一般旋轉(zhuǎn)曲面方程研究

丁尚文

（合肥工業(yè)大學(xué)宣城校區(qū)基礎(chǔ)部，安徽宣城 242000）

0 引言

旋轉(zhuǎn)曲面方程及其性質(zhì)是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。高等數(shù)學(xué)教材給出了平面曲線繞平面內(nèi)定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的定義及方程［1］，主要給出的是旋轉(zhuǎn)軸與坐標(biāo)軸重合條件下的一類旋轉(zhuǎn)曲面方程［1-2］。2013 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試（數(shù)學(xué)一）試卷中出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)軸與坐標(biāo)軸不重合條件下旋轉(zhuǎn)曲面求解試題。對于空間曲線繞任意定直線旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程，文獻(xiàn)［3］將旋轉(zhuǎn)曲面想象成由空間曲線上的動(dòng)點(diǎn)圍繞定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的一系列平行圓堆疊而成，并將平行圓方程和曲線方程聯(lián)立推導(dǎo)出旋轉(zhuǎn)曲面方程。文獻(xiàn)［4］聯(lián)立平行圓方程和空間曲線方程，并借助多項(xiàng)式理想的Groebner基理論方法對旋轉(zhuǎn)曲面方程組進(jìn)行去參數(shù)化處理［5］，得到旋轉(zhuǎn)曲面方程。本文以坐標(biāo)平面上曲線繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為基礎(chǔ)，通過尋找2個(gè)坐標(biāo)系之間的姿態(tài)和相對位置，利用方向角和轉(zhuǎn)軸公式推導(dǎo)空間曲線繞定直線旋轉(zhuǎn)所成的一般旋轉(zhuǎn)曲面方程。

高等數(shù)學(xué)教材關(guān)于旋轉(zhuǎn)曲面的定義及方程的敘述：

定義1［1-2］平面上曲線C繞該平面上一條定直線L旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面。

結(jié)論1［1-2］若旋轉(zhuǎn)曲面Σ是由yoz坐標(biāo)面上的曲線C：f(y，z)=0繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成（如圖1 所示），則該旋轉(zhuǎn)曲面Σ的方程為f(±，z)=0。

圖1 平面曲線C繞z 軸旋轉(zhuǎn)Fig.1 Plane curve C revolves around z axis

1 主要結(jié)果及其推導(dǎo)

稱空間曲線繞定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面為旋轉(zhuǎn)曲面，拓展了旋轉(zhuǎn)曲面的概念。首先討論空間曲線與定直線共面條件下，空間曲線繞定直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程的求解問題（簡稱問題1），然后討論更具一般性的旋轉(zhuǎn)曲面方程求解問題（分別簡稱問題2 和問題3）。

引理1［6］設(shè)坐標(biāo)系o?xyz和o?x′y′z′為具有相同坐標(biāo)原點(diǎn)的2 組直角坐標(biāo)系（符合右手坐標(biāo)系規(guī)則），又ox′軸、oy′軸和oz′軸在坐標(biāo)系o?xyz下的方向角分別為α1，β1，γ1；α2，β2，γ2；α3，β3，γ3，設(shè)空間一點(diǎn)p在坐標(biāo)系o?xyz和o?x′y′z′下的坐標(biāo)分別為(x，y，z)和(x′，y′，z′)，則2組坐標(biāo)之間的關(guān)系為

稱式（1）和式（2）為坐標(biāo)變換，簡稱轉(zhuǎn)軸公式。

問題1已知空間曲線Γ由平面π：Ax+By+Cz+D=0和空間曲面Σ0：f(x，y，z)=0相交而成，空間直線L的方程為，且L在平面π 上。設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面Σ由曲線Γ繞定直線L旋轉(zhuǎn)一周而成，求旋轉(zhuǎn)曲面Σ的方程。

解在直線L上任取一點(diǎn)作為新坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)o′，且設(shè)點(diǎn)o′在坐標(biāo)系o?xyz下的坐標(biāo)為(x0，y0，z0)。在平面π 上過點(diǎn)o′作垂直于L的垂線，并將該垂線選為y′軸。x′軸、y′軸與z′軸符合右手坐標(biāo)系規(guī)則，坐標(biāo)系位置如圖2 所示。為方便敘述，將文中新坐標(biāo)系簡記為o′?x′y′z′，原坐標(biāo)系記為o?xyz。分別在x′軸、y′軸和z′軸正方向各取一點(diǎn)p1，p2和p3，且有o′p1∥x′軸，o′p2∥y′軸，o′p3∥z′軸，其中，∥表示平行或共線。分別對向量o′p1，o′p2和o′p3單位化，得到單位向量：

圖2 空間曲線Γ繞z′軸旋轉(zhuǎn)Fig.2 Space curve Γ revolves around z′axis

由方向角和方向余弦的定義，知α1，β1，γ1；α2，β2，γ2和α3，β3，γ3分別為x′軸、y′軸、z′軸在坐標(biāo)系o?xyz下的方向角。由引理1可得對應(yīng)的轉(zhuǎn)軸公式為

