基于修正Preston方程的百頁輪拋光材料去除深度建模

張軍鋒 史耀耀 藺小軍 吳曉君

1.西安建筑科技大學機電工程學院，西安，710055 2.西北工業大學航空發動機高性能制造工業和信息化部重點實驗室，西安，710072

0 引言

百頁輪數控柔性拋光是整體葉盤等復雜曲面構件去除加工殘留刀痕并提高表面質量的重要工藝方法之一。使用百頁輪進行拋光時，百頁輪的彈性變形使實際材料去除深度與名義拋光深度不一致，因此，為了提高拋光精度和拋光效率，建立工藝參數與材料去除深度之間的預測模型十分必要。目前關于百頁輪數控柔性拋光工藝的研究主要集中在表面完整性和拋光力控制等方面[1-7]，而關于材料去除深度的研究報道較少。

WU等[8]在分析轉速和拋光力的基礎上建立了機器人砂帶拋光材料去除率預測模型，并通過拋光工藝實驗驗證了模型的有效性和精確性。WANG等[9]基于統計理論建立了接觸力學模型，通過對單位軌跡長度材料去除體積沿拋光軌跡積分的方法得到了材料去除深度模型，并通過仿真分析和拋光實驗驗證了模型的正確性。WANG等[10]基于Hertz彈性接觸理論建立了砂帶拋光中非線性的材料去除輪廓模型，并通過葉片砂帶拋光實驗驗證了該模型的正確性。FENG等[11]提出了一種基于加工中心的曲面金屬零件自動拋光方法，并在拋光盤位移與接觸作用力關系的基礎上，根據Archard摩擦學方程和具體工藝參數導出接觸區域內平面和曲面拋光的壓力分布模型，并通過拋光實驗進行了驗證。SONG 等[12]基于氣囊拋光壓力分布和拋光接觸區速度分布分析，依據Preston方程建立了半經驗的材料去除模型，最后通過拋光實驗驗證了所建模型的正確性。JIN等[13]基于接觸力學、磨損理論和Preston方程，建立了氣囊拋光材料去除模型。

母焰[14]以Preston方程和Hertz接觸理論為理論基礎，建立了砂帶磨拋工件時材料去除廓形和最大材料去除深度與工藝參數的數學表達式，并通過實驗確定了Preston系數。張雷等[15]基于Hertz和Archard摩擦學方程推導了表面去除廓形的理論方程，并通過仿真和試驗結果揭示了拋光表面去除的規律。王清輝等[16]在確定柔性盤與表面的接觸狀態和接觸區壓力分布規律的基礎上，依據Preston方程建立了材料去除模型，并通過模擬仿真和拋光實驗驗證了該方法的可行性。吳昌林等[17]基于磨粒出刃高度服從高斯分布、拋光工具和工件的名義接觸壓力服從橢圓赫茲分布、磨粒和工件間的實際接觸壓力與名義接觸壓力存在近似比例關系等假設，驗證了沿拋光軌跡在拋光點處的材料去除深度模型。樊文剛等[18]基于彈性赫茲接觸理論、磨粒出刃高度分布統計學模型與單顆磨粒微觀受力分析，獲得了單位面積打磨壓力與磨粒最大切入深度的關系，在此基礎上綜合打磨參數等多項參數，建立了鋼軌砂帶打磨材料去除深度數學模型和材料去除量數學模型。

由于百頁輪柔性拋光的工藝特點，故建立準確的百頁輪柔性拋光材料去除深度模型非常必要。本文根據百頁輪結構特點，以曲面試件百頁輪拋光為例，基于Preston方程建立百頁輪柔性拋光材料去除深度模型，確定影響拋光材料去除深度的關鍵工藝參數并分析其對材料去除深度的影響，并進行了模擬仿真和拋光實驗驗證。

1 百頁輪柔性拋光原理

百頁輪是將一定數量、緊密排列且與中心軸線成一定夾角的砂帶頁片通過樹脂膠粘接在塑料芯軸上而形成的一種涂附磨具[19]，如圖1所示。百頁輪的最大特點是具有良好的柔性變形能力，其柔性來源主要有兩個：①初始狀態的砂帶頁片緊密排列，高速旋轉的砂帶頁片在離心力Fn的作用下會沿徑向逐漸伸展，拋光過程在拋光力作用下產生的彈性變形δ，這是百頁輪柔性的主要來源；②砂帶頁片主要由基材、磨料和粘接劑三要素組成，其中，基材的柔軟性比較好且粘接劑(底膠、復膠)也具有一定彈性。

