度等級下行程誤差分配至各設計參數公差。

考慮到加工難易度極端值的不利影響，本文采用平方平均數作為敏感性指數及加工難易度綜合后的權系數的計算方法，使其結果較為穩定合理。建立的各參數權重表達式為

(16)

其中，ωβi為第i個誤差參數的加工難易度權系數;ωαi為第i個誤差參數的敏感性權系數，可表示為[17]

(17)

式中，Si為誤差參數的敏感性指數，參數敏感性指數越高，相應敏感性權系數越小，進而許用行程誤差越小。

采用式(16)、式(17)由絲杠、滾柱、螺母螺紋同軸度以及絲杠、滾柱、螺母螺距誤差因素敏感性指數計算得到的敏感權系數見表5。

表5 敏感性計算結果

將行程誤差按照權重系數分配給各關鍵公差：

epi=ωiep0

(18)

式中，epi為各關鍵公差分配得到的行程誤差；ep0為總行程許用誤差。

由誤差敏感性權系數及零件加工難易度權系數，經式(18)計算得到的PRSM關鍵公差分配權重見表6。

表6 關鍵公差分配權重

基于計算得到的分配權重，根據行業標準JBT12604—2016對行程精度的定義，對PRSM 5級精度下300 mm行程變動量V300進行誤差分配，代入式(14)對分配后的行程誤差進行求解，得到的各關鍵公差分配比例與公差帶寬度見表7。

表7 關鍵公差分配結果

綜合表5～表7得到PRSM公差設計結果，見表8。

表8 PRSM關鍵公差設計結果

3 PRSM關鍵公差優化方法

PRSM運行過程中其軸向間隙隨絲杠自轉發生周期性變化，當完整周期中軸向間隙最小值為負時，發生螺紋副干涉現象，影響運動穩定性、精度保持性和服役壽命。由第2節，因中徑誤差對行程精度無直接影響，但對軸向間隙有顯著影響，因此設計時以PRSM運行完整周期內避免干涉為優化目標，即minF(xi,xj)=0，優化中徑公差上下限，確保公差帶范圍PRSM正常運轉。

基于表8公差分配結果，對PRSM絲杠、滾柱、螺母中徑公差進行優化，以滿足行程誤差要求的同時滿足軸向間隙要求。

3.1 目標函數及約束條件

以式(15)作為行星滾柱絲杠軸向間隙目標函數，以滾柱、絲杠、螺母中徑誤差精度等級作為約束條件：

式中，xi,i=1,3,5、xj,j=2,4,6分別為絲杠、滾柱、螺母中徑的上極限偏差值與下極限偏差值；Δyi,i=1,3,5、Δyj,j=2,4,6分別為絲杠、滾柱、螺母中徑上極限偏差值與下極限偏差值初始取值的幅值，其值取決于實際加工設備提供的一般水平加工精度條件；a、b分別為不同加工精度等級中徑公差帶寬度下限與上限，可查詢GB/T 1800.1—2009標準得到[18]。

本文選擇IT6級精度作為尺寸公差帶，根據尺寸精度等級，得到絲杠中徑誤差的約束條件為

滾柱中徑的約束條件為

螺母中徑的約束條件為

3.2 優化實例

本節以標準型PRSM為例，結構參數見表1。根據第2節建立的軸向間隙數學模型和3.1節建立的約束條件構造適應度函數如下：

minF(xi,xj)=-2EP-ΔS(xi,xj)-

2ΔR(xi,xj)+ΔN(xi,xj)+EPN+2EPR+EPS

基于2.4節公差分配結果，考慮PRSM中徑優化為非線性優化問題，采用收斂性好、計算效率高、邊界搜索能力強的序列二次規劃算法(sequential quadratic planning，SQP)對絲杠、滾柱、螺母中徑施加3.1節建立的約束條件，并利用MATLAB中SQP算法對軸向間隙適應度函數進行計算，得到規定加工精度等級下絲杠、滾柱、螺母中徑的最優解，見表9。設計參數的對比見圖9。

表9 公差分配優化結果

圖9 設計參數對比

優化后PRSM行程精度隨絲杠轉角變化的關系圖如圖10a所示，軸向間隙隨絲杠轉角變化的關系如圖10b所示。關鍵公差的公差帶寬度與優化前相比平均擴大65%，優化后各公差參數上下偏差及公差帶寬度分配更為合理，實現了PRSM關鍵零件加工精度IT6-7級標準公差精度等級下，行星滾柱絲杠V300滿足5級行程精度指標，即300 mm行程變動量控制在23 μm以內。同時，經優化后完整周期內軸向間隙最小值由-25 μm變為0，有效避免了螺紋干涉。本文方法極好地平衡了行程精度與軸向間隙，可有效避免局部公差參數設計不合理導致加工難度過大的問題，提高了零件加工可行性、經濟性，可為PRSM的理論設計與工程加工提供支撐。

(a)優化前后行程精度

4 結語

(1)絲杠、滾柱、螺母螺紋同軸度誤差和螺距誤差與行程誤差均為正相關，其中敏感性系數最大為絲杠螺距誤差，其次為滾柱、螺母螺距誤差、螺母螺紋同軸度誤差且三者較為接近。絲杠、滾柱中徑誤差與軸向間隙為負相關，螺母中徑誤差與軸向間隙為正相關，其中敏感性系數最大為滾柱中徑誤差，其次為絲杠中徑誤差、螺母中徑誤差且兩者相等。

(2)基于三角模糊數的專家評判層次分析法求解零件加工難易度權系數，獲得各公差加工難易度大小關系。加工權重系數最大的為絲杠螺距公差，螺母螺紋同軸度加工權重系數次之。

(3)算例表明，經優化后在保證V300 5級精度的前提下，對各關鍵公差進行了放寬，公差帶寬度平均增加65%，提高了關鍵零部件的加工可行性、加工合格率和經濟性；同時優化后完整周期內軸向間隙最小值由-25 μm變為0，避免了極端情況下因螺紋嚙合干涉導致的無法正常運轉。