圓柱齒輪滾切倒棱刀具設計

何 坤 何曉虎 杜彥斌

重慶工商大學制造裝備機構設計與控制重慶市重點實驗室，重慶，400067

0 引言

圓柱齒輪因其結構緊湊、承載能力強、傳動比穩定，在高速重載場合廣泛使用[1]。為了提高傳動精度，延長使用壽命，倒棱是常用工藝手段，經過倒棱的圓柱齒輪可以避免因磕碰產生毛刺，同時可減小齒輪噪聲[2]。目前采用的工藝類型主要有磨棱法和擠棱法[3]。磨棱法采用磨削方式進行倒棱，存在加工效率低、磨棱形狀難以控制等問題；擠棱法采用擠棱刀與待加工齒輪做無側隙嚙合運動，對齒輪整個齒廓進行完整均勻地倒棱，但倒棱過程中會產生大量飛邊，刀具設計也較為復雜。

隨著對加工齒輪性能要求的日益提高，倒棱原理研究和倒棱刀具開發顯得愈發重要。為此，國內外學者進行了大量的研究。韓偉娜等[4]基于半滾切法加工原理對螺旋錐齒輪副大輪齒頂線進行倒角加工研究，通過銑刀盤按照擺線進行間歇分度，從而對錐齒輪副大輪外錐面的內外齒頂線依次進行倒棱加工。李佳等[5]提出一種旋分倒棱加工方法，并驗證了對螺旋錐齒輪齒頂倒棱加工的可行性。卞博等[6]提出基于錐形刀具的螺旋錐齒輪倒棱加工方法，提高了倒棱精度。WANG等[7]設計了錐形砂輪的倒棱結構，研究了砂輪結構尺寸和安裝位置對錐面砂頭結構的影響。HU等[8]介紹了一種雙刃倒棱的機器人齒輪倒棱新方法，通過設計齒輪倒棱軌跡，同時對兩個相鄰輪齒的兩側進行倒棱。

目前螺旋錐齒輪的倒棱是研究熱點，普遍采用盤形刀具間接分度逐一切削倒角進行倒棱加工，以螺旋錐齒輪為研究對象的倒棱刀具不適用于圓柱齒輪的倒棱加工[9-12]。國外已有公司將倒棱刀具與滾刀設計在同一主軸上，實現了滾齒工藝與倒棱工藝的復合，省去了專用倒棱機設備投入，但目前該技術對國內實行技術封鎖，國內用戶可定制專用倒棱刀具，但價格昂貴且定制周期長。為解決圓柱齒輪的高效齒廓倒棱需求，本文提出了滾切倒棱刀具前刀面廓形計算方法，為形成齒輪高效的“粗滾-倒棱-精滾”復合加工工藝提供理論基礎。

1 滾切倒棱運動

1.1 倒棱參數及運動分析

區別于傳統齒廓倒棱的磨棱法和擠棱法，本文研究刀具連續切削倒棱新方法。結合圓柱齒輪滾齒加工運動(圖1)及端面齒廓倒棱需求，將刀具設計為單片多頭的滾切倒棱刀具，刀具的齒數為滾刀的頭數。刀具(隨B軸轉動)與齒輪(隨C軸轉動)通過連續滾切運動進行倒棱，利用刀具的前刀面刃形完成對齒輪端面廓形的倒棱。區別于齒面的滾齒展成包絡原理，倒棱刀具廓形與齒輪倒棱目標廓形在每一個瞬時均為點接觸，兩個廓形不再是共軛齒廓，隨著刀具與齒輪的連續滾切運動，左右齒廓的接觸點非對稱布置。

圖1 圓柱齒輪滾齒運動

為避免刮傷齒面，利用圖1中的x、y、z軸調整刀具的安裝位置，利用A軸調整刀具的安裝姿態。加工時刀具連續轉動，齒輪連續分度，具有加工過程連續、精度高和效率高等優點[13]。