圖1 百頁輪結構

百頁輪數控柔性拋光具有可達性好、精度高和通用性強等特點，特別適用于航空發動機整體葉盤等開敞性差、易干涉的復雜曲面的拋光。百頁輪的彈性變形可實現與工件型面的有效接觸(圖2)，避免過拋或欠拋；同時彈性變形的緩沖作用可有效減小或避免拋光過程中拋光力變化及加工振動對拋光表面質量的影響，從而提高拋光后工件的表面質量。

圖2 百頁輪與曲面的柔性接觸

百頁輪直徑有多種尺寸可選，外形可根據實際需要進行修整，如球形和腰鼓形等，而且可定做，選用適當的拋光軌跡即可有效避免加工干涉。此外，百頁輪拋光具有冷態拋光的特點，除了兼具砂帶冷態磨削特點外，高速旋轉百頁輪的風扇效應可進一步降低拋光溫度，從而避免工件燒傷。

2 百頁輪拋光材料去除深度模型

2.1 修正Preston方程

Preston方程是廣泛應用于磨削、研拋和拋光等加工的經驗公式[20]，即

h=dH(x)/dt=kPp(x)vr(x)

(1)

式中，h為材料去除深度；kP為Preston系數，與磨料類型(粒度、形狀和硬度)、加工工件材料性能等有關；p為拋光壓力；vr為百頁輪與工件的相對運動速度。

由于Preston方程是基于理想狀態的方程，利用其進行百頁輪拋光材料去除機理分析時，要求能對拋光接觸區各接觸點的壓力值及速度值進行精確控制。然而，拋光過程中百頁輪的彈性變形使接觸區各接觸點壓力和速度的精確控制難以實現。因此，傳統的Preston方程很難準確地描述百頁輪拋光的材料去除情況。為得到更為準確的百頁輪拋光材料去除深度模型，本文引入由磨粒和工件的硬度特性修正的Preston系數KP進行材料去除深度模型的研究[21]。磨粒粒徑均值和粒度號一一對應且成反比關系，由此可得

(2)

式中，D(S)為由磨粒粒度S決定的系數；Hp為磨粒硬度；Hf為工件硬度。

設在dt時間內，百頁輪沿著拋光軌跡方向運動的長度為dl，由此可得

dt=dl/vw

(3)

式中，vw為進給速度。

聯立式(1)～式(3)可得百頁輪拋光的材料去除深度h的表達式：

(4)

由式(4)可知，為了求解拋光材料去除深度，需知道接觸作用點的拋光壓力和相對運動速度分布函數。本文以凸曲面百頁輪拋光為例進行材料去除深度模型研究。為方便分析，做如下假設：

(1)由于百頁輪磨粒硬度大于工件的硬度，故忽略磨粒磨損對拋光過程的影響；

(2)由于百頁輪彈性較好，僅考慮百頁輪的彈性變形，故忽略工件變形對拋光過程的影響；

(3)由于拋光過程環境為室溫且為干式拋光，故忽略加工環境溫度和濕度等因素的影響。

2.2 材料去除深度模型

根據Hertz彈性接觸理論[22]，百頁輪和工件的接觸觸區域為橢圓，如圖3所示,其中，Y向(百頁輪軸向)為拋光軌跡方向，本文以XOZ平面內材料的材料去除深度為例進行材料去除深度模型研究。由圖3可知，百頁輪變形量沿著X向(接觸寬度方向)對稱分布，對稱軸為Z軸，接觸區中心變形量最大，兩側變形量最小。設點M(x,z)為百頁輪與工件接觸寬度弧線上的任意一點，則點M處的拋光壓力為

圖3 百頁輪變形量與相對運動速度示意圖

(5)

式中，εx為點M處百頁輪的相對變形量；δx為M處百頁輪的絕對變形量；E為百頁輪的彈性模量；R為百頁輪半徑。

由圖3中幾何關系可知，δx的表達式為

(6)

式中，ae、be分別為百頁輪和工件接觸橢圓的長半軸和短半軸；R1為工件的u向曲率半徑；R′1為工件的v向曲率半徑(圖3中未畫出)；L為接觸點處百頁輪中心與工件曲率中心的距離。

將式(6)代入式(5)可得拋光壓力分布：

(7)

相對運動速度vr為線速度vs和進給速度vw的矢量和。圖3所示情況下vr=vs，若進給方向和線速度不一致，由于vw?vs，則vr≈vs。根據圖3中幾何關系，M點的速度方程為

(8)

將式(7)和式(8)代入式(4)可得接觸區的材料去除深度的分布函數：

(9)

由式(9)可知，在單條拋光軌跡上，百頁輪和工件接觸區內的材料去除深度并非常值，而是關于x的一個函數，對接觸區內每一點的材料去除深度都進行研究，工作量太大且沒有必要。為方便研究，本文將接觸區內材料所有點中材料去除深度的最大值稱作百頁輪柔性拋光的材料去除深度，即令式(9)中x=0，由此可得