將式（3）分別代入平面方程π：Ax+By+Cz+D=0 和空間曲面方程Σ0：f(x，y，z)=0，聯(lián)立兩方程并消去x′，可得空間曲線Γ在坐標(biāo)系y′o′z′下的曲線方程，簡記為g(y′，z′)=0。旋轉(zhuǎn)曲面Σ可由曲線Γ繞與z′軸重合的直線L旋轉(zhuǎn)一周而成。由結(jié)論1，可知該旋轉(zhuǎn)曲面方程為

解若空間曲線Γ與空間直線L共面，則可采用問題1 方法求解旋轉(zhuǎn)曲面Σ的方程。若空間曲線Γ與空間直線L不共面，則按照以下方法求解。

建立新坐標(biāo)系o′?x′y′z′：在空間直線L上任取一點(diǎn)作為新坐標(biāo)系的原點(diǎn)o′，設(shè)o′在坐標(biāo)系o?xyz下的坐標(biāo)為(x0，y0，z0)。選取直線L為z′軸，并將過坐標(biāo)原點(diǎn)o′與該直線L垂直的直線選為y′軸，x′軸、y′軸與z′軸符合右手坐標(biāo)系規(guī)則（圖3）。在x′軸、y′軸和z′軸正方向各取一點(diǎn)p1，p2和p3，得到與坐標(biāo)軸共線的3個(gè)向量o′p1、o′p2和o′p3。對向量o′p1、o′p2和o′p3單位化，得到

圖3 空間曲線Γ繞z′軸旋轉(zhuǎn)Fig.3 Space curve Γ revolves around z′axis

由方向角和方向余弦的定義，知α1，β1，γ1；α2，β2，γ2和α3，β3，γ3分別為x′軸，y′軸，z′軸在o?xyz系下的方向角。由式（4），可得到空間曲線Γ在坐標(biāo)系o′?x′y′z′下的參數(shù)方程

對參數(shù)t0，θ消元，可得到一般旋轉(zhuǎn)曲面方程H(x′，y′，z′)=0。再由式（4），得到在坐標(biāo)系o?xyz下旋轉(zhuǎn)曲面Σ的方程

2 應(yīng)用舉例

解由題中條件，可知空間直線L和空間曲線Γ在平面π：x?2y+2z+2=0 上。選取在空間直線L上的點(diǎn)p0(0，1，0)為新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)原點(diǎn)o′。z′軸與空間直線L重合，在平面π上過點(diǎn)p0(0，1，0)作垂直于直線L的垂線，并將該垂線取作y′軸；x′軸、y′軸與z′軸相互垂直，符合右手坐標(biāo)系規(guī)則，見圖4。

圖4 空間曲線Γ繞z′軸旋轉(zhuǎn)Fig.4 Space curve Γ revolves around z′axis

消去參數(shù)t和θ，得到一般方程

由式（12），則可得旋轉(zhuǎn)曲面Σ在坐標(biāo)系o?xyz下的一般方程

解以o′(1，0，0)為新坐標(biāo)系下的原點(diǎn)，將直線L選為z′軸，采用與問題2相同的方法建立坐標(biāo)系。坐標(biāo)系o′?x′y′z′的位置見圖5，將原坐標(biāo)系記為o?xyz。分別在x′軸、y′軸和z′軸正方向各取一點(diǎn)p1，p2和p3，點(diǎn)p1，p2，p3的坐標(biāo)和向量o′p1，o′p2，o′p3的求解與例1類似，得到p1(1，1，0)，p2(0，0，1)，p3(2，0，1)，o′p1={0，1，0}，o′p2={?1，0，1}，o′p3={1，0，1}。分別將向量o′p1，o′p2，o′p3單位化，得到與x′軸、y′軸和z′軸同向的由方向余弦組成的單位向量{0，1，0}，。設(shè)點(diǎn)p在坐標(biāo)系o?xyz和o′?x′y′z′下的坐標(biāo)分別為(x，y，z)和(x′，y′，z′)，它們之間的關(guān)系可由式（3）和式（4）得到，分別為：

圖5 空間曲線Γ繞z′軸旋轉(zhuǎn)Fig.5 Space curve Γ revolves around z′axis

將式（18）代入式（20），得到在坐標(biāo)系o?xyz下的旋轉(zhuǎn)曲面Σ方程

3 結(jié)論

討論了空間曲線Γ與定直線L共面和不共面條件下，空間曲線Γ繞定直線L旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程的求解方法。利用向量的方向角尋找2個(gè)坐標(biāo)系之間的姿態(tài)是求解一般旋轉(zhuǎn)曲面方程的新教學(xué)工具。本研究是對旋轉(zhuǎn)曲面方程教學(xué)內(nèi)容的有益補(bǔ)充。