對倒棱效果的評價主要通過倒棱參數(倒棱厚度a、倒棱寬度b、倒棱角度c)來衡量(圖2)，倒棱參數與齒輪的參數及刀具的安裝參數密切相關。對于圓柱直齒輪，全齒廓倒棱角度一致，而圓柱斜齒輪則不同，因此，只在齒根圓處測量倒棱角度。在倒棱后的齒輪左右端面齒廓上對稱選取一系列位置點作為倒棱效果評價點，通過對比倒棱效果評價點的倒棱參數大小，研究左右齒廓倒棱效果評價點的對稱性及全齒廓倒棱效果評價點的一致性，分析滾切倒棱的效果。

圖2 倒棱參數

1.2 刀具安裝位姿

齒廓倒棱不同于齒面加工，為避免在倒棱過程中刮傷齒面，需調整刀具的安裝位置及安裝姿態。刀具的初始安裝位置參數包括中心高度h1、中心距p和初始傾角φs(圖3)，其中，中心高度h1為刀具幾何中心在z軸方向上與齒輪上端面的高度差，初始傾角φs與倒棱角度c互為余角，而在x軸方向上的中心距p與倒棱厚度a、倒棱角度c(初始傾角φs)及中心高度h1有關，即

圖3 刀具初始安裝位置

(1)

式中，hf為齒輪齒根圓直徑。

根據刀具與圓柱齒輪的空間幾何關系建立刀具安裝位姿的坐標系(圖4)，其中，刀具安裝位姿包括安裝姿態(安裝角度β)和安裝位置(安裝高度h、中心距p、偏心距w)。建立參考坐標系omxmymzm和o1x1y1z1，均為靜坐標系。其中，zm軸與齒輪軸線重合，原點在齒輪上端面圓心；z1軸與刀具軸線重合，原點在坐標系omxmymzm的omymzm平面上；o為刀具幾何中心。

圖4 刀具安裝位姿坐標系

根據倒棱參數與建立的安裝位姿坐標系，計算刀具安裝位姿參數。以刀具螺旋升角確定刀具的安裝角，刀具的螺旋升角與刀具參數相關，即

sinβL=mnzt/dt

(2)

其中，βL為刀具螺旋升角；mn為圓柱齒輪法面模數；zt為滾切倒棱刀具齒數；dt為刀具節圓直徑。刀具安裝角β為

β=βg±βL

(3)

其中，βg為齒輪螺旋角。安裝角β與刀具及被加工齒輪的螺旋線方向及螺旋角有關，當倒棱刀與齒輪的螺旋線方向相同時，式(3)中取“-”號，相反時取“+”號。倒棱過程中，刀具前刀面與齒輪上端面初次無縫隙接觸時的高度為刀具安裝高度h(即刀具幾何中心o點與齒輪靜坐標系omxmym面的距離)，即

h=h1cosβsin(π/2-β)

(4)

刀具的偏心距w為刀具幾何中心o點與齒輪靜坐標系omymzm面的距離，即

w=h1cosβcos(π/2-β)

(5)

2 刀具前刀面廓形計算方法

滾切倒棱刀具的廓形與被加工齒輪端面廓形不再是共軛齒廓，因此，不能采用基于齒輪嚙合原理的解析法求解刀具廓形。

2.1 端面齒廓

根據圓柱齒輪齒廓倒棱需求，完整倒棱齒廓包含2個部分：漸開線及齒根圓弧(圖5所示，以左齒廓為例)。

圖5 齒輪齒廓

(1)圓柱齒輪的左齒廓漸開線rL：

(6)

式中，α為展成角；rb為基圓半徑；δ為初始偏轉角。

(2)對于齒根圓弧，選定圓弧半徑rc，根據起始展角as，確定圓心在漸開線起始點處，則左廓圓弧圓心坐標(xc，yc)為

(7)

在確定圓心坐標的基礎上，建立左齒廓齒根圓弧的基本方程rcL：

(8)