(10)

由式(10)可知，百頁輪拋光材料去除深度的影響因素主要有：磨粒的硬度和大小、工件硬度、百頁輪的彈性模量和變形量、主軸轉速、進給速度、百頁輪半徑等。由于磨粒和工件的硬度、百頁輪的彈性模量和半徑在拋光開始前就已確定，故本文將磨粒粒度S、主軸轉速n、百頁輪變形量δmax和進給速度vw作為影響百頁輪柔性拋光材料去除深度的關鍵工藝參數，研究其對材料去除深度的影響規律。

3 模型和驗證

3.1 材料去除深度分布

材料去除深度分布以柱面百頁輪拋光為例進行說明如圖4a所示，此時圖3中工件曲率半徑：R1=∞，R′1=18 mm。使用MarSurf XR 20表面輪廓測試儀檢測拋光前后工件輪廓，如圖4b所示。拋光實驗分兩組進行，其工藝參數組合分別為：1號實驗中S=180，n=6000 r/min，δmax=0.3 mm，vw=100 mm/min；2號實驗中S=240，n=9000 r/min，δmax=0.5 mm，vw=100 mm/min。仿真參數如下：E=30 MPa，R=6 mm；磨粒為棕剛玉，工件材料為GH4169，Hp=20 GPa，Hf=3.31 GPa。仿真結果與實驗結果的對比如圖5所示。

(a)1號實驗

由圖5可知，材料去除深度分布的實驗和仿真結果均表明，接觸區內的材料去除深度分布曲線近似為一個開口朝上的拋物面，即接觸區中心的材料去除深度最大，而接觸區邊緣的材料去除深度最小。再者，材料去除深度分布曲線的實驗值略大于仿真值，考慮到百頁輪及工件型面誤差、測量誤差等的影響，可認為本文所建百頁輪柔性拋光材料去除深度模型與實際有較好的一致性，驗證了所建模型的正確性和可靠性。

3.2 工藝參數對材料去除深度的影響規律

拋光工藝參數對材料去除深度影響的單因素工藝實驗在平面試件上進行，此時R1=R′1=∞，仍選用棕剛玉磨粒的百頁輪，工件材料亦為GH4169。依據式(10)進行仿真(令R1=∞即可)，仿真參數同前，實驗和仿真結果如圖6所示,工藝參數取值如下：圖6a中n=6000 r/min，δmax=0.5 mm，vw=400 mm/min；圖6b中S=180，δmax=0.5 mm，vw=400 mm/min；圖6c中S=180，n=6000 r/min，vw=400 mm/min，圖6d中S=180，n=6000 r/min，δmax=0.5 mm。

(a)磨粒粒度

由圖6a可知，材料去除深度隨磨粒粒度的增大而減小，但減小趨勢逐漸趨緩，原因在于：磨粒粒度越大，磨粒顆粒越小，從而材料的去除能力越弱。由圖6b可知，材料去除深度隨主軸轉速的增大而呈線性增大，這是因為主軸轉速通過影響線速度來影響材料去除深度且線速度和主軸轉速成正比，線速度越大，單位時間內參與切削的磨粒數量越多，材料去除深度也隨之增加。由圖6c可知，材料去除深度隨百頁輪變形量的增大而增大，原因在于：百頁輪變形量越大，磨粒切入深度越大，從而材料去除深度越大。由圖6d可知，材料去除深度同樣隨進給深度的增大而減小，出現這種現象的原因是:進給速度影響的是磨粒和工件的切削作用時間，進給速度越大，切削作用時間越短，材料去除深度越低。

由圖6可知，磨粒粒度、主軸轉速、百頁輪變形量和進給速度對百頁輪拋光材料去除深度均有顯著影響，同時適當減小磨粒粒度、提高主軸轉速、增大百頁輪變形量和減小進給速度有利于材料去除深度的提高，以上變化規律與基于式(10)仿真結果所揭示的材料去除深度隨工藝參數變化的規律相一致，雖然圖6中的實驗值略大于仿真值，但由于模型及測量誤差等因素的影響，亦認為仿真值與實驗值基本吻合，進一步驗證了本文所建材料去除深度模型的正確性。

4 結論

(1)百頁輪和工件接觸區的材料去除深度非均勻分布，接觸區中心最大而邊緣處最小。適當減小磨粒粒度、提高主軸轉速、增大百頁輪變形量和減小進給速度均有利于增大材料去除深度。

(2)研究結果為恒材料去除深度拋光的實現、表面質量一致性及拋光效率的提高打下了理論基礎，本文材料去除深度模型的推導方法可應用于其他柔性磨具拋光材料去除深度的建模。