由于齒輪端面齒廓的對稱布置，故右齒廓的漸開線及齒根圓弧方程不再贅述。

2.2 空間運動坐標系

根據刀具安裝位姿坐標系，建立刀具與齒輪的空間滾切運動坐標系(圖6)。

圖6 刀具與齒輪的空間滾切運動坐標系

齒輪動坐標系ogxgygzg與齒輪固連，在初始位置與齒輪靜坐標系重合；刀具動坐標系odxdydzd在初始位置與刀具靜坐標系重合并與刀具固連。連續滾切倒棱過程中，齒輪繞zm軸順時針轉動角度φg，刀具繞z1軸順時針轉動角度φd。根據圖6所示的刀具與齒輪的空間運動坐標系，推導各坐標系間的變換關系。齒輪動坐標系到齒輪靜坐標系的坐標變換矩陣Mmg為

(9)

齒輪靜坐標系到刀具靜坐標系的坐標變換矩陣M1m為

(10)

刀具靜坐標系到刀具動坐標系的坐標變換矩陣Md1為

(11)

其中，φs為刀具前刀刃與齒輪靜坐標系omxmym面的夾角。有

φg=kφd/z

(12)

式中，k為刀具齒數；z為齒輪齒數。

由此可以將齒輪端面左齒廓漸開線廓形及齒根圓弧廓形表示在齒輪靜坐標系omxmymzm中：

(13)

2.3 刀具廓形計算方法

連續齒廓倒棱過程中，齒輪繞C軸旋轉，刀具繞B軸與齒輪滾動切削并且沿平行于z軸的方向軸向進給。距離齒輪端面廓形倒棱厚度的廓形是倒棱目標廓形，刀具的前刀面與倒棱目標廓形始終為點接觸，且隨著齒輪與刀具的連續滾切運動，左右齒廓的切削點非對稱布置。求解滾切倒棱刀具廓形需要建立刀具與齒輪倒棱目標廓形的接觸點示意圖(圖7)，圖7表示齒輪端面左側齒廓的刀具廓形的求解。

圖7 刀具與齒輪的接觸點示意圖

過刀具軸心線作傾角φs的平面M，平面M為坐標系odxdydzd的xdodzd面，與坐標系omxmymzm的xmomym面相交于直線L,該直線L的方程為

ym=p-htan(φd+φs)

(14)

設直線L與倒棱目標廓形曲線相交于G點，G點為刀具前刀面與倒棱目標廓形的接觸點，根據式(13)、式(14)將齒輪端面左齒廓形方程變化為倒棱目標廓形方程，隨著刀具轉動角度φd的變化分別與式(15)聯立求解G點坐標：

(15)

將求得的G點坐標轉換到倒棱刀具動坐標系中，得到刀具轉動角度φd、齒輪轉動角度φg位置處的倒棱刀具廓形點：

(16)

(17)

將齒輪繼續旋轉角度Δθ，刀具按滾切運動關系旋轉角度Δη=zΔθ/k，得到對應齒輪轉角φg+Δθ、刀具轉角φd+Δη的接觸點G′。按照統一步長重復進行計算，連續求解刀具前刀面與倒棱目標廓形的一系列接觸點，圓滑連接各點，得到刀具左前刀面刃口曲線，完成刀具左廓形的計算。刀具右廓形坐標系間的變換及廓形點計算與左側相同。

3 仿真及實驗

3.1 切削仿真

選取圓柱斜齒輪(參數見表1)及滾切倒棱刀具(參數見表2)進行倒棱加工的切削仿真，驗證刀具前刀面廓形計算及倒棱運動的正確性[14-17]。

表1 齒輪參數

表2 刀具參數

初定滾切倒棱刀具齒數為4，在連續倒棱過程中，刀具的4齒相當于滾刀的4條螺旋線，刀具轉一圈，齒輪繞自身軸線轉過4個齒距，根據刀具與齒輪傳動比，選擇4齒可保證加工質量的均勻性，同時降低齒輪主軸轉速。確定刀具的安裝位姿(參數見表3)，其中安裝高度、中心距、偏心距和安裝角可由式(1)～式(5)分別計算得到。

表3 安裝位姿參數

根據前述刀具前刀面廓形計算方法，基于MATLAB軟件編寫程序，計算刀具前刀面廓形，結果如圖8所示。由于齒輪端面左右齒廓加工時有加工時間差且左右齒廓的接觸點非對稱布置，左右前刀面廓形不連續，故設計的刀具前刀面為了保證加工時無干涉，需將左右廓形圓滑連接，形成完整刀具廓形。

圖8 刀具前刀面廓形

基于Solidworks完成齒輪及刀具的三維建模，按照刀具安裝位姿參數配合，建立倒棱切削仿真模型(圖9)，編寫仿真運動程序，驗證倒棱運動的正確性。

圖9 倒棱切削仿真模型

倒棱切削仿真結果如圖10所示，可以看出所設計的滾切倒棱刀具可以加工形成準確的齒廓倒棱形狀。設置倒棱厚度為0.17 mm(誤差允許范圍0.01 mm內)，倒棱寬度為0.2 mm(誤差允許范圍0.01 mm內)，倒棱角度為50°(誤差允許范圍0.5°內)，在齒輪端面齒廓上選取一系列位置點作為倒棱效果評價點來分析滾切倒棱的效果。在除過渡圓弧的齒廓上選取8個位置點(圖10中序號所示)，在齒槽左右齒廓的漸開線部分和齒根圓弧部分分別選取2個評價點，測量結果見表4。分析測量結果，全齒廓倒棱厚度、倒棱寬度的最大誤差分別為0.0047 mm、0.0061 mm，齒根處倒棱角度最大誤差為0.2°，結果均在誤差允許范圍內，說明全齒廓倒棱效果的一致性較好；左右齒廓對稱位置處倒棱厚度、倒棱寬度的最大誤差分別為0.0031 mm、0.0016 mm，齒根處倒棱角度最大誤差為0.1°，結果均在誤差允許范圍內，說明左右齒廓倒棱效果的對稱性較好。

圖10 倒棱仿真結果

表4 倒棱測量結果

對比分析仿真結果的左右齒廓，由于齒輪的漸開線廓形與齒根廓形由過渡圓弧連接，過渡圓弧由于有較大的曲率變化，存在倒棱效果不均的現象(圖11)，其中倒棱寬度差異較大，后續將進一步研究該局部區域的刀具廓形優化方法。

(a)右廓

3.2 實驗驗證

為進一步驗證滾切倒棱刀具前刀面廓形設計方法的正確性和有效性，在某國產數控倒棱機上進行圓柱斜齒輪的滾切倒棱加工實驗(圖12)。

圖12 倒棱加工機床

首先輸入齒輪、滾切倒棱刀具和裝夾的數據，將所設計的刀具安裝至刀桿上；然后旋轉A軸調整刀具安裝姿態，調整后執行運動循環程序切削倒棱加工，齒輪繞C軸旋轉，刀具繞B軸與齒輪滾動切削并且沿平行于z軸的方向軸向進給。倒棱加工實驗結果如圖13a、圖13b所示；利用超景深三維顯微系統對倒棱目標廓形進行觀測和測量，如圖13c、圖13d所示，分別表示倒棱后的齒輪右廓及左廓，倒棱齒廓光滑平整，均勻無振痕，同時左右齒廓倒棱量除過渡圓弧處大小基本一致。與圖10所示仿真結果對比分析，考慮加工及測量誤差，實際測得的齒廓倒棱誤差均在0.02 mm以內，驗證了刀具前刀面廓形計算方法及倒棱仿真的有效性。

(a)倒棱后的齒輪 (b)倒棱局部圖

4 結論

(1)本文設計的滾切倒棱刀具可以滿足圓柱齒輪的高速齒廓倒棱需求，為齒輪高效的復合加工工藝提供理論基礎。

(2)參考圓柱齒輪滾齒加工運動，提出了連續切削的滾切倒棱新方法。

(3)完成了滾切倒棱刀具的安裝位姿參數計算，提出了刀具前刀面廓形計算方法。

(4)選取某型號圓柱斜齒輪和設計的滾切倒棱刀具進行切削仿真及加工實驗，仿真分析結果表明，齒廓倒棱效果的對稱性及一致性較好，驗證了計算方法的正確性；進一步完成了倒棱加工實驗，驗證了刀具設計方法及仿真方法的有效性。